數(shù)學上課上冊第一章d11映射與函數(shù)

第一章分析基礎函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數(shù)的集.簡稱集簡稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無限區(qū)間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設有集合記作記作必有定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集或定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.引例2,3引例2引例2X(數(shù)集或點集

)說明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

R

f稱為定義在X

上的函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量2.函數(shù)的幾種特性設函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(見P11)(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中(2)復合函數(shù)則設有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復合函數(shù)時,雖不能在自然域R下構(gòu)成復合函數(shù),可定義復合函數(shù)當改4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學,P17–P20)非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當x>0當x=0當x<0取整函數(shù)當

設函數(shù)

x

換為f(x)例5.解:內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)

作業(yè)

P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18

2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)且備