悖論與數學基礎問題

悖論與數學基礎問題第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四章節(jié)目錄§1悖論的定義和起源§2悖論舉例和數學三次危機§3策莫洛對悖論的解決方案§4羅素對悖論的解決方案§5塔斯基及其語義學§6哥德爾的不完備性定理與悖論§7悖論的成因與研究悖論的重要意義第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四

悖論分為三種主要形式1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。3．一系列推理看起來好像無法打破，可是卻導致邏輯上自相矛盾。悖論的類型邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計悖論和時間悖論等§1悖論的定義和起源第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源一、關于悖論的定義當前流行的說法

悖論是一種導致邏輯矛盾的命題。這種命題，如果承認它是真的，那么它又是假的，如果承認它是假的，那么它又是真的。

悖論是是指這樣一個命題A，由A出發(fā)，可以找到一語句B，若假定B真，就可推得?B真，即B假。反之亦然。一個命題構成一個悖論，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假可以推出它的真。第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源當前流行的說法的缺陷：孤立地用肯定等價于否定來作為悖論的定義不夠合理全面。1、任何一個悖論在實質上都相對地被包含在某個理論體系中。2、并非每個悖論都要陳述為一個命題或某一語句的形式，有的悖論往往要由一個推演過程來呈現。3、從一些著名悖論的呈現形式來看，人們并不習慣于要求把每個悖論都劃歸為肯定等價于否定的形式，也可用某一系統(tǒng)中

并存的兩個互相矛盾的命題來表示一個悖論。第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個理論中卻推出了兩個互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式，那么我們就說這個理論包含了一個悖論。因此，我們主張采用A.A.Fraenkel與Y.Bar-Hillel的說法：這樣看來，當前流行的那種定義，就只是抽取了Fraenkel陳述中的后半段作為悖論的定義，這顯然是不夠合理而全面的。第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源二、關于悖論的起源1、關于悖論的起源，可以追溯到古希臘和我國先秦哲學時代，但在那時及其往后的一個相當長的歷史時期中，悖論往往指那些推理過程看上去合理的，但推理的結果卻又違背客觀實際，例如著名的芝諾悖論便屬于這一類悖論。芝諾是希臘愛利亞學派的一個代表人物，可以說是第一個提出悖論的人。如：阿喀流斯和烏龜：假設阿喀流斯和烏龜賽跑，烏龜在阿的前面一段距離開始起跑，所以阿必須先跑到烏龜的起跑點，而這時烏龜又向前進了一段距離，如此，雖然阿的速度快于烏龜，阿越追越近，但總也追不上烏龜。第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源2、在歷史上，還有另一種與之相反的情形而稱之為悖論的，那就是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，這也一時稱為悖論的發(fā)現。例如，歷史上的Galilei悖論便屬于這一類悖論。Galilei對平方數與自然數一一對應的發(fā)現矛盾于全體大于部分的原則，這就不是Galilie的發(fā)現在推理上的問題，而是由于全體大于部分的直觀原則是從有限數量的事物關系中抽象出來的，自然就不適用于無限集合的情形了。第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源3、在歷史上，與今天所講悖論的含義較為接近并可看作悖論之直接起源的是這樣一件事，公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides)：“所有克利特人都說謊。”這就是撒謊者悖論的來源。第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§1悖論的定義和起源

后來，人們順著Epimenides的原始命題，終于構造出了等價于上述命題的強化了的撒謊者悖論，即“永恒性撒謊者悖論”，陳訴如下：<在本頁本行里所寫的那句話是謊話>強化了的撒謊者悖論

癥結：作論斷的話與被論斷的話混而為一，既當否定者自身被包括在被否定的對象中時，則否定者必然走向它的反面。所以這個悖論的排除在于語義的分層，這正是近代語義學產生發(fā)展的原因，也正是語義學所研究的重要內容。一個克里特人說：“我現在說的是一句假話，所有的克里特人都說謊?！钡?1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機第一次危機公元前五世紀，一個希臘人，Pythagoras學派的希帕索斯，發(fā)現了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，從而導致了數學的第一次危機。背景：從自然數概念脫胎而形成有理數概念的早期階段。影響：促使人們從依靠自覺、經驗而轉向依靠證明，導致了公理幾何學與邏輯學的誕生。第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機第二次危機數學史上把18世紀微積分誕生以來在數學界出現的混亂局面稱為數學的第二次危機。背景：微積分的廣泛應用與理論基礎不牢固的矛盾

Berkeley大主教對牛頓微積分理論的攻擊，史上稱為“Berkeley悖論”。影響：柯西、Dedekind、康托與外爾斯特拉斯都加入了為微積分理論尋找牢固基礎的工作，發(fā)展了極限理論。第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機第三次危機在今天，人們恰當地把集合悖論的出現及其引起的爭論局面稱之為數學的第三次危機。背景：建立嚴格的分析理論是以實數理論為基礎的，而建立的實數理論又必須以集合論為基礎，而集合論的誕生與發(fā)展卻又偏偏出現一系列的悖論，從而構成了更大的危機。影響：極大地刺激了當時的集合不矛盾性的“樂觀局面”，對集合論的進步具有重大的意義。第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機第三次危機舉例?Burali-Forti（布拉里福蒂）悖論——在超窮序數理論中發(fā)現了第一悖論“最大序數悖論”?康托悖論

——其來源康托定理是集合論最早也是最重要的定理之一?羅素悖論——在古典集合論里可劃歸為最基本邏輯概念的形式，而且能用日常語言來表述其基本原則，如著名的“理發(fā)師悖論”第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機Burali-Forti（布拉里福蒂）悖論第三次危機舉例一定理1任何一個良序集A不能與A的任何截段相似。定理2凡由序數所組成的集，按其大小為序排列時，必為一良序集。定理3一切小于序數a的序數所組成良序集的序數就是序數a，即。如所知，在超限數論中有如下的一些定理：現將一切序數匯集在一起組成一集，可推出其并不同時滿足于以上三條定理，這就是Burali-Forti悖論。第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機在古典集合論中有所謂的康托定理第三次危機舉例二任何集合M的基數小于冪集P(M)的基數。其中所謂冪集，就是任給一集M，由M的一切子集所組成的集合稱為M的冪集，并記為P(M)?，F假設存在一切集合所組成的集合u，由康托定理推出矛盾，這就是康托悖論。第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機包含在古典集合論中的羅素悖論第三次危機舉例三集合可分為兩種：本身分子集，如：一切集合所組成的集合是它自身的一個元素；非本身分子集，如：自然數集合N絕不是某個自然數n。

這樣，任給一集M，它不是本身分子集就是非本身分子集，不應有其它例外?，F考慮一切非本身分子集的集，試問是哪一種集合？羅素悖論改寫——著名的“理發(fā)師悖論”

理發(fā)師：“給而且只給村子里自己不給自己刮胡子的人刮胡子。”第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§2悖論舉例和數學三次危機隨著悖論的出現和研究，推動了人們從邏輯和哲學的角度深入研究數學基礎中的問題，并取得了積極的成果。集合論的矛盾，曾一度引起人們摒棄集合論的想法，但終究不切實際。所以大家開始致力于集合論的改造。改造的方案主要有二：一、羅素的類型論；二、策莫洛（E.Zermelo）的公理集合論。第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對悖論的解決方案第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對悖論的解決方案

思想來源羅素認為，集合可以用兩種方式予以定義：外延性定義（枚舉式的定義）與內涵式定義（指明性質的定義）。基于這一準則，尋找解決集合悖論的辦法有兩條道路可走：量性限制理論（外延理論）和曲折理論（內涵理論）。策莫洛和其他人所發(fā)展起來的公理集合論在涉及集合時可以看成是對量性限制理論這一思想的闡發(fā)，其最主要的特點是對于全集或無限制的關于某種現象的概念的存在性加以限制。第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對悖論的解決方案自從羅素悖論出現以后，策莫洛想借助于他所說的劃分公理（或稱分出公理）來排除它。劃分公理設L為任一集合，是與L的變元有關的一句話，則L中一切能使成真話的元素可組成一集合。顯然，，即為L的一個子集。

根據劃分公理，可證下述定理為真。

定理任意一集L必有一子集不是L的元素。有了這條定理，即可證明羅素悖論陳述中的“一切非本身分子集的集”不是一個集合，但并不能承認劃分公理可排除羅素悖論這一孤立的說法，劃分公理的公理系統(tǒng)不容忽視。第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對悖論的解決方案產生羅素悖論的原因：概括原則造集的任意性與生成集合的客觀原則的非任意性之間的矛盾。后來，經過仔細分析，人們歸結到如下四件事不能同時成立，這就是：（1）是一個條件（含x的語句）。（2）任給一條件決定一集，即。（3）集合為個體之一，因而x處均可代以A。（4）為一矛盾。各家對悖論的排除：羅素從否定（1）出發(fā)，展開他的類型論。Zermelo-Fraenkel基于否定（2），構造ZFC集合論公理系統(tǒng)。Bernays-G?del基于否定（3），形成BG集合論公理系統(tǒng)。?o?вар以否定（4）為起點發(fā)展他的多值邏輯。第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對悖論的解決方案

策莫洛首先構造公理系統(tǒng)，在保留概括原則中之合理原則的前提下，對造集的任意性加以適當的限制，形成了一個包括劃分公理在內的集合論公理系統(tǒng)。在這個系統(tǒng)內，只承認按系統(tǒng)中公理所允許的限度內構造出來的集才是集合，凡是超出系統(tǒng)中公理所允許的限度而構造出來的集是概不承認的。在這個系統(tǒng)中能把康托悖論、Burali-Forti悖論以及羅素悖論等已出現的邏輯、數學悖論予以排除。這樣在策莫洛于1908年建立了他的集合論公理系統(tǒng)后，Fraenkel與Skolem在1921~1923年間給了一個嚴格的解釋，并對策莫洛公理系統(tǒng)作了改進，形成了今天著名的ZF系統(tǒng)，加上選擇公理，便是熟知的ZFC系統(tǒng)。第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§3策莫洛對悖論的解決方案ZFC集合論公理系統(tǒng)外延公理空集公理配對公理并集公理冪集公理子集公理無窮公理選擇公理代換公理正則公理第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案

思想來源關于悖論的成因，龐卡萊曾在1905年、1906年、1908年多次指出，所有的悖論都與非直謂定義有關。所謂非直謂定義，就是被定義的對象被包括在借以定義它的各個對象中。例如：李家莊村上年紀最大的人H.定義總體的對象~李家莊村上的人.....H.....Df李家莊村上所有的人組成的總體GDf總體G中年紀最大的人H“被定義的對象H包括在借以定義H的總體G中”第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案（1）廣義非直謂凡是非直謂定義中的被定義對象，可用直謂定義法重新定義者，叫做廣義非直謂。例：李家莊村上年紀最大的人——李大娘的老伴（2）狹義非直謂

凡是非直謂定義中的被定義對象非借助于總體不可，亦即被定義的對象只能借助于這一總體才能定義。例：李家莊村上年紀最大的人——村外人尋此人（3）等價式的非直謂

凡是非直謂定義中的被定義對象僅借助于“總體本身就是什么”這樣的等價式刻畫來確定的，則稱為等價式的非直謂。例：一切集合的集合就是一個集合按非直謂定義構成的具體過程，可作如下分類：第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案鑒于對非直謂定義的分析，羅素進一步明確了龐卡萊關于悖論成因的想法，即構成悖論的深刻原因卻與非直謂定義法有關。為此，羅素明確提出如下的原則。惡性循環(huán)原則：沒有一個整體能包含一個只能借助于這個整體來定義的元素?；诘葍r式非直謂是俠義非直謂的一種特殊情況的考慮，羅素的惡性循環(huán)原則從集合的觀點出發(fā)隱含了下述一種思想規(guī)定：類型混淆原則：任何一個集合絕不是它自身的一個元素。第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案作為類的劃分的一個基本原則是，每一謂詞（性質）都必須從屬于一個確定的類。而且每一類的性質只有當其使用于直次于它的那個類的對象才是有意義的。屬于O類中的對象的名稱第一類：對象的性質，如：a,b,c,...第二類：性質的性質，如：f(a),g(b),...中的f,g,...第三類：性質的性質的性質，如：F(f),G(f),...中的F,G,...基于類的劃分的基本原則，如f(a),G(f)...是有意義的，但F(a),f(f),a(b),...就是無意義的。第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案

羅素認為，除掉對于性質要作出類的劃分之外，還要對于性質的定義方法，再把同一類中的性質作出級的劃分，那些在定義方法中沒有涉及“所有的性質”的性質是第1級的，而那些在下定義時涉及第n級的“所有的性質”的性質是第n+1級的，...，如此，當不具體指明所考慮的級，則凡涉及“所有的性質”的表達式是無意義的。這樣，所有的性質（謂詞）首先按對象的性質，性質的性質，…加以分類，再按類中性質的定義方法加以分級，因之，每一性質都歸屬于一定的類和級，由于級是在類內劃分的，因此，羅素的這一理論就叫做分支類型論。第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案類與級的劃分的區(qū)分：類的劃分：對集合對象的性質而言的；級的劃分：對性質的定義方法而言。惡性循環(huán)原則狹義非直謂定義法沖突類型混淆原則等價式非直謂定義法沖突實際上，那些不涉及類型混淆的非直謂定義法常常是不可缺少的。如果堅持貫徹惡性循環(huán)原則，勢必要將許多數學概念拋棄，雖然排除了悖論，卻也同時失去了很多合理的東西。第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§4羅素對悖論的解決方案羅素的分支類型論雖然解決了悖論，但并沒有讓邏輯學家們和數學家們感到滿意，其原因歸結起來主要有三：可劃歸性公理無法自明或“必然真”；惡性循環(huán)原則的不合理性；類型論展開的繁雜和累贅。有人評價說“它是為阻止悖論的發(fā)生，任意地臨時湊合而成的設計”。后來，有羅素的學生蘭姆賽（Ramsey）把分支類型論加以簡化，在廢除分支類型論中關于級的劃分而保留類的劃分的基礎上建立了簡單類型論，并為大多數數學家所歡迎。悖論語義學悖論邏輯數學悖論只需堅持類型混淆原則從邏輯數學出發(fā)，不需考慮第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§5

塔斯基及其語義學第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語義學

邏輯哲學的基本問題是邏輯與客觀現實的關系問題，即邏輯真理是否反映客觀現實?

邏輯學的始祖亞里士多德提出了著名的真理符合論，認為邏輯規(guī)律是客觀現實的反映。

萊布尼茨首先對亞里士多德的真理符合論提出了挑戰(zhàn)，提出了二元真理論，他認為，有兩種真理，一種是推理的真理．一種是事實的真理。

正是在真理符合論和真理二元論長期爭議的背景下，塔斯基另辟蹊徑，第一次提出了語義真理論，并由此創(chuàng)建了邏輯語義學，在世界哲學界產生了極其廣泛而深遠的影響。第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語義學實質適當性：能成功地把握被下定義詞項的日常或直觀意義，即能抓住古典符合論真理定義所蘊藏的內涵。形式正確性：能把清晰明確的定義詞項無歧義地運用于被定義詞項的外延?！氨疚膸缀跞渴谦I給一個問題—一真理的定義的。它的任務是，針對一種給定的語言，建立一個實質上適當的、形式上正確的關于‘真句子’這個訶的定義。”

——1991.03《形式化語言中的真理概念》第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語義學T型等值式（T）：X是真的，當且僅當P。撒謊者悖論剖析：我們現在用符號S作為下列句子的縮寫：S不是真句子這樣，憑經驗，我們可以建立（1）“S不是真句子”等同于S現在對S和它的引號名稱“S”建立T等式，可以得到：（2）“S不是真句子”，當且僅當S不是真句子將（1）和（2）結合可以得到：S是真句子，當且僅當，S不是真句子第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§5塔斯基及其語義學解悖方法：對語言進行分層處理對象語言：語言表達式本身

元語言：屬于更高層次，用來談論前一種語言的語言前提：元語言需具備此對象語言中所有的變量都更高邏輯類型的變量。（也即每個出現在對象語言中的語句也必須在元語言中出現，換言之，元語言必須將對象語言作為部分包括在內）塔斯基關于真理的定義：X是真的，當且僅當X是一語句并且類中每一無窮序列都滿足X。第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§6

哥德爾的不完備性定理與悖論第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四§6

哥德爾的不完備性定理與悖論如所知，著名的哥德爾（G?del）不完備性定理是數理邏輯發(fā)展史上的重大研究成果，曾被譽為邏輯在現代所取得的最重要的進展之一，是數學與邏輯發(fā)展史中的一個里程碑。定理如果形式算術系統(tǒng)是無矛盾的，則存在著這樣一個命題，該命題及其否定在該系統(tǒng)中都不能證明，亦即它是不完備的。后來，又經羅塞爾（Rosser）改進為下述形式：

定理如果形式算術系統(tǒng)是無矛盾的，則它是不完備的。詳言之，亦即定理如果一個含有自然數論的形式系統(tǒng)S是無矛盾的，則S中存在一個邏輯公式A，使得在S中，A是不能證明