試題及其答案-彈性力學(xué)與有限元分析

12126IIIIIIV345I.編碼，以下敘述正確的是(D)。A.①③B.②④C.①④D.③⑤，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng)力 xyxy121axyxy11axyxy12110、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三 . 的位移連續(xù)性。 1.邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式，條件和混合邊界條件。2.體力是作用于物體體積內(nèi)的力，以單位體積力來度量，體力分量的量綱為L-2MT-2；面力是作用于物體表面上力，以單位表面面積上的力度量，面力的量綱為L-1MT-2；體力和面力符號的規(guī)定為以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，屬外力；?yīng)力是作用于截面單位面積的力，反之為負(fù)。3.小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是孔附近的應(yīng)力高度集中，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力。二是應(yīng)力集中的局部性，由于孔而引起的應(yīng)力擾動范圍主要集中在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。4.彈性力學(xué)中，正面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸正向的面，負(fù)面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的面。5.利用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時(shí)，簡單來說包含結(jié)構(gòu)離散化、單元分析、整體分析三個(gè)主要步驟。2．一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程，相容方程(變形協(xié)調(diào)條件)。D等于桿截面內(nèi)的扭矩M。準(zhǔn)點(diǎn))到任一點(diǎn)外力的矩。ij,jiij2i,jj,i+Xij,jiij2i,jj,i.隙。(×)zzxzyxyxyzzxzyxyxy本上只研究桿狀構(gòu)件，也就是長度遠(yuǎn)大于高度和寬度究桿狀構(gòu)件，除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，這就大簡化了答往往是近似的。彈性力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，一般都不必引用衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力.，表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面與作用方向；切應(yīng)力用表示，并加上兩個(gè)下標(biāo)字母，前一個(gè)字母表明作用面垂直于哪一個(gè)用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。并規(guī)定作用在正面上的應(yīng)力以沿軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，作用在負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變?nèi)绻盐矬w的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同)，那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)力分量與求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看(1)取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。(2)應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)。(3)應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變。(4)應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力。(5)應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點(diǎn)力。(6)應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置，求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載。(7)列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)較小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單為應(yīng)變的主要部分。因此，為了正確反映單元的。 (1)u(x,y)=a+ax2+ay，v(x,y)=a+ax+ay2123456 (2)u(x,y)=ax2+axy+ay2，v(x,y)=ax2+axy+ay2123456答：(1)不能采用。因?yàn)槲灰颇Ｊ經(jīng)]有反映全部的剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng)；對坐標(biāo)x，y。(2)不能采用。因?yàn)?，位移模式?jīng)]有反映剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng)；在單元邊界上1．試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢與主矩相同)，則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計(jì)。作用：(1)將次要邊界上復(fù)雜的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。(2)將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。2．圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)Q的分離變量形式。題二(2)圖(a)〈(a)〈(b)〈(b)〈題二(3)圖EEla2b2qa2b2(1)EqSPlE4．圖示曲桿，在rb邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件(除固定端外)。題二(4)圖(1)r(2)rq,rbrarrrb0rarraa5．試簡述拉甫(Love)位移函數(shù)法、伽遼金(Galerkin)位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性LoveGalerkin問題的基本思想：位移函數(shù)u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur(r,),u(r,)為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。(2)變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)(特殊函數(shù))。.Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。1.(8分)彈性力學(xué)中引用了哪五個(gè)基本假定？五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用答：彈性力學(xué)中主要引用的五個(gè)基本假定及各假定用途為：(答出標(biāo)注的內(nèi)容即可給滿分)1)連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2)完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3)均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反應(yīng)這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)(如彈性模量E和泊松比μ等)就不隨位置坐標(biāo)而變化。4)各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5)小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將它們的二次冪或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡化為線性微分方程。2.(8分)彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對應(yīng)哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和平面應(yīng)力問題：所對應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量裝,裝,T存在，且僅為x,y的函數(shù)。xyxy平面應(yīng)變問題：所對應(yīng)的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應(yīng)變分量c,c,Y存在，且僅為x,y的函數(shù)。xyxy(3)若為多連體，還須滿足位移單值條件。么？(5分)理性質(zhì)在各個(gè)方向上均相同。因此，物體的彈性.切變模量G和泊松系數(shù)(泊松比)μ都不隨方向而改變(在各個(gè)方向上相同)。(5分)平衡微分方程、位移邊界條件和(用位移表示的)應(yīng)力邊界條件既是求解的條件，V內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建在研究內(nèi)容方面：材料力學(xué)研究桿件(如梁、柱和軸)的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問題；結(jié)構(gòu)力學(xué)在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)(如桁架、剛架等)；在研究方法方面：理力考慮整體的平衡(只決定整體的V運(yùn)動狀態(tài))；材力考慮有?x4?x2?y2?y4中，哪一種解法不需要將相容方程作為基本方答：(1)連續(xù)體的形變分量(和應(yīng)力分量)不是相互獨(dú)立的，它們之間必須滿足相存在，相容方程也因此成為判斷彈性力學(xué)問題解答正(2)對于按位移求解(位移法)和按應(yīng)力求解(應(yīng)力法)兩種方法，對彈性力學(xué)問題|?x?y.(3)(定義)按位移求解(位移法)是以位移分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出xyxyxyxy解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程ss)對于多連體的位移單值條件。(1)此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系BCx1y22xy23得2.23即1323Q3C2023QQQQQQxyxyxyxyxy yxxyxyy2xyx2yxxyy2xyx2yxxyxyxyy2x1yx2y1x1xy2()2()y2x1yx2y1x1xyxyxy xyxy.xyxy xyxy即(1)相容。xyxyOOyx (==2b，(==0，T=_=0x?y2y?x2xy?x?y當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四fTf2xxyy=_hyyy=_h222xxyy=hyyy=h22.2xxx=一lyxyx=一l22xxx=lyxyx=l2應(yīng)力函數(shù)Q=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布壓力(b<0)的問題。OOyxx?y2y?x2xy?x?y當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四x?y2y?x2xy?x?y當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四xxyy=一hyyy=一h222xxyy=hyyy=h22ll2xxx=一lyxyx=一l2ll2x=xxlx=2yxyyxylx2xxQ(x,y)=f(x)y+f(x)12滿足的相容方程則可得.OObpgqyy的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，，即1d4fd4f(x)x2對應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得y?x2_(T)=C=0xyx=0xyxyyxxy?x?y.b00y0000xyb(b)xyb(b)雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)示為f=-，ff=-，f=-，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，x?xy?yxyxy|l?yy?x?B?B.|?xx?y|?xx?y得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為?xx?yyxx?yyxx?yyx?x?yy?xyx?A?B=?x?y=因而又一定存在某一函數(shù)p(x,y)，使得?y?x.xyyxxy?x?yxyyxxy?x?y應(yīng)力問題的相容方程，得應(yīng)變問題的相容方程，得axayx?y2xy?x2yxy?x?yx?y2xy?x2yxy?x?y.xyxy23xyxy設(shè)三角形懸臂梁的長為l，高為h，則tana=h。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束l1反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為一pglh。因此，所求裝在這部分邊界上2x1合成的主矢應(yīng)為零，t應(yīng)當(dāng)合成為反力一pglh。xy200x=l0120xyx=l0222OOay22式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二裝=-xf=2cx+6dy裝=-xf=2cx+6dy,裝=-yf=6ax+2by-pgy,T=-=-2bx-2cyx?y2xy?x2y1xy?x?y2-(裝)=-6dy=pgyxx=02d=-2d=-26-(T)=2cy=0xyxx2y1xy(2)22111613222x2y1221xy2三、計(jì)算題1．圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的題三(1)圖rr?rr2?92r2rr?rr2?92r2o=9?r2代入應(yīng)力分量式，有r1(2A+B)=0r2(2)取一半徑為r由該脫離體的平衡，得將t代入并積分，有r9"r9_2"r2"r2_2Asin29+B+M=0得B"+M=0(2)"_2聯(lián)立式(1)、(2)求得：MPdPdMPdPd代入應(yīng)力分量式，得r"r29r9"r2r"r29r9"r2結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)2．圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力o由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微x分方程求出t,o，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。xyy(12分)(4)22(4)22.題三(2)圖解：(1)求橫截面上正應(yīng)力裝x任意截面的彎矩為M=-任意截面的彎矩為M=-0x3，截面慣性矩為I=，由材料力學(xué)計(jì)算公式有l(wèi)12My2q(1)(1)xIlh3(2)由平衡微分方程求T、裝xyy其中，X=0,Y=0。將式(1)代入式(2)，有 積分上式，得xylh31h2h24lh31T將式(4)代入式(3)，有積分得f(x)=-3q0x2h214lh3lh4?ylh34yqxy?ylh34xylh3342qyy=-hlyy=+h(6)ql23=-0=Mhy(6)ql23=-0=Mhy.llh32482ff(x)=-0x2l將其代入第一式，得-0x--0x-0x=-0x2l2ll自然成立。2y將f(x)代入2y(5)(5)裝=My=-2q0x3yxIlh3T=3q0x2(y2-1h2)xylh34ylh3342lylh3342l(1)梁左端的邊界(x=0)：代入后可見：自然滿足。代入后可見：自然滿足。22(2)梁右端的邊界(x=l)：-hxx=l-hlh32-hxyx=l-hlh34222x=l-hxx=l-hlh33lh3-222x=l-2可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量裝,T,裝是否滿足應(yīng)力相容方程：xxyy常體力下的應(yīng)力相容方程為條2((+()=(?2+?2)((+()=0xy?x2?y2xy將應(yīng)力分量(,T,(式(6)代入應(yīng)力相容方程，有xxyy?x2xylh3?y2xylh324q0xy士0xy?x2?y2xylh3顯然，應(yīng)力分量(,T,(不滿足應(yīng)力相容方程，因而式(6)并不是該該問題的正確解。xxyy3．一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系(1)構(gòu)造兩種形式(多項(xiàng)式、三角函數(shù))的梁撓度試函數(shù)w(x)；(2)用最小勢能原理或Ritz法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解(取1項(xiàng)待定系數(shù))。(13分)題二(3)圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為3ml12——多項(xiàng)式函數(shù)形式——三角函數(shù)形式1232mlmx=0lmx=0梁的端部邊界條件。梁的總勢能為=2]01=2]01|.1代入總勢能計(jì)算式，有201012113213A=0A=0代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為w(x)=ql30x23(4EIl+kl4)xyzxyx(12分)ll113=3=「0ij||1202]00||(l)11|11||l1J1N1111(1))=-qyxy)=-qyxyh1分)1.彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2.圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同)，那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以1.(12分)試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)yy=-h2yxy=-h2yy=+h2j+h2(o)dy=-F，j+h2(o)ydy=-M，j+h2)dy=-F-h2xx=0N-h2xx=0-h2xyx=0Sx=lx=l改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替：j+h2(o)dy=-F+ql，j+h2(o)ydy=-M-Fl-ql2+qlh，j+h2)dy=-F-ql-h2xx=0N1-h2xx=0S62-h2xyx=0S22.(10分)試考察應(yīng)力函數(shù)C=cxy3，c>0，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量(不計(jì)體力)，畫出圖5-2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。|-h2xx=l-h22xxy?y4xxy?y4x?y2yxy 2yy=士h2xyy=士h24||3.(14分)設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為p，在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖5-3所示，試求應(yīng)力分量。(提示：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量裝=0)x解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可xx(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力分量為f=0,f=pg。將裝=0代入應(yīng)力公式xyxxyx=-b24.G=?2C有G=?2C=0對x積分，得?C=f(x)，(a)x?y2x?y2?y其中f(x)，f(x)都是x的待定函數(shù)。1(3)由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式(b)代入相容方程C4=0，得d4f(x)dx4dx4這是y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根(全部豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足)，可見ddxdx4fxAx+Bx2+Cx，f(x)=Dx3+Ex2(c)1f(x)中的常數(shù)項(xiàng)，f1(x)中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在C的表達(dá)式中成為y的一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。x?y2xy?x2yTCAxBx-C.xy?x?y(5)考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)xx=土b2xyx=-b2xyx=+b2e(g)代入，這些邊界條件要求：Ab2-Bb-C=qxyx=+b24(f)(i)由(h)(i)(j)得y件，應(yīng)用圣維南原理，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件為-b2y-b-b2y-b2j+b2)dx=j+b2(|-3Ax2+qx-C)|dx=-Ab3-bC=0(k)-b2xyy=0-b2(b)4由(h)(j)(k)得qA=-,2q4ABCDEef)(g)得應(yīng)力分量為：xyb2bxyb2b4?x02h13一階差分公式為(?f)=1?x02h13(