函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開41704

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§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

(一)教學(xué)目的：

把握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開．熟記一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.(二)教學(xué)內(nèi)容：

泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開式的定義；五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式．基本要求：

(1)把握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林展開式，五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開．(2)學(xué)會(huì)用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法展開初等函數(shù)，并利用它們作間接展開．(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生必需把握泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林展開式，并利用五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開某些初等函數(shù)或作間接展開．

(2)對(duì)較好學(xué)生可布置利用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積的方法展開初等函數(shù)的習(xí)題Taylor級(jí)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有任意階導(dǎo)數(shù).

Taylor公式：f(x)??k?0nf(k)(x0)(x?x0)k?Rn(x)?k!f??(x0)f(n)(x0)2?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x).

2!n!余項(xiàng)Rn(x)的形式:

Peano型余項(xiàng):Rn(x)?o(x?x0)n,

（只要求在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有n?1階導(dǎo)數(shù)，f(n)??(x0)存在）

f(n?1)(?)(x?x0)n?1,?在x與x0之間.Lagrange型余項(xiàng):Rn(x)?(n?1)!或Rn(x)?f(n?1)?x0??(x?x0)?(n?1)!(x?x0)n?1,0???1.

積分型余項(xiàng):當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有n?1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),有Rn(x)?

1x(n?1)nf(t)(x?t)dt.?x0n!

Cauchy余項(xiàng):在上述積分型余項(xiàng)的條件下,有Cauchy余項(xiàng)

Rn(x)?1(n?1)?x0??(x?x0)?(1??)n(x?x0)n?1,0???1.fn!特別地，x0?0時(shí)，Cauchy余項(xiàng)為Rn(x)?1(n?1)f(?)(x??)nx,?在0與x之間.n!Taylor公式的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí),得

f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)???(x?x0)n???f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n!

?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n,n!自然會(huì)有以下問(wèn)題:對(duì)于在點(diǎn)x0無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù)f(x),在f(x)的定義域內(nèi)或在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi),函數(shù)f(x)和其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢?回復(fù)是否定的.例1函數(shù)f(x)?n!1(n),在點(diǎn)x?0無(wú)限次可微.求得f(x)?n?1(1?x)1?x(x?1),f(n)(0)?n!.其Taylor級(jí)數(shù)為

2n1?x?x???x????xn?0?n.

?該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)??1,1).僅在區(qū)間(?1,1)內(nèi)有f(x)=由于級(jí)數(shù)發(fā)散.

?xn?0n.而在其他點(diǎn)并不相等,

那么,在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),是否必有f(x)和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢?回復(fù)也是否定的.

??12?x例2函數(shù)f(x)??e,x?0,在點(diǎn)x?0無(wú)限次可導(dǎo)且有f?x?0.?0,其Taylor級(jí)數(shù)?0，在(??,??)內(nèi)四處收斂.但除了點(diǎn)

(n)(0)?0.，因此

x?0外,函數(shù)f(x)和其Taylor級(jí)數(shù)并不相等.

另一方面,由（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)倘有f(x)???an?0?n(x?x0)n,則

f(x)在點(diǎn)x0無(wú)限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù)?an(x?x0)n必為函數(shù)

n?0f(x)在點(diǎn)x0的Taylor級(jí)數(shù).

綜上,我們有如下結(jié)論:

(1)對(duì)于在點(diǎn)x0無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù)f(x),其Taylor級(jí)數(shù)可能除點(diǎn)x?x0外均發(fā)散;參閱復(fù)旦大學(xué)編《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)P90第9題);即便在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)其Taylor級(jí)數(shù)收斂,和函數(shù)也未必就是f(x).由此可見,不同的函數(shù)可能會(huì)有完全一致的Taylor級(jí)數(shù).

(2)若冪級(jí)數(shù)

?an?0?n(x?x0)n在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù)f(x),則該冪級(jí)數(shù)就是

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的Taylor級(jí)數(shù).

于是,為把函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于(x?x0)的冪級(jí)數(shù)，我們只能考慮其Taylor級(jí)數(shù).

4.可展條件:

定理1(必要條件)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可展,?f(x)在點(diǎn)x0有任意階導(dǎo)數(shù).定理2(充要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有任意階導(dǎo)數(shù).則f(x)在區(qū)間

(x0?r,x0?r)(r?0)內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)(即可展)的充要條件是:對(duì)?x??(x0,r),有l(wèi)imRn(x)?0.其中Rn(x)是Taylor公式中的余項(xiàng).

n??證把函數(shù)f(x)展開為n階Taylor公式,有

|f(x)?Sn(x)|?|Rn(x)|,?f(x)?limSn(x),?limRn(x)?0.

n??n??定理3(充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0有任意階導(dǎo)數(shù),且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列

{f(n)(x)}一致有界,則函數(shù)f(x)可展.

證利用Lagrange型余項(xiàng),設(shè)|f(n)(x)|?M,則有

|x?x0|n?1f(n?1)(?)n?1|Rn(x)|?(x?x0)?M??0,(n??).

(n?1)!(n?1)!例3展開函數(shù)f(x)?x?2x?x?3,1）按x冪;2）按(x?1)冪.解f(0)32?x3?2x2?x?3,f(0)(0)?3,f(0)(?1)??1;

2f??3x?4x?1,f?(0)?1,f?(?1)?8;

f???6x?4,f??(0)??4,f??(?1)??10;f????6,f???(0)?6,f???(?1)?6;f(4)???f(n)???0.

所以,1）f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2f???(0)3x?x?3?x?2x2?x3.2!3!可見,x的多項(xiàng)式Pn(x)的Maclaurin展開式就是其本身.2）f(x)?f(?1)?f?(?1)(x?1)?f??(?1)f???(?1)2(x?1)?(x?1)3?2!3!23??1?8(x?1)?5(x?1)?(x?1).

二.初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,或直接展開,或間接展開.

1e?x?n?0?xn,x?(??,??).(驗(yàn)證對(duì)?x?R，fn!(n)(x)?ex在

區(qū)間[0,x](或[x,0])上有界,得一致有界.因此可展).

a?a?xxlnaxnlnna??,|x|???.

n!n?0?nx2n?12sinx??(?1),x?(??,??).

(2n?1)!n?0x2ncosx??(?1),x?(??,??).

(2n)!n?0?n

可展是由于f(n)n???(x)?sin?x??在(??,??)內(nèi)一致有界.

a??3.二項(xiàng)式(1?x)m的展開式:

m為正整數(shù)時(shí),(1?x)m為多項(xiàng)式,展開式為其自身;

m為不是正整數(shù)時(shí),可在區(qū)間(?1,1)內(nèi)展開為

(1?x)m?1?mx?m(m?1)2m(m?1)(m?2)?(m?n?1)nx???x??2!n!對(duì)余項(xiàng)的探討可利用Cauchy余項(xiàng).

進(jìn)一步地探討可知(參閱Г.М.Фихтенгольц《微積分學(xué)教程》Vol2其次分冊(cè).):

m??1時(shí),收斂域?yàn)??1,1);?1?m?0時(shí),收斂域?yàn)??1,1];m?0時(shí),收斂域?yàn)閇?1,1].

利用二項(xiàng)式(1?x)的展開式,可得到好多函數(shù)的展開式.例如取

mm??1,得

??1?x?x2???(?1)nxn??，x?(?1,1).1?x1m??時(shí),

211?x?1?11?321?3?53x?x?x??,x?(?1,1].22?42?4?6間接展開:利用已知展開式,進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算,可得到一些函數(shù)的展開式.利用微積運(yùn)算時(shí),