空間幾何體的外接球（解析版）

考點(diǎn)27空間幾何體的外接球

知識理解

1.墻角模型

(1)使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合

(2)推導(dǎo)過程：長方體的體對角線就是外接球的直徑

(2)秒殺公式：R2=W1*l(a、b、c為長方體的長寬高)R2=3^(a正方體的邊長)

44

(4)圖示過程

2.漢堡模型

(1)使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體

(2)推導(dǎo)過程

第一步：取底面的外心心，過外心做高的的平行且長度相等,在該線上中點(diǎn)為球心的位置

1_2

第二步：根據(jù)勾股定理可得R2=/+一

4

(3)秒殺公式：R2=r2+—

4

(4)圖示過程

3.斗笠模型

(1)使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上

(2)推導(dǎo)過程

第一步：取底面的外心OL，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)

第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心。

第三步：根據(jù)勾股定理R2=(h-R)2+r2=R=—^-

r2+h2

(3)秒殺公式：R=

(4)圖示過程

4.切瓜模型

(1)使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐

(2)推導(dǎo)過程:

第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N,過兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為

球心0,取BC的中點(diǎn)為M,連接FM、MN、OF、ON

第二步：QONMF為矩形由勾股可得|OA『=|AN|2+|ON|2=|AN|2+|MF|2R2=r；+r；-?

I2

（3）秒殺公式：R2=r；+r；一—

4

考向一墻角模型

【例1】（2021?平羅中學(xué)高三期末）已知長方體的兩個(gè)底面是邊長為I的正方形，長方體的一條體對角線與

底面成45。角，則此長方體的外接球表面積為（）

A.4乃B.6兀C.12萬D.24萬

【答案】A

【解析】記該長方體為A3CD—A4G〃，8A為該長方體的一條體對角線，其與底面所成角為45。，

因?yàn)樵陂L方體ABC。一A4GA中，側(cè)棱。。，底面ABCO.

則N。BD為BD,與底面所成角,即ZD,BD=45°,

因?yàn)殚L方體的兩個(gè)底面是邊長為1的正方形，所以BD^y/AD2+AB2=V2，

則DR=BD=y/i,所以=

又長方體的外接球直徑等于其體對角線的長，

即該長方體外接球的宜徑為2R=BR=V2+2=2,

所以此長方體的外接球表面積為S=4%R?=4不.故選：A.

1.（2020?天津靜海區(qū)?高三月考）若棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12%B.24萬C.36萬D.144萬

【答案】A

【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑==

所以棱長為2的正方體外接球的直徑2R=先行萬=2若，

所以該球的表面積4萬a=12萬.故選：A.

2.（2020?河南高三月考）已知長方體ABCQ—A'8'C'。'中，A'B'=B=1，A'8與平面ACC'A'

所成角的正弦值為亞，則該長方體的外接球的表面積為（）

10

1632

A.4萬B.16萬C.---71D.一71

33

【答案】B

【解析】作8E1AC,垂足為E,連接A'E,BE.

因?yàn)槠矫鍭BC，平面ACC'A',平面ABCf］平面ACC'A'=AC,BEu平面ABC,

所以BE1平面ACC'A',所以ZBA'E是A'B與平面ACC'A'所成的平面角.

又BE=.*.力

J（同+r2

A'5=7（V3）2+A4'=V3+AA'2.

所以sinNBA'E~2男,

V3+A4'2而

解得44'=2g.

故該長方體的體對角線為7（2^3）2+（^）2+12=4.

設(shè)長方體的外接球的半徑為R,則2H=4,解得R=2.

所以該長方體的外接球的表面積為S=4%a=4萬x2?=16萬.故選B.

3.（2020?四川瀘州市?高三一模）已知四棱錐A-BCDE中，四邊形BCOE是邊長為2的正方形，AB=3

且A8_L平面3cOE,則該四棱錐外接球的表面積為（）

17兀

A.4萬B.-----C.\7兀D.8萬

4

【答案】C

【解析】由題意，四棱錐A—BCDE中，四邊形88E是邊長為2的正方形，

AB=3且AB±平面BCDE,

可把四棱錐A-8CDE放置在如圖所示的一個(gè)長方體內(nèi)，

其中長方體的長、寬、高分別為2,2,3,

則四棱錐A-BCDE的外接球和長方體的外接球表示同一個(gè)球，

設(shè)四棱錐A—3COE的外接球的半徑為R,可得，2?+2?+3?=2R，解得我

所以該四棱錐外接球的表面積為5=4乃R2=4萬x（浮了=17兀.

故選：C.

考向二漢堡包模型

【例2】（2021?陜西西安市?高三一模）三棱柱A3C-A4G中，棱AB、AC.A4,兩兩垂直，A4,=2,

底面口ABC是面積為2的等腰直角三角形，若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球。的表面上，則球。的表面積

為（）

A.8B.10萬C.12萬D.7C

【答案】C

【解析】底面口A8C是面積為2的等腰直角三角形，所以直角邊長為2,所以三棱柱ABC-44G可以補(bǔ)

充成邊長為2的正方體，其外接球半徑為：業(yè)二巴g=G，

2

所以球。的表面積為49（GT=12"，故選：C

【舉一反三】

JT

1.（2021?陜西咸陽市?高三一模）在直三棱柱ABC—44cl中，AB=BC=2,ZABC=-,若該直

三棱柱的外接球表面積為16萬，則此直三棱柱的高為（）.

A.4B.3C.472D.20

【答案】D

7T

【解析】因?yàn)镹ABC=],所以將直三棱柱ABC-A4G補(bǔ)成長方體A58-A4G0，則直三棱柱的

外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線,

設(shè)球的半徑為R,則4萬R2=16萬，解得R=2,

設(shè)直三棱柱的高為力,則4A2=22+22+//,即16=8+川,

解得〃=2及，所以直三棱柱的高為2&，故選：D

2.（2021?山西呂梁市?高三一模）四面體A-BC。中，DC_L面ABC,AB=BC=3,ZABC=120°,

DC=8,則四面體A—6c。外接球的表面積為（）

A.100乃B.50萬C.25乃D.911

【答案】A

【解析】設(shè)口ABC外接圓的圓心為,四面體A—BCD外接球的球心為。，半徑為R

連接qc,oa，oc

31

由正弦定理可得----------=2Q1C,即-------=3,OO】=-DC=4

sinZBAC2sin302

R=OC=40?+00；="2+32=5

即四面體A-BCD外接球的表面積為S=4^-x52=100TZ-

故選：A

B

3.（2021?山東德州市?高三期末）如圖，在四棱錐尸—A3CO中，底面ABC。為菱形，POJ_底面A8CO,

TT

。為對角線AC與3。的交點(diǎn)，若PD=2,ZAPD=ABAD=-,則三棱錐P—AO。的外接球表面積為

【答案】16%.

【解析】取PA中點(diǎn)M,ZM中點(diǎn)E，連接A/E,E。，則ME〃PD,

因?yàn)镻DJ.底面A8CD,所以MEJ,平面ABC。，A8CD是菱形，則AO1.0。，所以E是△AOO的

外心，

乂底面ABC。，AOu平面ABC。，所以PD_LAD,所以M到P,A。,。四點(diǎn)距離相等，即為

三棱錐P—AOD的外接球球心.

jrPA=___=4

又PD=2,ZAPD=-,所以一7i-,所以MA=MP=2,

3cos

3

所以三棱錐P-AOD的外接球表面積為S=4?x22=16〃.

故答案為：16萬.

考向三斗笠模型

【例3】正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）

811/27萬

A.——B.16萬C.9萬D.----

44

【答案】A

【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高P01上,

記為0,P0=A0=R,PO]=4,OQ1=4-R,

在中，

9

由勾股定理R2=2+（4—R）9得R=a，

Q1

...球的表面積5=一1，故選A.

4

【舉一反三】

1.（2020?江西吉安市?高三其他模擬）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為

2,則該球的表面積為（）

8br8148U814

A.B.——I）.

457

4,底面正方形邊長A3=2,

設(shè)正四棱俳的外接球半徑為R,底面正四邊形外接圓半徑為「則「=BN=0，

2O

由OS=05得：/?2=（夜『+（4_尺）2,解得：R="

：.V=4nR2=—n.

4

故選:B.

2.（2021?安徽蕪湖市?高三期末）已知正四棱錐的體積為18,側(cè)棱與底面所成的角為45°，則該正四棱

錐外接球的表面積為一

【答案】36萬

【解析】如下圖所示，設(shè)正四棱錐P—ABC。的底面A8CO的中心為E,連接PE、AC.BD,

設(shè)正四棱錐P—45。的底面邊長為a,則AC=BD=叵a，

由于E為正四棱錐P-ABCD的底面ABCD的中心，則PE1平面ABCD.

由于正四棱錐尸―ABCD的側(cè)棱與底面所成的角為45°，則ZPAC=ZPCA=45^

所以，△PAC是以NAPC為直角的等腰直角三角形，

同理可知，△PBO是以N3PD為直角的等腰直角三角形，

???E為4c的中點(diǎn)，PE=；AC=%，S-=a；

VP-ABCD=IS正方形ABC。.PE=；X/XWa=4/=18'解得a=3五'

352o

?;PE=&=3,由直角三角形的性質(zhì)可得PE=!AC=[30,

222

即PE=AE=8E=CE=DE,所以，E為正四棱錐產(chǎn)一ABC。外接球的球心，

球E的半徑為r=PE=3,該球的表面積為4%戶=36〃.

故答案為：36萬.

3.（2020?秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué)）已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為46，底面邊長為6,則該正三

棱錐外接球的表面積是.

【答案】64兀

【解析】過點(diǎn)S作SE_L平面ABC于點(diǎn)E,記球心為。.

?.?在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為6,側(cè)棱長為46，

BE=-x—x6=2V3.

32

SE7sB2-BE?=6

?.?球心。到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長R,

：.OB=R,OE=6-R.

在RtIZBOE中，OB?=BE2+OE2，

即A?=12+（6—A）：解得R=4,

外接球的表面積為5=4%R2=647.

故答案為：647r.

考向四切瓜模型

[例4]（2021?江西高三其他模擬）已知三棱錐A-BCD中,側(cè)面力8aL底面BCD,三角形4式1是邊長為3的

正三角形，三角形靦是直角三角形，且/比9=90°,C次2,則此三棱錐外接球的體積等于（）

32%64萬

A.---B.---C.16"D.32〃

33

【答案】A

【解析】三棱錐A—68中，側(cè)面ABC_L底面BCO,把該三棱錐放入長方體中，如圖所示;

設(shè)三棱錐外接球的球心為0,取6c的中點(diǎn)M,劭的中點(diǎn)M三角形的重心G,連接0G,則AM=@AB=^~,

22

AG=-AM=-x^=>/3,OG=-CD=\,

3322

所以二：棱錐外接球的半徑為/?=04=yjoG2+AG2=,『+（若了=2,

所以三棱錐外接球的體積為丫="g=生且=空.故選：A.

333

【舉一反三】

1.（2020吶蒙古赤峰市?高三月考）已知三棱錐P—ABC中，PA=1,PB=3,AB=2y[i，CA=CB=5

面PABJ.面ABC,則此三棱錐的外接球的表面積為（）

14萬284

A.---B.---C.1UD.127

33

【答案】B

【解析】如圖，???PA=1,PB=3,AB=2也，

冗

PA2+AB2=PB2，NPAB=-,

所以XABP的外接圓的圓心為斜邊PB的中點(diǎn)N,

???C4=CB=6，，口48。為等腰三角形.

取A3的中點(diǎn)。，連接CO,DN,

.，.CD1AB,AD=BD=屈,

CD=^BC2-BET=V3，

乂面PABJ■面ABC,面PABc面A6C=AB,CDG?ABC,

CD_L面PAB.

過點(diǎn)N作CO的平行線，則球心。一定在該直線匕

設(shè)口48。的外接圓的圓心為0],,則01點(diǎn)在CO匕連接?？?

由球的性質(zhì)則，平面ABC,則qavD為矩形.

在口A3C中，cosZCAB=5竹5=?，則$布ACAB=JH

2XV5X2V255

BC_亞_5g

所以口ABC的外接圓的半徑?sinNC4B-Jl?—3

所以?4=也，則。入也?—5

6

則0N=0Q

26

所以球的半徑為OP=y/ON2+NP2=J—+-=—

V1243

</—■\2

所以三棱錐的外接球的表面積為4萬—=4?x21=%

I3J93

故選：B

2.（2020?四川瀘州市?高三一模）已知三棱錐A-58中,口84C和口8OC是邊長為2的等邊三角形,

且平面ABC_L平面BCD,該三棱錐外接球的表面積為（)

164c201

A.44B.------C.87rD.

33

【答案】D

［解析】取5。的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則AE±BC,DE±BC,

因?yàn)槠矫鍭BC,平面BCO,所以可證得AE_L平面8c。，平面ABC,

取△BC。的外心尸，作FM//AE,則￡M,E,A四點(diǎn)共面，

取口A5C的外心H,過點(diǎn)”作EF的平行線交FM于點(diǎn)。，

因?yàn)镋尸垂直平面ABC,則"0_L平面ABC,

所以點(diǎn)。到AB,C,。四點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)。為三棱錐A-外接球的球心,

連接。C,可求得0F=HE=2,DF=^，所以/?2=。。2=。/2+。/2=:+2=3,所以外接球

33333

的表面積為S=4乃心=2竽.

故選：D.

3.（2021?全國高三專題練習(xí)）己知三棱錐A-3CO中，平面A3DJ_平面BCQ,且△A8Q和△BCD都

是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）

164201

A.4才B.——C.8%D.——

33

【答案】D

【解析】如圖，

A

B

由己知可得，△ABO與△BCD均為等邊三角形，

取8。中點(diǎn)G,連接AG,CG,則AG_LB￡>,

二?平面ABD_L平面BCO,則AG_L平面BCD,

分別取△ABO與△BCD的外心￡/，過分別作兩面的垂線，相交于0,

則。為三棱錐A—6CO的外接球的球心，

由△ABO與△BCO均為邊長為2的等邊三角形，

可得0E=0/?=，CG=，x2x^=^，

23

“爐+西=J.+（竽）2=半

R=OC=

：棱錐的外接球的表面積為4%xR,=4zrx駟.故選：D.

強(qiáng)化練習(xí)

1.（2020?江西高三其他模擬（理））在三棱錐尸—ABC中，AB=AC=2垃'N84C=120°，

PB=PC=2屈,PA=275）則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.407rB.20%C.80"

【答案】A

【解析】在DBAC中，BC12=AB2+AC2-2-AB-ACcosZBAC=24<即8C=2幾，乂

PB=PC=2底,

???□P8C為等邊三角形

根據(jù)題意，有如下示意圖:

如圖，設(shè)口ABC的外接圓的圓心為01,連接0C,QA,BCcOiA=H,連接尸〃

由題意可得AHJ.3C,且A”=LOA=0,BH」BC=瓜

22

.?.由上知：PHLBC且PH=42娓f-后=3亞，又PH?+AH?=PA?，

：.PH1AH,由AHn8C=〃，P”_L平面48c

設(shè)〃為三棱錐尸一ABC外接球的球心，連接，0P,優(yōu)'過。作ODJ.PH,垂足為。，則外接球的半

徑"滿足R2=00；+Ca2=（PH-00j2+（0O）2,CO,=AB=2y/2,OD=O]H=AH=后代

入解得oq=J5，即有方=io，

...三棱錐P—A8C外接球的表面積為4萬穴2=40萬.

故選:A.

2.（2020?四川瀘州市?高三一模）已知四棱錐A-BCOE中，ABBCDE,底面6cOE是邊長為

2的正方形，且A8=3,則該四棱錐外接球的表面積為（）

A.4;rB.----C.17兀D.8萬

4

【答案】C

【解析】由題意，四棱錐A-BCDE中，四邊形8COE是邊長為2的正方形，

AB=3且AB±平面BCDE,

可把四棱錐A-5CDE放置在如圖所示的一個(gè)長方體內(nèi),

其中長方體的長、寬、高分別為2,2,3,

則四棱錐A-BCDE的外接球和長方體的外接球表示同一個(gè)球，

設(shè)四棱錐A-BCDE的外接球的半徑為R,

可得轉(zhuǎn)萬=2R，解得R=誓，

所以該四棱錐外接球的表面積為5=4萬收=4乃x(平了=17萬.故選：C.

3.(2020?四川宜賓市?高三一模)已知點(diǎn)只A,B,。在同一個(gè)球的球表面上，為，平面ABYAC,

陟、后，叱、行，P(=2,則該球的表面積為()

A.6〃B.8萬C.12nD.16〃

【答案】A

【解析】如圖，三梭錐尸-ABC補(bǔ)體在長方體中，三棱錐的外接球就是補(bǔ)體后長方體的外接球，長方體的

—少L-----；------7I(PA2+AB2]+(AB2+AC2)+(PA2+AC2)

外接球的直徑2R7PA2+AB2+AC2=4----------口-----------U-----------

V2

^PB2+BC2+PC2

即莒,

則該球的表面積S=47rA2=67r.

p

故選：A

4.（2020?廣東廣州市?高三月考）在長方體中，AB=CC]=垃,8c=1,點(diǎn)M在

正方形CDR4內(nèi),GMJ_平面ACM,則三棱錐M—4CG的外接球表面積為（）

A.—71B.7兀C.1IKD.14K

2

【答案】C

【解析】長方體AG中，AA_L平面CDD,C,,C,Mu平面CZ）OG,C,M±A,R,

又GM，平面4c知，4。匚平面4。/,；.0加，4。，

???4Cn49=4，C,M，平面A,CDt,而CD[u平面A3，二GM±CD\,

C￡>〃G是正方形，是CA與G。交點(diǎn)，即為CD的中點(diǎn)，也是6。的中點(diǎn).

△￡MC是直角三角形，設(shè)E是CG中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1中點(diǎn),則由EF//BC可得EF_L平面MCC]（長方

體中棱與相交面垂直），E是△￡同€1的外心，三棱錐A—MCG的外接球球心。在直線EF上（線段EF

或EF的延長線上）.

設(shè)OE=/z,則"+等）=（a）2+[#]+（1-A）2,解得/?=m，

,外接球半徑為r=僧+使]=叵,

Y（2J2

表面積為S=4萬/=4TTX—=11^.

故選：C.

5.（2020?全國高三月考）三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,ACLAB,AC=1，AB-y/3>

44,=2,則該三棱柱ABC-44cl的外接球的體積為（）

A.也兀B."c.嗎

D.8萬

333

【答案】B

【解析】如圖，取BC中點(diǎn)01,連交4cF點(diǎn)O,

-.■ACA.AB,：.Q為/?出ABC的外接圓圓心，

???AB=G，AC=1,.?.BCnZ,.FABC外接圓半徑為竿=1,

?/OOJICCJIAA,,A4t，平面ABC,：.OO}_L平面ABC,

又「oa=粵=1,.?.點(diǎn)。為三棱柱A3C—A4G的外接球球心，

???外接球半徑R=OB=飛00；+BO；=V2,

,外接球體積V=芻萬/?3=冗.

33

故選：B.

6.（2020?江西贛州市?高三）四面體A—BCD中，A8_L底面BCD,AB=BD=叵,CB=CD=\,則

四面體4-BCD的外接球表面積為（）

A.37cB.4%C.67rD.12%

【答案】B

如圖，在四面體A-5C0中，A3,底面BC。，AB=BD=4i，CH=CD=\,

可得ZBC￡>=90°,補(bǔ)形為長方體，則過?個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為1，1，、歷，

則長方體的對角線長為J+H可=2,

則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為1.

其表面積為4萬xa=4萬.

故選：B.

7.（2021天津?yàn)I海新區(qū)福三月考）直三棱柱ABC-A4G的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且AB=AC=2，

ABAC=90°,A4,=40,則該球的表面積為（）

A.40萬B.32萬C.10萬D.8兀

【答案】A

【解析】如圖所示，,直三棱柱ABC—A4cl的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且A8=AC=2,ABAC=90°,

A4）=4-72,

B

By

.,.可將直三棱柱ABC-AgC[補(bǔ)成長方體，其中AB=AC=BA/=CM=2,

M=BB]=40,長方體的對角線

CB[={CM2+MB：=[CM2+MB?+BB：=,+2?+（4忘了=2，即為球的直徑，則球的半徑

r為回.

球的表面積為S=4乃，=4萬=40萬.

故選：A.

8.（2020?江蘇南通市?高三期中）正三棱錐S-ABC中，SA=2,AB=2及，則該棱錐外接球的表面

積為（）

A.B.4乃C.12萬D.67

【答案】C

【解析】正三棱錐S—ABC中，SA=2,AB=2A/2.

所以S/V+SB?=AB?,

故SA_LS8,

同理可得SA_LSC,SBISC,

以S4,SB,SC為棱構(gòu)造正方體，

則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，

如圖，

B

所以(2^)2=22+22+22=12,

故球的表面積為S=4zrR2=12萬,

故選：c

9.（2021?安徽宣城市?高三期末（文））在三棱錐P—A3C中，平面ABC,

N84C=12O°,AP=2叵,AB=4C=4則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積是（）

A.18萬B.367C.407D.72萬

【答案】D

【解析】

如圖所示，NR4C=120°,A5=AC=4,取比'中點(diǎn)也連接加并延長到H使腑外則四邊形力創(chuàng)。是

兩個(gè)等邊三角形組成的菱形，4忙點(diǎn)小'是口ABC的外接圓圓心，過N作平面/8C的垂線NG,則球心

一定住垂線NG匕因?yàn)镻A_L-平面ABC,則PA//NG,1與陸?共面，住面內(nèi)作/%的中垂線，交于"，

則。是外接球球心，半徑啟曲，RkAON中，ON=^AP=也,AN=4,故/?=,4?+（6『=3『，

故外接球的表面積S=4〃R2=4〃*18=72%.

故選:D.

10.（2020江蘇南京市第二十九中學(xué)高三期中）已知直三棱柱ABC—44G的頂點(diǎn)都在球。上，且AB=4,

A4,=6,NACB=30。，則此直三棱柱的外接球。的表面積是（）

500n

A.25JIB.50兀C.10071D.----

3

【答案】C

【解析】如圖所示:

設(shè)點(diǎn)。'為口ABC外接圓的圓心,

因?yàn)镹AC8=30。，

所以NAO'3=60°，又。/=。'8=7,

所以△AO'B是等邊三角形，

所以r=O'A=O'B=A8=4,

又直三棱柱ABC—的頂點(diǎn)都在球。I.

所以直三棱柱的外接球。的表面積是S=4萬a=100萬，

故選：C

11.（2021?平?jīng)鍪星f浪縣第一中學(xué)高三其他模擬（理））已知NABC=90°,PAL平面48C,若

PA=AB=BC=1,則四面體用外的外接球（頂點(diǎn)都在球面上）的體積為（）

A.7CB.瓜C.2%D.里巴

2

【答案】D

【解析】取氣的中點(diǎn)“連接力，0B,由題意得尸A_L8C,

又因?yàn)锳C,8cpecAC=A,所以BC_L平面H4C,所以BC_LP3,在RtAPBCQB=>PC,

2

同理QA=，PC,所以O(shè)4=OB=OC=LPC,因此AA,B,「四點(diǎn)在以。為球心的球面上，

22

在放A4BC中，AC=4AB?+BC?=&.在RMAC中,PC7P#+AC?=也，球。的半徑

R=；PC=3,所以球的體積為=*3

故選：I).

12.(2020?甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三其他模擬(理))在四棱錐P—A3CD中，BC//AD,AD±AB,

AB=2布,AD=6,BC=4,PA=PB=PD=46,則三棱錐P—外接球的表面積為()

A.604B.40萬C.1004D.80?

【答案】D

【解析】如圖，取A。的兩個(gè)三等分點(diǎn)E,連接3。、O。、CE,

設(shè)連接產(chǎn)”、AH.

則A。=g=2,.?.。]。=3C=4,又QBC//AD，,BC//O.D,

所以，四邊形為平行四邊形，為8。的中點(diǎn)，

所以，AH=BH=DH=LBD=LX<12+36=26

22

由勾股定理可得0出=7AO,2+AB2=,+(2⑸=4，則。8=。。.

在放△?A5中，tanZAO,B=-=y/3,.-.ZAOIB=^,

TT

QBC//AD.NCBO\=],又8C=4O=QB,則△()、BC為等邊三角形，

；.OC=OiB=OQ=4,則。是口BCD的外接圓的圓心.

因?yàn)镻A=PB=PD=46，H為BD的中點(diǎn)，：.PH上BD，

71

PA=PB,AH=BH,PH=PH、4PAHsAPBH.；.NPHA=ZPHB=-,

2

PH1AH,又?；PH工BD,A//nBD=",平面ABC。,

且PH=y/PA2-AH2=J（4@2-（2可=6.

設(shè)。為三棱錐P—BCD外接球的球心，連接0日、OP、0D,過。作OFLPH,垂足為尸，

則外接球的半徑R滿足R2=OO；+4?=（6-OQ了+0斤,

設(shè)OQ=x,則/+16=（6-xp+4,解得x=2,

從而a=X2+42=20.故三棱錐P-5CD外接球的表面積為4乃穴2=80%.

故選：D.

13.（2021?固原市第五中學(xué)高三期末（理））已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的

表面積為24,則這個(gè)球的體積為.

【答案】46力

【解析】設(shè)正方體邊長。，正方體外接球的半徑為此

由正方體的表面積為24,所以6/=24，

則a=2,又R=2a，所以R=百，

2

所以外接球的體積為：g乃R'=g》（百）=4岳.

故答案為：4出兀.

14.（2021?安徽池州市?高三期末（理））已知四棱錐A—8COE的底面3CDE是邊長為2的正方形，DE1.

平面他E,AE=2,AC=26,則四棱錐A—3C0E的外接球的表面積為.

【解析】如圖所示:

BE

A'

,:OE_L平面ABE,BC±平面ABE,

/.ZABC=90°,則有AB2+BC?=AC2.

解得A3=2,又AE=2,

構(gòu)造正三棱柱ABE-AC。，其上下底面邊長為2,高為2,

則其外接球的球心是上下中心連線的中點(diǎn)，

設(shè)外接球半件R,

則a=0首+00|2=[當(dāng)。，，

3)3

=4介=也.

所以外接球的表面積為S

3

故答案為：學(xué)

3

15.(2021?吉林四平市?高三期末)已知直三棱柱ABC—440,43=4。=2,3。=26,胡=2,其外

接球的體積為一.

【答案】儂i兀

3

【解析】已知/廬陽三角形ABC為等腰三角形，取必為火的中點(diǎn)，連接施則4k陽

由已知得除26，BA/=73,XVAB=2,.-.Z5AM=60O,NBAC=120°,

BC2A/3..

________—4—Jy,

再由正弦定理sin^—6,（r為三角形ABC外接圓半徑），尸2,

2

設(shè)兩底面的外接圓的圓心分別為a,Q,

外接球球心。為QQ的中點(diǎn)，外接球的半徑R=。4=J+］明=逐，

所以球的體積為士乃7?3=更反，

33

故答案為：弛6兀.

3

16.（2021?河南鄭州市?高三一模）已知A-BC力是球。的內(nèi)接三棱錐，

AB=AC=BC=BD=CD=6,AD=9,則球。的表面積為..

【答案】84%

【解析】取BC，A。的中點(diǎn)M,N,因?yàn)?8=4。=8。=8。=。。=6,4。=9,所以4〃_13<^,

DM工BC,所以BCJ,平面

VN既是8C,乂是A