必修二立體幾何經(jīng)典證明題

必修二立體幾何經(jīng)典證明試題1.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A11.【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,又∵面，∴,CBADC1A1由題設(shè)知,∴=,即,又∵,∴⊥面,∵面，∴面⊥面；（Ⅱ）設(shè)棱錐的體積為，=1，由題意得，==，由三棱柱的體積=1，∴=1:1，∴平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.2.如圖5所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點，是上的點且，為△中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，，，求三棱錐的體積；（3）證明：平面.【解析】（1）證明：因為平面，所以。因為為△中邊上的高，所以。因為，所以平面。（2）連結(jié)，取中點，連結(jié)。因為是的中點，所以。因為平面所以平面。則，。（3）證明：取中點，連結(jié)，。因為是的中點，所以。因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以。因為，所以。因為平面，所以。因為，所以平面，所以平面。3.不同于點），且為的中點．求證：（1）平面平面；（2）直線平面． 【答案】證明：（1）∵平面。又∵平面，。又∵平面，平面。又∵平面，平面平面。（2）∵為的中點，。又∵平面，且平面，。又∵平面，，平面。由（1）知，平面，∥。又∵平面平面，直線平面4.如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．（1）證明：EF∥面PAD；（2）證明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱錐P—ABCD的體積．如圖，連接AC，∵ABCD為矩形且F是BD的中點，∴AC必經(jīng)過F 1分又E是PC的中點，所以，EF∥AP 2分∵EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，∴EF∥面PAD （2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD 又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD （3）取AD中點為O，連接PO，因為面PAD⊥面ABCD及△PAD為等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO為四棱錐P—ABCD的高 ∵AD=2，∴PO=1，所以四棱錐P—ABCD的體積8.如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，點在上，。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面.9.如圖4,在邊長為1的等邊三角形中,分別是邊上的點,,是的中點,與交于點,將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1)證明://平面;(2)證明:平面;(3)當(dāng)時,求三棱錐的體積.答案】(1)在等邊三角形中,,在折疊后的三棱錐中也成立,,平面,平面,平面;(2)在等邊三角形中,是的中點,所以=1\*GB3①,.在三棱錐中,,=2\*GB3②;(3)由(1)可知,結(jié)合(2)可得.10.如圖,在四棱錐中,,,,平面底面,,和分別是和的中點,求證:(1)底面;(2)平面;(3)平面平面【答案】(=1\*ROMANI)因為平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于這個平面的交線AD所以PA垂直底面ABCD.(=2\*ROMANII)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED為平行四邊形,所以BE∥AD,又因為BE平面PAD,AD平面PAD所以BE∥平面PAD.(=3\*ROMANIII)因為AB⊥AD,而且ABED為平行四邊形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(=1\*ROMANI)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因為E和F