初二數(shù)學(xué)全等三角形的概念、性質(zhì)及判定

全等三角形中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之間的關(guān)系掌握兩個三角形全等的條件和性質(zhì)；會應(yīng)用三角形全等的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題會利用全等三角形的知識解釋或證明經(jīng)過圖形變換后得到的圖形與原圖形對應(yīng)元素間的關(guān)系例題精講一、全等的概念全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形.全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形.相互重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角.全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等.如下圖，兩個全等的五邊形，記作：五邊形ABCDE0五邊形A'B'C'D'E'.這里符號“0”表示全等，讀作“全等于”.全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個三角形的邊和角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長面積均相等.全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.能夠相互重合的頂點、邊、角分別叫作對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角.全等符號為“0”.全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊.(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角.(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角.(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).

要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵.二、全等的性質(zhì)和判定全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理岔人5)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(2)角邊角定理仆5人)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(3)邊邊邊定理岔55)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(4)角角邊定理仆人5)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線.奧數(shù)賽點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ).判定三角形全等的基本思路:'找夾角TSAS已知兩邊］找直角THL找另一邊TSSS邊為角的對邊一找任意一角一AAS已知一邊一角＜'找這條邊上的另一角一ASA邊就是角的一條邊＜!找這條邊上的對角一已知一邊一角＜找該角的另一邊一SAS已知兩角找兩角的夾邊已知兩角找兩角的夾邊TASA找任意一■邊TAAS全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式:⑴平移全等型⑵對稱全等型⑶旋轉(zhuǎn)全等型由全等可得到的相關(guān)定理：⑴角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.⑵到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上.⑶等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（即等邊對等角）.⑷等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.⑸等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）.⑹線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.⑺和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【例1】判定兩個三角形全等的方法是：⑴ ;⑵:⑶:⑷:⑸:⑹全等三角形的性質(zhì)是對應(yīng)邊、對應(yīng)角、周長、面積都分別 .【解析】略【答案】（1）定義，（2）SAS,（3）ASA,（4）AAS,（5）SSS,（6）HL;相等.【例2】兩個三角形具備下列（ ）條件，則它們一定全等.A.兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等B.三個角對應(yīng)相等C.兩角和一組對應(yīng)邊相等D.兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等【解析】略.【答案】C【例3】下列命題錯誤的是（ ）A.全等三角形對應(yīng)邊上的高相等B.全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等C.全等三角形對應(yīng)角的角平分線相等D.有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等【解析】略【答案】D.【例4】不能確定兩個三角形全等的條件是（ ）A.三邊對應(yīng)相等 B.兩邊及其夾角相等C.兩角和任一邊對應(yīng)相等 D.三個角對應(yīng)相等【解析】略【答案】D.【例5】如圖，圖中有兩個三角形全等，且NA=ZD,AB與DF是對應(yīng)邊，則下列書寫最規(guī)范的是（BECFBECFA.△ABC^ADEFB.△ABC^ADFEC.△BAC^ADEFD.△ACB^ADEF【解析】略【答案】B【例6】如圖，AC=AB,AD平分Z^AB,E在AD上，則圖中能全等的三角形有 對.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】略【答案】C【例【解析】略【答案】C【例7】如圖，△ABC中，D、E是BC邊上兩點，AD=AE,BE=CD,Z1=Z2=110。,ZBAE=60。，則ZCAD等于（ ）70。60。 70。60。 C.50。D.110?！窘馕觥柯浴敬鸢浮緽【例8】△ABC和△DEF,AB=DE,ZA=ZD，若AABC^ADEF還需要（ ）A.ZB=ZE B.ZC=ZF C.AC=DFD.以上三中情況都可以【解析】略【答案】D【例9】如圖，AABC中，ZC=90。，AC=BC,AD平分ZCAB交BC于D,DE±AB于E且AB=6cm，則ADEB的周長為（ ）A.40cm B.6cm C.8cm D.10cm

BB【解析】略【答案】B【例10］如圖，/CAB=ZDBA，/C=ZD,AC,BD相交于點E，下面結(jié)論不正確的是（ ）A./DAE=/CBE B./DEA與ACEB不全等 C.CE=EDD.△AEB是等腰三角形【解析】略【答案】B【例11］考查下列命題：①有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；②兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上的高）對應(yīng)相等的兩個三角形全等.其中正確命題的個數(shù)有個.【解析】正確的是②③【答案】2【例12］已知AABC中，AB=BC豐AC,作與AABC只有一條公共邊，且與AABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出 個.【解析】略【答案】7【例13］如左下圖所示，AABC中，D、E分別在AC、AB上，BD與CE交于點【例13］①/EB0=/DC0；0/BE0=/CD0；@BE=CD；?0B=0C上述四個條件中，哪兩個條件可判定，AABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；【答案】7對：AA0B空AD0C;AA0C空AD0B;AAE0經(jīng)ADF0;AAEC0ADFB;AABC0ADCB;AABD0ADCA;AAEB0ACFD.理由略.【例14］如右上圖所示，AB〃CD,AC〃DB,AB=CD,AD與BC交于0,AE±BC于E,DF±BC于F,那么圖中全等的三角形有哪幾對？并簡單說明理由.

A BC D【解析】略.【答案】①③、①④、②③、②④【例15】在AB、AC上各取一點E、D,使AE=AD,連接BD、CE相交于O再連結(jié)AO、BC,若Z1=Z2,則圖中全等三角形共有哪幾對？并簡單說明理由.【解析】略【答案】有5對：AAEO0AADO;AAEC0AADB;AEOB0ADOC;AAOB0AAOC;ACDB0ABEC;理由略.【例16]如圖所示，AB=AD,BC=DC,E、F在AC上，AC與BD相交于P.圖中有幾對全等三角形?請一一找出來，并簡述全等的理由.【解析】略【答案】共10對全等三角形.AABC0AADC；AABE0AADE；AABP0AADP；AABF0AADF；ABCF0ADCF；ABCP0ADCP；ABCE0ADCE；ABEP0ADEP；ABEF0ADEF；ABPF0ADPF.【例17］如圖，△ABC中，AB=AC,AD平分/BAC，則 0【解析】略【答案】△ABD0^ACD【例18]斜邊和一銳角對應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是 ，底邊和腰相等的兩個等腰三角形全等的根據(jù)是 .

【解析】略【答案】AAS;HL【例19】已知△ABC^ADEF,△DEF的周長為32cm,DE=9cm,EF=12cm，則AB=BC=,AC=.【解析】略【答案】9cm;12cm;11cm【例20］如圖，AC=BD，要使AABC^ADCB還需要知道的一個條件是 【解析】略【答案】ZACB=/DBC【例21］如圖，若Z1=Z2,/C二/D，則△ADB2，理由【解析】略【答案】△ABC【解析】略【答案】△ABC;AAS【例22］如圖，/C=ZE,N1=N2,AC=AE,則△ABD按邊分是三角形.【解析】略【答案】等腰【例23］如圖，AB=AC,BD1AC于D,CE1AB于E,交BD于P,則PDPE.（填“<”或“>”或“=”）

如圖，△ABC中，AB=AC，現(xiàn)想利用證三角形全等證明/B=/C,若證明三角形全等所用的公理是SSS公理，則途中所添加的輔助線應(yīng)是 .取BC中點D，連接AD一個三角形的三邊為2、5、％，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則°%+y=.略11如圖，AD=AE,若^AEC貯他ADB，則需要增加的條件是 .(至少三種)略AC=AB;/B=/C;/ADB^ZAEC一塊三角形玻璃斷裂后，如圖所示的殘片A或殘片B，你對途中作哪些數(shù)據(jù)測量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說明理由.選殘片B，利用ASA殘片A全等如圖，在△ABC中，AM是中線，AD是高線.(1)若AB比AC長5cm，則△ABM的周長比4ACM的周長多cm.【答案】【例24】【答案】【例25】【解析】【答案】【例26】【解析】【答案】【例27】【答案】【例28】(2)若AAWC的面積為10cm2，則△ABC的面積為（3）若AD又是AAWC的角平分線，/AMB=130°，求ZACB的度數(shù).【解析】

【答案】【解析】

【答案】略(1)5cm;(2)20;(3)50°【例29】已知如圖，B是CE的中點，AD=BC,AB=DC.DE交AB于F點.求證：（1）AD〃BC（2）AF=BF【解析】略【答案】（1）利用AABD咨ACDB，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等；（2）利用△ADF經(jīng)△BEF;【例30］如圖，在△ABC中，AB=AC,DE是過點A的直線，BD±DE于點D,CE±DE于E.（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖①）且AD=CE，求證：BA±AC；（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖②）其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是請予證明，若不是請說明理由圖①圖②圖①圖②【解析】略【答案】（1）利用△ABD^△CAE;（2）同第一問課后作業(yè)

一、填空題.的兩個圖形叫做全等形.【解析】略【答案】完全重合.把兩個全等的三角形重合到一起，叫做對應(yīng)頂點；叫做對應(yīng)邊；叫做對應(yīng)角.記兩個三角形全等時，通常把表示 的字母寫在 上.【解析】略【答案】重合的頂點；重合的邊；重合的角；對應(yīng)頂點；對應(yīng)位置3.全等三角形的對應(yīng)邊 【解析】略3.全等三角形的對應(yīng)邊 【解析】略【答案】長度相等；大小相等，對應(yīng)角，這是全等三角形的重要性質(zhì).【解析】略【答案】DC;BD;ZA【解析】略【答案】2cm;1.5cm;48。;25?！窘馕觥柯浴敬鸢浮?cm;1.5cm;48。;25。若AB//CD，則AB的對應(yīng)邊是C.CDD.AD圖1—3( )二、選擇題6.已知：如圖1—3,A.DBAABD0CDB,B.BC【解析】略【答案】C.下列命題中，真命題的個數(shù)是（①全等三角形的周長相等③全等三角形的面積相等A.4①全等三角形的周長相等③全等三角