數(shù)學(xué)模型層次分析法的若干問題

數(shù)學(xué)模型層次分析法的若干問題1第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五9.3層次分析法的若干問題層次分析法問世幾十年來不僅得到廣泛的應(yīng)用，而且在理論體系、計算方法以及建立更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)等方面都有著很快的發(fā)展。本節(jié)將著重從應(yīng)用的角度分析幾個問題。

1、正互反陣最大特征根和對應(yīng)特征向量的性質(zhì)成對比較陣是正互反陣。在層次分析中用對應(yīng)它的最大特征根的特征向量最為權(quán)向量，用最大特征根定義一致性指標(biāo)進(jìn)行一致性檢驗。2第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五這里人們首先碰到的問題是：正互反陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指標(biāo)的大小是否反映它接近一致陣的程度，特別，當(dāng)一致性指標(biāo)為零時，它是否就變?yōu)橐恢玛?。下面兩個定理可以回答這些問題。定理1對于正矩陣A(A的所有元素為正數(shù)），1）A得最大特征根是正單根λ；2）λ對應(yīng)正特征向量w（w得所有分量為正數(shù)）；3）3第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五其中e=(1,1,…，1）T,w是對應(yīng)λ的歸一化特征向量。定理1）、2）是著名的Perron（1907）定理的一部分，3）可以通過將A化為表征證明。定理2）n階正互反陣A的最大特征根λ≥n;當(dāng)λ=n時A是一致陣。

[證明]設(shè)A的對應(yīng)于λ的特征向量為w=(w1,w2,…，wn),由定理1，λ>n,w>0.不妨將A的元素aij記做（1）4第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由A的正互反性，（2）根據(jù)特征根和特征向量的定義（3）將（1）代入（3）并對i求和得（4）5第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五利用（2）式并注意到εij=1，（4）式可化為（5）因為恒有（6）而（5）式中Σ和號內(nèi)共項，所以（5）、（6）給出（7）6第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五此即定理的第1部分。當(dāng)λ=n時由（5）、（6）式可知必有（8）于是，由（1）知滿足一致陣條件（9.1節(jié)（4）式），A是一致陣。7第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定理2和9.1節(jié)所述的一致陣的性質(zhì)表明，n階正互反陣A是一致陣的充要條件為，A的最大特征根λ=n。上述結(jié)論為特征根法用于層次分析提供了一定的理論根據(jù)。8第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

2、正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法。眾所周知，利用定義計算矩陣的特征根和特征向量是相當(dāng)困難的，特別是矩陣階數(shù)較高的時候。另一方面，因為成對比較陣基本上是定義比較的量化結(jié)果，對它做精確計算是不必要的、，所以完全可以用簡便的近似算法計算特征值和特征向量，下面介紹幾種。9第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

（1）冪法步驟如下

a.任取n維歸一化初始向量w(0)b.計算

c.歸一化，即令

d.對于預(yù)先給定的精度ε，當(dāng)|wi(k+1)-wik|<ε(i=1,2,…，n),w(k+1)即為所求的特征向量；否則返回b.10第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

e.計算最大特征根這是求最大特征根對應(yīng)特征向量的迭代法，其收斂性由定理1的3）保證。w(0)可任取或取為下面方法得到的結(jié)果。11第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五（2）和法步驟如下a.將A的每一列向量歸一化得b.將按行求和得c.將歸一化12第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五即為近似特征向量。d.計算，作為最大特征根的近似值。這個方法實際上是將A的列向量歸一化后取平均值，作為A的特征向量。因為當(dāng)A為一致陣時它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴(yán)重，則取A的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的。13第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

（3）根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b該為b/.對按行求積并開n次方根法是將和法中求列向量的算術(shù)平均值該為求幾何平均值。以上3個方法中以和法最簡單。用它計算一個例子14第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五類向量歸一化按行求和歸一化精確計算給出w=（0.588，0.322，0.090）T,λ=3.010.二者相比，相差甚微。15第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

3、為什么用成對比較陣的特征向量作為權(quán)向量我們知道，當(dāng)成對比較陣A是一致陣時，aij與權(quán)向量w=(w1,…,wn)T得關(guān)系滿足，那么當(dāng)A不是一致陣時候，權(quán)向量w的選擇應(yīng)使得aij與相差（對所有的i,j)盡量小。這樣，如果從擬合的角度看，確定w可以化為如下的最小二乘問題：（9）16第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由（9）式得到的最小二乘權(quán)向量一般與特征根法得到的不同。但是因為（9）式將導(dǎo)致求解關(guān)于w1的非線性方程組，計算復(fù)雜，沒有有實用價值。如果改為對數(shù)最小二乘法（10）則化為求解關(guān)于lnw1的線性方程組?？梢则炞C，如此解的w1恰是前面根法計算的結(jié)果。17第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五特征根法解決這個問題的途徑可由定理2的證明過程看出，若用（1）式給出的個方程由aij確定wi,εij共個未知數(shù)（i=1,…，n,i>j),需要增加n個限制條件。若這n個條件為（11）則經(jīng)（4）式推出（3）式，w恰為特征向量，（11）式的含義請讀者解釋（對比A為一致陣的情況）。由上可知，用不同標(biāo)準(zhǔn)確定的權(quán)向量是不同的。（當(dāng)然，若A為一致陣，則用所有標(biāo)準(zhǔn)確定權(quán)向量相同）。那么，相對其他方法特征根法有什么優(yōu)越性呢？18第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五比較C1,C2,…,Cnn各因素對上層某因素的影響時，aij是Ci對Cj(直接比較）的強度，不妨稱為1步強度。若記A2=(aij(2)),則不難得到，即aij(2)是Ci通過Cs(s=1,2,…，n)對Cj比較強度之和，稱為2步強度，它已包含了1步強度aij（因為和式中包括s=i,j).顯然aij(2)比aij更能反映Ci對Cj的強度。類似地，記Ak=(aij(k)),aij(k)是k步強度，它包含了1步至k-1步強度。K越大，aij(k)越能前面反映Ci對Cj的強度?？梢哉J(rèn)為aij(k)體現(xiàn)了相互比較的多步累積效應(yīng)。更進(jìn)一步證明，對于正互反陣A和每一對(i,j),存在k0，當(dāng)k>k0時ais(k)≥ajs(k)或ais(k)≥ajs(k)對所有ｓ（０≥ｓ≥１）成立。19第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五這表明對于足夠大的ｋ，Ａｋ的第i行元素給出Ci在全部因素中排序權(quán)重的信息?？梢杂眠@行元素之和作為Ci的權(quán)重的度量，即以e=(1,1,…，1）T)為諸因素的權(quán)向量，其中分母是歸一化的需要。回顧本節(jié)定理1的3），當(dāng)k∞時這個權(quán)向量正是A的特征向量w，即（12）20第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由（12）式用級數(shù)理論還不難證明（13）以上分析表明，無論從全面反映因素強度對比的多步累積橋應(yīng)意義上（（12）式），還是從各個多步積累效應(yīng)的平均的意義上((13))，用特征向量作為權(quán)向量，由于從其他方法得到的權(quán)向量。21第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

4、不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算在前兩節(jié)列舉的大多數(shù)層次結(jié)構(gòu)模型中，上一層的每一個因素都支配著下一層的所有因素，或者被下一層所有因素影響，如圖9-1，9-2，9-4~9-6,這種層次結(jié)構(gòu)稱為完全的。但是也有層次結(jié)構(gòu)不是這樣的，如圖9-3，第二層中的準(zhǔn)則C1支配第三層的3個指標(biāo)C11,C12，C13(或者說有3個指標(biāo)從屬于C1)，而C2支配另外4個指標(biāo)，C3不再劃分指標(biāo)，可以視為第3層的指標(biāo)就是準(zhǔn)則C3自己，即C31=C3，這種層次結(jié)構(gòu)稱為不完全的。22第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五不完全的層次機構(gòu)會出現(xiàn)在不少評價、決策問題中，如學(xué)校要評價教師的貢獻(xiàn)，粗略地只考慮教學(xué)與科研兩個指標(biāo)，若P1,P2,P3,P44位老師中P1,P2只從事教學(xué)，P4只搞科研，P3二者兼顧，那么層次結(jié)構(gòu)模型如圖9-7。C1,C2支配因素的數(shù)目不等。教師貢獻(xiàn)教學(xué)C1科研C2P1P2P3P4圖9-7

評價教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)23第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五在不完全層次結(jié)構(gòu)組合權(quán)向量的計算中，是否應(yīng)考慮以及怎樣考慮支配因素數(shù)不等的影響。為了避免敘述上的繁瑣，我們具體設(shè)第2層有2個因素C1，C2,它們對第1層的權(quán)向量w(2)=(w1(2),w1(2))已經(jīng)確定，第3層的因素P1,P2,P3,P4受C1支配，記n1=3.P3,P4受C2支配，記n2=2.兩個權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T和w1(3)=(0,0,w23(3),w24(3))T也已分別從成對比較陣算出。因為第3層共4個因素，所以w1(3),w2(3)都應(yīng)是四維向量，當(dāng)某一因素不受C1或C2支配時，權(quán)向量的相應(yīng)分量為零。下面討論由w(2)和W(3)=(w1(3),w2(3))計算第3層對第1層的組合權(quán)向量w(3)的方法。24第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五（1）不考慮支配因素數(shù)目不等的影響，像完全層次機構(gòu)計算一樣，用9.1式（8）式，即

w(3)=W(3)w(2)(14)這種方法適合像圖9-3科技評價那樣的問題，其第3層指標(biāo)分別屬于第2層的每一準(zhǔn)則，所以每個指標(biāo)對目標(biāo)的組合權(quán)重，應(yīng)該等于它對所屬準(zhǔn)則的權(quán)重乘以這個準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，這正是（14）式所表示的。25第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五（2）支配因素越多相對權(quán)重越大。用支配以俗的數(shù)目對權(quán)向量w(2)進(jìn)行加權(quán)，修正，再計算w(3),仍用前面的記號，有（15）（16）其中（15）式右端后面的因子是歸一化的需要26第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五在圖9-7所示的極少貢獻(xiàn)的評比中，如果教師從事教學(xué)或科研完全由上級安排，那么若不考慮教學(xué)與科研的人數(shù)，則在評價時搞教學(xué)的老師（人數(shù)較多）將吃虧。譬如教學(xué)與科研兩個準(zhǔn)則的重要性相同，即w(2)=(1/2,1/2)T,4位老師不論從事教學(xué)或科研，能力都相同，即w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T.公正的評價應(yīng)是，被安排只搞教學(xué)或科研的P1,P2,P4的貢獻(xiàn)相同，而P3的貢獻(xiàn)為他們的一倍。但是按（14）式得到的是w(3)=(1/6，1/6，5/12，1/4)T.用（15）、（15）式才會得到合理的結(jié)果w(3)=(1/5，1/5，2/5，1/5)T。27第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五（3）支配因素越多項對權(quán)重越小。用支配因素的倒數(shù)對w(2)加權(quán)，（15）式變?yōu)椋?7）如果教師從事教學(xué)和科研完全靠發(fā)揮個人的積極性那么可以考慮這種評價模式，以鼓勵從事人數(shù)較少的那一類工作（如圖9-7中n2<n1)得老師。28第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五則第p層對第1層的組合一致性比率為

CR(p)=CR(p-1)+CI(p)/RI(p),p=3,4,…，s(13)其中CR(2)為由（7）式計算的一致性比率。最后，當(dāng)最下層對最上層的組合一致性比率

CR(s)<0.1(14)認(rèn)為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。在旅游決策問題中可以算出CI(3)=0.00176，RI(3)=0.58,前面已經(jīng)有了CR(2)=0.016,于是由（13）得到29第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

5。遞階層次結(jié)構(gòu)和更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)以上討論的所有層次結(jié)構(gòu)模型有兩個特點，一是模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次累不因素之間不存在相互影響或支配的作用，或者這種影響可以忽略；二是層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對上層的反饋作用，或者層之間的循環(huán)影響。具有這些特點成為遞階層次結(jié)構(gòu)，前面介紹的全部算法都是針對這種層次結(jié)構(gòu)的。更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)有以下幾種情況。30第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

1、層次內(nèi)部元素之間相互影響。例如以行駛性能為目標(biāo)對各種型號汽車做評價是，準(zhǔn)則層有剎車、轉(zhuǎn)向、加速、運行等，這些準(zhǔn)則之間就是相關(guān)的。

2、下層反過來對上層有支配作用，形成循環(huán)，從而無法區(qū)分上下層。例如可以用教學(xué)、科研等每一項指標(biāo)評價幾位教師，也可以反過來對每一位教師比較他的教學(xué)、科研哪一方面表現(xiàn)最為出色，從而在指標(biāo)層和對象層之間形成循環(huán)。

3、既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，又在層次之間存在反饋作用。31第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)雜的社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)就是這種情況，它的一個簡化模型如圖9-8。產(chǎn)業(yè)、需求、政策等6個層次（或稱子系統(tǒng)）之間存在復(fù)雜的相互關(guān)系（用帶箭頭的直線表示），在每層內(nèi)部