數(shù)學(xué)分析第二十二章曲面積分

數(shù)學(xué)分析第二十二章曲面積分第1頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五一、概念的引入實(shí)例

所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面,且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.§1第一型曲面積分第2頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五分割取近似求和取極限勻質(zhì)之質(zhì)量非勻質(zhì)之質(zhì)量，用元素法解決第3頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五定義1設(shè)S為可求面積的曲面,為定義在S上的函數(shù).對曲面S作分割T,將S分成

n個小曲面塊Si(i=1,2,...,n),Si的面積記為在Si任取一點(diǎn)若極限存在,則稱此極限為f(x,

y,z)在S上的第一型曲面積分,記作第4頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五面積元素被積函數(shù)積分曲面積分和式即第5頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.對面積的曲面積分的性質(zhì)特別，第6頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五3.用曲面積分表示與物質(zhì)曲面有關(guān)的物理量第7頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五按照曲面的不同情況分為以下三種：記憶口訣：“一投，二換，三代”.

二第一型曲面積分的計(jì)算第8頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五,則三代：二換：一投：第9頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五,則三代：二換：一投：第10頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五注：（1）這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)，否則可利用可加性，分塊計(jì)算，結(jié)果相加（2）把曲面投影到哪一個坐標(biāo)面，取決于曲面方程即方程的表達(dá)形式（3）將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)（4）切記任何時候都要換面積元（5）若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分.第11頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五定理22.1

設(shè)有光滑曲面

f(x,y,z)在S上連續(xù),則第一型曲面積分的計(jì)算的證明第12頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五證明

由定義知

而第13頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(光滑)第14頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例1解第15頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第16頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則第18頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例2解第19頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五所以，第21頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第23頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第24頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3解第25頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例4解第29頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第30頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例5第31頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解第32頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五（左右兩片投影相同）第33頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例6

計(jì)算曲面積分

其中S為立體的邊界曲面.解設(shè)第35頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五所以第36頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例7

計(jì)算

其中

是介于平面

之間的圓柱面

分析若將曲面分為前后(或左右)則解取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.第37頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例8計(jì)算

解

取球面坐標(biāo)系,則第38頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第39頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第40頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算.1、對面積的曲面積分的概念;（按照曲面的不同情況分為三種）作業(yè)：P282:1(1)~(4)，2，3.第41頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個因子的幾何意義.第42頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).第43頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五習(xí)題二(P193)作業(yè)1；2；4；5；6.第44頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)題第45頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)題答案第47頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第二十二章曲面積分§2第二型曲面積分第48頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)一、基本概念第49頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)連通曲面S上處處有連續(xù)設(shè)M0為曲面S上一點(diǎn)，確定方向?yàn)檎较颍硪粋€方向?yàn)樨?fù)方向.

L為S上任一經(jīng)過點(diǎn)M0且不超出S邊界的閉曲線.設(shè)點(diǎn)M從M0出發(fā)，沿L連續(xù)移動，M在M0點(diǎn)與M0變動的切平面（或法線）曲面在M0點(diǎn)的一個法線有相同的法線方向，當(dāng)點(diǎn)M連續(xù)移動時，其法線方向也連續(xù)變動，最后當(dāng)M沿L回到M0時，若這時M的法線方向仍與M0點(diǎn)的法線方向一致，則稱此曲面S為雙側(cè)曲面；若與M0的法線方向相反，則稱S為單側(cè)曲面第50頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面第51頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放第52頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.上側(cè)下側(cè)第53頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定第54頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面的投影問題:類似地可定義第55頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五二、概念的引入實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.第56頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第57頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五1.分割則該點(diǎn)流速為.法向量為.第58頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.求和第59頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五3.取極限第60頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五三、概念及性質(zhì)第61頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五積分曲面被積函數(shù)有向面積元類似可定義第62頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五存在條件:組合形式:物理意義:第63頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì):第64頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五四、計(jì)算法第65頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第66頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).第67頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五這就是把對坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分的計(jì)算公式概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個變量同名的坐標(biāo)面上（如xoy面）定號：由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負(fù)號一代、二投、三定號、四換域第68頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五換域：改變積分域，曲面變投影域注積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加②確定正負(fù)號的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負(fù)第69頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解例1

計(jì)算曲面積分

其中S為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.把S分為上下兩部分第70頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第71頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考第72頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例2

計(jì)算平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)oxyz解分成四個部分左側(cè)下側(cè)后側(cè)上側(cè)第73頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理第74頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理注:對坐標(biāo)的曲面積分的對稱性被積表達(dá)式具有輪換對稱性，即將被積表達(dá)式中的所有字母按xyz順序代換后原式不變積分曲面及其側(cè)具有對稱性，這是指曲面在各坐標(biāo)面上的投影區(qū)域均相同，且配給的符號也相同第75頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3

計(jì)算

其中S是以原點(diǎn)為中心,邊長為

2

的正立方體的整個表面的外側(cè).解其中S1是S的頂部取上側(cè)

S2是S的底部取下側(cè)第76頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五由對稱性，有第77頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例4

計(jì)算

其中S是球面取外側(cè)為正向.解設(shè)S1是上半球面取上側(cè)

S2是下半球面取下側(cè)在xy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域先計(jì)算積分第78頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第79頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理可得所以第80頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)光滑曲面S，其指定一側(cè)的法方向余弦為：則沿曲面S指定一側(cè)的曲面積分五、兩類曲面積分的聯(lián)系第81頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第82頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五一般地有其中為曲面S指定一側(cè)的法方向余弦.第83頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五向量形式第84頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解第85頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第86頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五1.定義六、小結(jié)第87頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.性質(zhì)3.計(jì)算設(shè)上正下負(fù)第88頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五兩類曲面積分的聯(lián)系:4、物理意義5、計(jì)算時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號”第89頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題第90頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題解答此時的左側(cè)為負(fù)側(cè)，而的左側(cè)為正側(cè).第91頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)題第92頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第93頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)題答案第94頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第二十二章曲面積分§3高斯(Gauss)公式與

斯托克斯(stokes)公式第95頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五一問題的提出前面我們將Newton-Lebniz公式推廣到了平面區(qū)域的情況，得到了Green公式。此公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。下面我們再把Green公式做進(jìn)一步推廣，這就是下面將要介紹的Gauss公式，Gauss公式表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，同時Gauss公式也是計(jì)算曲面積分的一有效方法。第96頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五二、高斯公式1.定理:第97頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五證明第98頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法投影法（先一后二法）第99頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第100頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理------------------高斯公式和并以上三式得：第101頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五Gauss公式的實(shí)質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知第102頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五注不滿足上述條件，可以引進(jìn)若干張輔助曲面分成幾個有限的小區(qū)域使之都滿足上述條件注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個曲面積分絕對值相等，而符號相反，相加時正好抵消，因此上述公式對這樣的區(qū)域也成立，故一般地1.若第103頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五2.公式成立的條件根據(jù)Gauss公式，用三重積分來計(jì)算曲面積分是比較方便的，但Gauss公式同時也說明，可用曲面積分來計(jì)算三重積分第104頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第105頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五三高斯公式的簡單應(yīng)用解第106頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(利用柱面坐標(biāo)得)思考:

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),又如何計(jì)算?第107頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第108頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解空間曲面在面上的投影域?yàn)榍娌皇欠忾]曲面,為利用高斯公式第109頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第110頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五故所求積分為第111頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3計(jì)算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六個平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.解第112頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例1計(jì)算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中S為錐面與平面課堂練習(xí)第113頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第114頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)S1為上半球體的底面，例3計(jì)算的外側(cè).解其中S是上半球面取下側(cè).于是第115頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(1).通量的定義:3.物理意義:第116頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(2).散度的定義:第117頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五散度在直角坐標(biāo)系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,第118頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五高斯公式可寫成第119頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五高斯(1777–1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域,在數(shù)論、級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻(xiàn),他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎,原則:代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學(xué)、大恪守這樣的“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.第120頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面積分與沿S

的邊界曲線L的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定：設(shè)人站在曲面S上的指定一側(cè)，沿邊界曲線L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缜€

L的正向.這個規(guī)定方法也稱為右手法則.第121頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五二斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式第122頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五右手法則是有向曲面的正向邊界曲線證明如圖第123頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思路曲面積分1二重積分2曲線積分第124頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五1第125頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線第126頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五同理可證故有結(jié)論成立.第127頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五情形2則可通過作輔助線把

分成與z軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.證畢曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個,第128頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五便于記憶形式另一種形式第129頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五

斯托克斯公式的實(shí)質(zhì)：第130頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例1

利用斯托克斯公式計(jì)算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標(biāo)面的交線，解取逆時針方向?yàn)檎蛉鐖D所示.記三角形ABC為S,取上側(cè),則第131頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第132頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五解則第133頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五即第134頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五例3利用斯托克斯公式計(jì)算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y所交的橢圓正向.解記以L為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有第135頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第136頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理22.5

設(shè)Ω是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價(jià):(1)對Ω內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有(2)對Ω內(nèi)任一按段光滑曲線L,與路徑無關(guān)第137頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五(4)在Ω內(nèi)處處有(3)在Ω內(nèi)存在某一函數(shù)u,使第138頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五與路徑無關(guān),解:令積分與路徑無關(guān),因此例4.

驗(yàn)證曲線積分并求函數(shù)第139頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五五、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:第140頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五利用stokes公式,有2.旋度的定義:第141頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第142頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯公式的又一種形式其中第143頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯公式的向量形式其中第144頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五Stokes公式的物理解釋:第145頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五三、小結(jié)3、應(yīng)用的條件4、物理意義2、高斯公式的實(shí)質(zhì)1、高斯公式第146頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五6,斯托克斯公式成立的條件5,斯托克斯公式作業(yè):P295:1,2,3,4,5.第147頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五思考題解答曲面應(yīng)是分片光滑的閉曲面.思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？第148頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)題第149頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第150頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五第151頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)題答案第152頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家.他是19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導(dǎo)出了著名的粘性流體運(yùn)動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.第153頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲線積分與曲面積分習(xí)題課第154頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步

一、主要內(nèi)容第155頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分第156頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)算三代一定二代一定(與方向有關(guān))第157頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五與路徑無關(guān)的四個等價(jià)命題條件等價(jià)命題第158頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計(jì)算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))第159頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系第160頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五積分概念的聯(lián)系定積分二重積分第161頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五曲面積分曲線積分三重積分曲線積分第162頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五計(jì)算上的聯(lián)系第163頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五其中第164頁，共195頁，2023年，2月20日，星期五理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分