數(shù)值傳熱學第四章數(shù)值計算

數(shù)值傳熱學第四章數(shù)值計算第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.1本章的對象一、本章研究對象

本章以導熱問題為代表，介紹擴散方程的數(shù)值求解法。將通用微分方程中的對流項略去，整個方法的介紹將在第五章完成。

第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五二、以導熱問題的數(shù)值解作為學習起點的原因

熱傳導作為物理過程易于理解，而且在數(shù)學上的復(fù)雜性最小，計算方法也比較成熟；工程流動與換熱過程中的不少現(xiàn)象，其控制方程類似于熱傳導方程。如二維位勢流動；常物性流體在直管內(nèi)的充分發(fā)展對流換熱；質(zhì)擴散過程；軸承的潤滑流動；某些通過多孔介質(zhì)的流動。導熱問題數(shù)值解過程中所采用的一些方法與技巧對于對流問題的數(shù)值解也適用。如邊界條件的處理、源項的線性化及代數(shù)方程組的求解方法等。

第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五④.把熱傳導用作流體流動計算方案的基本組成部分的做法有助于理解動量傳遞與熱量傳遞之間的類似性（用某種方法把速度與溫度相比擬）。本章內(nèi)容將是流動與換熱數(shù)值解的基礎(chǔ)第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2一維穩(wěn)態(tài)熱傳導§4.2-1基本方程一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的控制方程：式中：相應(yīng)的離散化方程：第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五分布假設(shè)：由T對x的分段線性的變化算得；源項的線性化TP代表整個控制容積內(nèi)的值，即采用階梯性分布進行計算的。當然，不違背四項基本法則，選擇其它形式的分布曲線也是可以的，但盡可能采用簡單一些的分布曲線。以下各節(jié)將對離散方程中的各項給予說明第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-2網(wǎng)格間距1.采用不均勻的網(wǎng)格間距WwPeExx(x)w(x)e可以有效地擴大計算功能。在溫度T

隨x變化劇烈的區(qū)域上采用細網(wǎng)格，而在變化緩慢的區(qū)域采用較疏（粗）的網(wǎng)格。2.怎樣設(shè)計一個合適的非均勻網(wǎng)格因為在問題求解之前，T～x的分布是不知道的，那么如何設(shè)計網(wǎng)格呢？？第7頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五①.對所要得到的解進行某些定性的預(yù)計，使設(shè)計得到某些指導；②.采用粗網(wǎng)格進行試算,求得T～x的變化形式，再對溫度變化急劇的區(qū)域加密，最后構(gòu)成一個合適的非均勻網(wǎng)格。3.先疏后密的網(wǎng)格劃分是有前提的采用粗網(wǎng)格得到的數(shù)值結(jié)果必須符合物理上的真實性，要做到這一點，就應(yīng)該確保離散方程同時滿足四個基本法則。達到給定精度所需要的網(wǎng)格點數(shù),以及這些網(wǎng)格點在計算域內(nèi)應(yīng)采取的分布方式與所求問題的特性有關(guān)。4.采用僅幾個網(wǎng)格點進行試探性計算，為弄清有關(guān)解的情況提供了一個方便的途徑。也可來指導實驗。第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-3界面導熱系數(shù)1.問題的提出

通用離散方程式aE、aW分別是節(jié)點E與P和節(jié)點W與P間的熱導，熱導的大小反映了周圍節(jié)點對節(jié)點P的影響程度。系數(shù)aE、aW中分別含有交界面導熱系數(shù)ke與kw。當k是x的函數(shù)時，只知道kP

、kE、

kW，無法知道ke與kw的值，而ke與kw是決定交界面熱流量的關(guān)鍵量。因此，計算ke與kw的方法是否合理就顯得非常重要了。式中：第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五k值不均勻性產(chǎn)生的原因由材料的不均勻性引起（如組合材料板）；材料均勻，T分布的不均勻性也會導致k的不均勻。2.求解方法①.算術(shù)平均法xPeE(x)e(x)e+(x)e-如圖所示，P、E之間，k與x呈線性關(guān)系，則由P、E兩點上的kP

、kE確定ke的關(guān)系式為：第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五顯然，這相當于線性插值。當界面e位于兩個節(jié)點之間的中點時，fe=0.5,此時第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五②.調(diào)和平均法利用傳熱學基本公式可以導出界面上當量導熱系數(shù)的調(diào)和平均公式。據(jù)界面上熱流密度連續(xù)的原則，寫出下式：另一方面，按界面上當量導熱系數(shù)的含義，應(yīng)有：比較兩式可得：可看成是串聯(lián)過程熱阻疊加原則的反映(x)ePeE(x)e+(x)e-x第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五③.兩種方法的比較算術(shù)平均法簡單方便，但在處理導熱性能相差很大的組合材料導熱時存在明顯缺陷。下面討論兩種極限情況：

kE0,即設(shè)想交界面e是k

相差很大的兩種材料的分界面，節(jié)點E的控制容積是絕熱材料，這時節(jié)點E、P之間的導熱量應(yīng)該小到接近于零，即兩點間的熱阻應(yīng)接近于∞。但用算術(shù)平均法計算,,這時ke與kE無關(guān)，僅與kP有關(guān)，不符合物理規(guī)律。(x)ePeE(x)e+(x)e-x第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五P控制容積是良導熱體,按算術(shù)平均法計算,當網(wǎng)格均分時,即P、E兩點間的熱阻為，表明此時P、E間的熱阻主要由k大的物體所決定，顯然不符合傳熱原理。實際上，此時控制體E構(gòu)成了熱阻的主要部分。(x)ePeE(x)e+(x)e-x第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五調(diào)和平均法可以合理求解上述兩種極限情況

當時表明ke

完全與kP無關(guān)，這個結(jié)果是可以預(yù)料的。因為圍繞P點的材料k

值高，其熱阻與圍繞E點的材料相比可以忽略。

當

kE0時，由計算公式得ke0，qe0。意味著在一個絕熱層的表面上熱流密度為零，與實際情況相符。第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五調(diào)和平均公式的推導是對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、k在相鄰的兩個控制容積之間發(fā)生階梯式變化導出的。從定性上，串聯(lián)熱阻疊加的適應(yīng)性不受上述條件的限制。采用兩種方法進行數(shù)值計算的結(jié)果表明，即使對有內(nèi)熱源或k呈連續(xù)變化的場合，調(diào)和平均也比算術(shù)平均更好一些。第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-4非線性若離散化方程是一個線性的代數(shù)方程，式中的各項系數(shù)均為已知數(shù)，聯(lián)立求解代數(shù)方程組可得到溫度場。但實際問題中，Kp、KE和Ke或線性化源項的系數(shù)SC、SP是溫度T的函數(shù)，這樣離散化方程的系數(shù)aE、aW、aP本身也成為溫度的函數(shù)，方程非線性采用擬線性化的方法求解（迭代）。具體求解步驟：①.先設(shè)定域內(nèi)全部節(jié)點的溫度值（給定一個初場）；②.由這些設(shè)定的T值計算出離散化方程中系數(shù)的試探值；③.解名義上的代數(shù)方程組，得到一組新的T值；④.以這些新的T值作為較好的估計值，返回到②，并重復(fù)此過程，直到重復(fù)計算不再引起T值任何意義上的變化為止。收斂第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五收斂：計算達到最終不變的狀態(tài)稱之為迭代的收斂。發(fā)散：一次次的迭代永遠不會收斂到一個解。T的值可能穩(wěn)定地飄移或是以一個不斷增大的振幅振蕩,這種與收斂相對的過程稱之為發(fā)散。一種好的數(shù)值方法應(yīng)當使發(fā)散的可能性減為最小。第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-5源項的線性化如果源項是常數(shù)，則在離散方程的建立過程中不會帶來任何困難；當源項是所求變量的函數(shù)時，源項的數(shù)值處理十分重要，有時甚至是數(shù)值求解的關(guān)鍵所在。

應(yīng)用較為廣泛的一種處理方法是把源項局部線性化SC常數(shù)，SP是S隨T而變化的曲線在P點的斜率。表示在TP的附近以直線代替曲線。第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五幾點說明：①.當源項為未知量的函數(shù)時，線性化的處理比假定源項為常數(shù)更為合理；因為S=f(T)，把S作為常數(shù)處理就是以上次迭代計算所得之T*來計算S，這樣源項相對于T永遠有一個滯后。而線性化處理后，TP是迭代的當前值，這樣使S能更快地跟上TP的變化。②.線性化處理又是建立線性代數(shù)方程所必需的；③.為了保證代數(shù)方程迭代求解的收斂，要求；第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五離散化方程的一般式：線性代數(shù)方程迭代求解收斂的一個充分條件是主對角占優(yōu)，即這就要求:④.由代數(shù)方程迭代求解公式：可見，SP絕對值的大小影響迭代過程中溫度的變化速度，SP絕對值越大，系統(tǒng)的慣性越大，相鄰兩次迭代之間TP的變化越小，收斂速度下降；但有利于克服迭代過程的發(fā)散。第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五源項線性化方法舉例：eg1.

已知：S=5-4T,可能的線性化形式有：相當于設(shè)S為常數(shù)，當S的表達式很復(fù)雜時，這樣做或許是唯一的一種選擇。這給出了比實際S-T關(guān)系更陡的曲線，其結(jié)果使迭代收斂的速度減慢了。若在所研究的問題中還存在著其它的非線性項時，這種減慢的做法是受歡迎的。第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五eg2.

已知：S=3+7T,可能的線性化形式有：eg3.

已知：S=4-5T3,可能的線性化形式有：已知的S-T曲線要比這一關(guān)系所反映的曲線陡。第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五(3)推薦的方法于是：這一線性化表示，在點所選擇的直線與S-T曲線相切。這一線性化比已知的S-T曲線為陡，它使收斂速度減慢。第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論：在所有負斜率的直線中，與已知曲線相切的直線通常為最佳(圖中2線)；較陡的直線是可以接受的(圖中3線)

；欠陡的直線是不希望采納的(圖中1線)

，它不能體現(xiàn)已知的S隨T的下降速度。ST已知曲線123第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-6邊界條件1.問題的提出前面所推得的離散化方程適用于穩(wěn)態(tài)導熱問題的任何內(nèi)部節(jié)點，為計算一個具體問題，應(yīng)把邊界條件也用離散方程表示。因為只有離散化方程的個數(shù)與待求節(jié)點變量的數(shù)目相等時，代數(shù)方程組才能封閉。2.網(wǎng)格劃分的兩種方法先定節(jié)點位置，后定控制容積A類網(wǎng)格

BiIeEx這種網(wǎng)格劃分方法，在邊界上將出現(xiàn)半控制容積。當網(wǎng)格劃分不均勻時，節(jié)點位置并不落在控制容積的幾何中心位置。第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五先定控制容積，后定節(jié)點位置B類網(wǎng)格*

這種方法是在邊界上附上一層厚度為零的控制容積，代表這個控制容積的邊界節(jié)點恰好落在邊界上。無論網(wǎng)格如何劃分都不會出現(xiàn)半控制容積，并且所有節(jié)點都位于控制容積的幾何中心。iIjJB由于在邊界上將出現(xiàn)不同的控制容積，所以將根據(jù)不同的方法來離散邊界條件。三類不同的邊界條件第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.構(gòu)建邊界節(jié)點的附加方程A類網(wǎng)格BiIeEx(x)i①.第一類邊界條件TB已知不必額外增加邊界節(jié)點方程，把TB代入鄰近節(jié)點的代數(shù)方程即可。②.第二類邊界條件qB已知可在邊界半控制容積內(nèi)對微分方程積分建立附加方程，熱平衡式為：qB注：規(guī)定以進入計算區(qū)域的熱量為正。交界面i處的熱流為：第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五將qi

代入上式得：qB已知時，方程可整理成：式中：③.第三類邊界條件已知h、tf將邊界熱流代入上式的B點方程，形式同上：式中：第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.構(gòu)建邊界節(jié)點的附加方程B類網(wǎng)格*

①.第一類邊界條件TB已知不需要附加方程②.第二類邊界條件qB已知iIjJB(x)bB點方程為：式中：也可以看作是第一種情況，在離散區(qū)域x0時的極限。BiIeEx(x)i第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五③.第三類邊界條件已知h、tfB點方程形式同上式中：至此，已構(gòu)成對所有未知溫度的足夠數(shù)量的方程第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.2-7線性代數(shù)方程的求解1.求解方法線性代數(shù)方程組的解法通常有迭代法和直接解法兩種。由于一維導熱數(shù)值求解的離散方程中，待求溫度僅與左右兩個節(jié)點的溫度有關(guān)，這樣形成的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣將是三對角矩陣，采用追趕法（TDMA）.2.TDMA算法要點

TDMA是一種簡單、方便、高效率的計算方法，求解過程包括消去變量求系數(shù)的正過程和回代求溫度場的逆過程。第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五正過程：消元的目的是將每個包含三個待求變量的方程，消去一個變量，使之成為兩個待求變量的方程，繼而把所有這些兩個變量的方程新系數(shù)值計算出來，直到邊界上原來只有兩個待求變量的方程，經(jīng)消元后變成了單變量方程，并能直接求出邊界變量值為止?；卮^程：由已知的邊界變量值逐一按次序回代到已求出系數(shù)的二變量方程中便可求出全部待求變量。經(jīng)過消元與回代便完成TDMA的全過程。第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五TDMA算法的數(shù)學表述21Nii+1i-13i節(jié)點的離散方程可寫為：考慮到邊界節(jié)點的特殊形式：如果T1已知，則有：這些條件意味著T1是T2的函數(shù)，而T2與T1、T3，

T2T3。這一代入過程可一直繼續(xù)到TNTN+1的關(guān)系式。由于TN+1并不存在，所以到此實際上也就得到了TN的值。由此可以回代了，由TNTN-1TN-2…T2T1。第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.TDMA的數(shù)學推演

假設(shè)在代入過程得到：①

試圖找到一個關(guān)系：②將①代入離散方程的一般表達式中，將Ti-1用Ti代即可③第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五

對比③與②即可得到Pi、Qi的遞推公式：特例：求得TN后，可以回代了！?、冖鄣?6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五4.TDMA的計算機程序說明①.由P1、Q1的表達式計算出P1、Q1的值；②.由P、Q的遞推式計算得出P2、Q2；Pi、Qi….QN③.令TN=QN④.對N-1,N-2,……3，2，1應(yīng)用回代式

可求得TN-1、TN-2

……T3、T2

、T1

。只要代數(shù)方程可以表達成的形式，三對角矩陣的算法就是一個非常有效而又方便的求解方法。TDMA法需要的計算機貯存量及計算時間與N成正比，而非N2或N3。它是一種直接解法。第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.3非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導

通用控制方程中的擴散項和源項的數(shù)值處理已經(jīng)解決，下面討論非穩(wěn)態(tài)項的處理(暫不考慮源項)。1.一維非穩(wěn)態(tài)無源項的熱傳導方程

任務(wù)：因為時間是一個單向坐標，即由一已知的初始溫度開始，沿時間坐標逐步向前求解。故計算任務(wù)是已知時刻T

在網(wǎng)格上的值，求得+時刻T

在相應(yīng)網(wǎng)格點上的值?！?.3-1通用的離散化方程第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五2.對整個控制容積積分上述微分方程WwPeExx(x)w(x)e

需要給出一個關(guān)于TP、TE和TW如何隨時間變化的關(guān)系的假設(shè)，可以采取的假設(shè)有好幾種。第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五

一些假設(shè)可歸納為一般化的式子：

由此原積分整理為：第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)整理得：（將上標1去掉）式中：第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.3-2顯式、克蘭克-尼科爾森模式以及全隱式模式上節(jié)離散方程中，對應(yīng)特定的f值，可得到不同的格式。f=0顯式；f=0.5克蘭克-尼克爾森模式(C-N)；f=1全隱式。1.顯式格式f=0方程變?yōu)椋旱?2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五+顯式格式全隱格式C-N格式TPTP~的變化曲線見右圖，實質(zhì)上是假設(shè)上一時刻代表除了時刻+之外的整個時間間隔上的值。

TP與其它未知量(TE、TW)無關(guān)，而直接可由上一時刻已知溫度求得“顯式”第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五顯式格式：前的系數(shù)有可能變?yōu)樨撝?可看成是在時間方向上的一個相鄰點)，從而違背正系數(shù)法則。實際上，要使系數(shù)為正，時間步長必須足夠小，以使對于k

均勻分布，且即的選取受上述條件的限制。第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五2.全隱式格式f=1方程變?yōu)椋?顯式格式全隱格式C-N格式TP方程中各項系數(shù)恒大于零，無條件穩(wěn)定。TP~的變化曲線見右圖，在時刻，TP的值突然由降到，而在隨后的整個時間間隔上保持。于是在整個時步內(nèi)溫度由新值所確定。與其它未知量(TE、TW)有關(guān)，必須解一組聯(lián)立方程“隱式”第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.克蘭克-尼克爾森模式(C-N)

f=0.5這種格式也稱半隱格式,

方程變?yōu)椋罕硎厩蠼釺P可以用上一時刻和當?shù)貢r刻(+)的值，TP與TE、TW有關(guān)，同樣需要聯(lián)立方程組求解。但前的系數(shù)有可能出現(xiàn)負值，所以也是條件穩(wěn)定的，其條件是：第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五兩點說明：①.數(shù)學上的“穩(wěn)定性”只能確保解的振蕩最終將會消失，它并不能確保一定會給出物理上似乎合理的解。②.對于小的時間步，全隱格式不如C-N格式的解精確。因為對于小的時間間隔，溫度~時間曲線是接近于線性的。探索一種結(jié)合兩種模式優(yōu)點而不分擔它們各自缺點的模式是誘人的“指數(shù)格式”。③.全隱格式，表達形式簡單而且物理上又能達到滿意要求，因此在后面的介紹中將采用全隱格式。第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.3-3全隱式離散化方程1.全隱格式的優(yōu)點

f=1離散化方程無條件穩(wěn)定。2.源項引入后的離散化方程形式可見，當∞時，此方程簡化為穩(wěn)態(tài)的離散方程。時間上的相鄰點第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.全隱格式的主要原則:TP的新值代表整個時間步上的值。因此如果導熱系數(shù)kP是溫度的函數(shù)，就應(yīng)當反復(fù)由TP的迭代算得新的kP。穩(wěn)態(tài)程序中的邊界條件、源項的線性化處理以及TDMA求解方程組的算法全部適合非穩(wěn)態(tài)問題。第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.4二維與三維問題§4.4-1二維問題的離散化方程1.二維控制容積及標號說明yyxWENSnwsex控制容積圖4-6對于二維情況的控制容積控制容積面相對于網(wǎng)格點的實際位置是自由的，但把控制容積面布置在兩個網(wǎng)格點的中點是一種很自然的做法第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五P、E兩點間e控制面上的熱流密度整個e控制面上的熱流量2.二維非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的控制方程其它控制面上熱流的計算與之類同。相應(yīng)離散方程的一般形式：第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五式中各系數(shù)為：第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.4-2三維問題的離散化方程與二維問題的推導類似，再加一個頂部、底部方向的相鄰點T點及B點。系數(shù)的意義：aE、aW….代表P點與相鄰點之間的熱導表示時刻控制容積內(nèi)部所包含的內(nèi)能（除以）表示內(nèi)能項與SC所造成的在控制容積內(nèi)的發(fā)熱率之和。表示相鄰空間與時間系數(shù)之和，并包含一項線性的源項所做的貢獻。第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.4-3代數(shù)方程的求解可以采用任何一種合適的求解方法，選擇方法時兩者無相互影響；在計算機程序中，可以很方便地把兩個步驟分成兩個獨立的階段，其中任何一段都可以單獨進行修改。1.方程的離散化與求解方法分成兩個步驟的好處2.求解方法直接解法—無需迭代的方法。但需要大量的計算機貯存量及計算時間。對于一個只需一次求解的線性問題，直接解法是可以接受的。第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五迭代法：對于非線性問題，方程必須用最新的系數(shù)來重復(fù)求解，采用直接解法是很不經(jīng)濟的。3.迭代解法的基本原理給定一個因變量T的初場，然后利用某種形式的代數(shù)方程求得一個改進的場，重復(fù)進行這一算法過程，直到求得一個充分接近代數(shù)方程精確解的解為止。在迭代計算的過程中，要注意計算系數(shù)所付的代價與求解方程所需花費的時間的某種平衡。在一組固定的系數(shù)值下，把代數(shù)方程的求解過程一直進行到最終收斂是不必要、也是不明智的。在新的一組系數(shù)值給定之前應(yīng)用已經(jīng)給定的系數(shù)值迭代幾次就已足夠了。第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五4.迭代求解的兩種方法:

高斯-賽德爾逐點計算法和逐行法高斯-賽德爾逐點迭代法（G-S）：迭代原理：按一定順序逐個訪問每個網(wǎng)格點，以計算那里的變量值。在計算機內(nèi)只需要儲存一組T值，且存貯器中相應(yīng)的T值交替改變?nèi)缦拢弘x散化方程為：第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五計算機存貯器中所存在相鄰點的溫度值。本次迭代過程中已經(jīng)被訪問過的相鄰點，是新值，而對于那些尚待訪問的相鄰點是上次迭代得到的值。

都是相鄰溫度的最新值。當所有網(wǎng)格點都訪問過一次后，算是完成了一次高斯—賽德爾迭代。迭代計算收斂的準則—斯卡巴勒準則高斯—賽德爾迭代收斂的充分條件是：系數(shù)滿足第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五這個準則是充分條件，并非必要條件。即有時雖然違背了這個條件，但迭代仍可能收斂。對于滿足正系數(shù)法則的方程，如非穩(wěn)態(tài)全隱格式

,由于各系數(shù)均大于零，且?guī)c說明：對于穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的問題，只要保證即可使得成立（當SP=0時，不等號由邊界節(jié)點獲得）。第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五④.對于穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的問題，對內(nèi)節(jié)點只有然而可以從邊界鄰點的離散方程中找出使得不等號成立的條件。WEPSN如：假設(shè)邊界有一溫度已知，如二維網(wǎng)格中的W邊界，則對P點的方程為：已知，轉(zhuǎn)入到常數(shù)項中，這時，計算時，只對那些未知的相鄰系數(shù)求和，而計算aP時則是包含邊界點系數(shù)在內(nèi)的系數(shù)之和，所以。對第三類BCs也成立第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五高斯—賽德爾點迭代計算的缺點收斂速度慢，特別對于網(wǎng)格節(jié)點數(shù)多的情況尤為明顯。因為它是以一次迭代傳遞一個網(wǎng)格間距的速率來傳遞邊界所給予的信息的(僅將掃描起始邊的影響傳到整個區(qū)域)。高斯-賽德爾逐行迭代法迭代原理：因點迭代不能很快地把邊界信息傳播到區(qū)域內(nèi)部，因此就產(chǎn)生了一種試圖充分利用直接消元法和迭代法優(yōu)點的塊迭代法，即按照行或列劃分成塊，在塊內(nèi)用TDMA，塊之間采用G-S法，這就形成了一種高效的求解方法。因同一塊內(nèi)各節(jié)點的值是以隱含的方式相互聯(lián)系的，故又叫隱式迭代法。第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五迭代方法簡介：設(shè)二維導熱的離散化方程為××××××××××××WPENSi

選線選塊yx采用逐線迭代時，將每線（行或列）作為一塊，線內(nèi)采用TDMA求解，線間采用G-S法求解。如圖所示，進行逐線迭代時，i

列中P點的左右鄰點TW、TE都取已知的當前值，只有TP、TN、TS是未知值，這樣同一維導熱問題，可以用TDMA法求解線內(nèi)每個節(jié)點的溫度，而線兩端的邊界信息很快傳給線內(nèi)的所有節(jié)點。x方向的迭代用G-S法，從左向右掃描時，TW是剛剛得到的當前值。第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五實際上，采用逐線迭代時，二維導熱的離散化方程可改寫為：逐線迭代法能加速收斂由于同一線上的所有節(jié)點都能在一次TDMA求解中獲得邊界信息，而掃描方向兩端的邊界信息，雖然還要依靠點迭代來傳播，但由于線數(shù)畢竟要比節(jié)點數(shù)少得多；再加上采用了逐點更新的G-S法，所以計算速度將會明顯加快。交替改變應(yīng)用逐行迭代的方向第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五逐線迭代方向選擇的原則（掃描方向）

收斂速度的快慢關(guān)鍵在于邊界信息的傳播速度。因此掃描的起始線上應(yīng)該有確定的信息。這樣，絕熱或梯度為零的邊界不應(yīng)作為掃描的起始邊。T1T2T3??當有對流存在時，掃描方向尤為重要。由上游向下游掃描的速度比相反方向掃描的收斂速度快得多。求解狹長條區(qū)域的導熱問題，應(yīng)以長邊的掃描為主。（熱阻大的方向）當y方向的系數(shù)遠大于x方向的系數(shù)時，對y方向應(yīng)用TDMA，沿x方向進行線迭代收斂速度快。（熱阻大的方向信息多）第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五§4.5超松弛與欠松弛1.定義：在代數(shù)方程迭代求解的過程中，往往希望加快或是減慢前后兩次迭代間因變量的變化。加快變化為超松弛，減慢變化為欠松弛。超松弛常用于和G-S法相結(jié)合，這種組合起來的模式是所謂的持續(xù)超松弛。超松弛很少與逐行或逐列迭代法結(jié)合使用。在強烈的非線性方程組的迭代求解過程中，采用欠松弛避免發(fā)散。第64頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五2.方程式的寫法本次迭代所產(chǎn)生的TP變化為松弛因子。>1為逐次超松弛(SOR)，

<1為逐次亞松弛(SUR)。顯然，當相鄰兩輪的迭代值之差永遠具有相同的正負號時，采用超松弛迭代可以加速收斂過程。對于一個很小的值，TP的變化變得很慢。第65頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五3.值的選取不存在什么選取最佳值的一般法則，一般需要通過計算實踐來確定。通常根據(jù)實際經(jīng)驗以及對所給定的問題作試探性的計算求得一個合適的值。在整個計算期間都保持相同的值是沒有必要的。4.通過慣量進行松弛相應(yīng)的迭代方程i

為慣量，i>0欠松弛，i<0超松弛。對i取值與相應(yīng)松弛的理解第66頁，共73頁，2023年，2月20日，星期五對TP產(chǎn)生的變化加以修正>1,超松弛。左側(cè)系數(shù)比原來小了，右側(cè)多了一個負值項；在慣性松弛中，i<0

的結(jié)果與上述相對應(yīng)，故也為超松弛。<1，亞松弛。左側(cè)系數(shù)比原來大了，右側(cè)增加了