2019高考江蘇數(shù)學(xué)優(yōu)編增分練：高考附加題加分練（四）不等式選講

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（四）不等式選講1．已知正數(shù)x，y滿足x2＋y2＝2，求證：x＋y≥2xy.證明∵x>0，y〉0，∴要證x＋y≥2xy,只要證(x＋y)2≥4x2y2，即證x2＋y2＋2xy≥4x2y2.∵x2＋y2＝2，∴只要證2＋2xy≥4x2y2，即證2(xy)2－xy－1≤0，即證（2xy＋1）(xy－1）≤0.∵2xy＋1〉0，∴只要證xy≤1。∵2xy≤x2＋y2＝2,∴xy≤1成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時取等號．∴x＋y≥2xy。2．已知a，b，c都是正數(shù)且abc＝1，求證：(2＋a）（2＋b）（2＋c）≥27。證明由算術(shù)－幾何平均不等式可得2＋a＝1＋1＋a≥3eq\r（3,a)，2＋b＝1＋1＋b≥3eq\r(3，b)，2＋c＝1＋1＋c≥3eq\r（3，c）.不等式兩邊分別相乘可得,(2＋a）(2＋b）(2＋c）≥3eq\r(3，a)×3eq\r（3，b)×3eq\r（3，c)＝27eq\r(3，abc）＝27，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時等號成立．3．已知函數(shù)f(x）＝2|x－2|＋3|x＋3｜。若函數(shù)f(x)的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b滿足4a＋25b＝m，求eq\f（1,a)＋eq\f(1,b)的最小值，并求出此時a,b的值．解依題意知，f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－5x－5，x〈－3，，x＋13，－3≤x≤2,,5x＋5，x>2，)）當(dāng)x＝－3時，函數(shù)f(x）有最小值10，故4a＋25b＝10，故eq\f（1，a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（1,10)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，a)＋\f（1,b)）)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(4a＋25b))＝eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(29＋\f（25b，a)＋\f（4a，b)）)≥eq\f（1，10)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（29＋2\r（\f（25b，a)·\f(4a，b）)）)＝eq\f(49，10),當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（25b，a）＝eq\f(4a，b)時等號成立,此時a＝eq\f（5，7），b＝eq\f(2,7）。4．(2018·鎮(zhèn)江調(diào)研）已知函數(shù)f（x）＝｜x－a|＋|x＋a｜,若對任意x∈R，不等式f（x)〉a2－3恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解∵對任意x∈R,不等式f(x）>a2－3恒成立，∴f(x）min>a2－3，又∵|x－a｜＋|x＋a｜≥|x－a－（x＋a)｜＝｜2a|，∴｜2a|〉a2－3，即｜a|2－2|a|－3<0,解得－1〈｜a｜〈3.∴－3〈a<3。

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