指南漫談數(shù)學(xué)文化

[指南]顧沛漫談數(shù)學(xué)文化顧沛:漫談數(shù)學(xué)文化“十三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，那些數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法也許都會被忘記，但是形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻終身受用?！庇捎跀?shù)學(xué)教學(xué)方式和內(nèi)容的局限，盡管一個人經(jīng)歷至少長達(dá)13年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但對數(shù)學(xué)的精髓卻毫無概念，在宏觀上把握數(shù)學(xué)的能力較差，也就是所謂的數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差。甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了解題，考試，而不了解數(shù)學(xué)在實際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。談到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題時，顧沛講到自己已經(jīng)成功地在南開大學(xué)開設(shè)了數(shù)學(xué)文化課程，他說，之所以開設(shè)這門課程正是為了克服數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視數(shù)學(xué)文化的這一弊病。那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢,通俗地說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排出或忘掉后剩下的東西。“現(xiàn)實生活中，經(jīng)常會用到一些數(shù)學(xué)的思維去解決問題。這種解決問題的方法就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種體現(xiàn)?！蔽④浌菊衅竼T工的一道考題。“一個屋里有50個人，每人帶一條狗，其中部分是病狗。主人只能通過對其它狗的觀察得知自己的狗是否是病狗，并在發(fā)現(xiàn)當(dāng)天用槍打死自己的狗，第一天沒有聽到槍聲，第二天沒有聽到槍聲??直至第十天聽到一片槍聲，問屋里有多少病狗。”可是這道看似腦筋急轉(zhuǎn)彎的題目其實是一道巧妙的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。正確的解答需要結(jié)合運用反證法和數(shù)學(xué)歸納法，答案的揭曉使每個人都能感覺到數(shù)學(xué)的奧妙。下面十個具體形象的例子從不同的角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化和素養(yǎng)的魅力。例一:芝諾悖論與無限——從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)很多人都聽過芝諾悖論中的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的問題，顧沛在分析這個問題時，指出這一悖論的癥結(jié)在于混淆了有限與無限的問題。芝諾認(rèn)為阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，首先要到達(dá)烏龜原先的位置A，而這時烏龜已經(jīng)到了位置B，阿基里斯繼續(xù)追趕則要先到達(dá)B，這時烏龜又到達(dá)了位置C，以此類推，阿基里斯似乎永遠(yuǎn)也追不上烏龜了，可是芝諾卻忽視了一個問題，無限長度或時間的和，可能是有限的。另一個與無限有關(guān)的是“有無限個房間的旅館”問題，一個有無限個房間的旅館客滿后來了一個客人，應(yīng)該怎樣安排他,答案很簡單，讓原先住在1號房的客人搬進(jìn)2號房，原先住在2號房的客人住進(jìn)3號房，以此類推，讓原先住在K號房的客人住進(jìn)K+1號房，這樣就空出了1號房給新來的客人。同理，來了一個團的無窮個旅客，一萬個團的無窮個旅客甚至無窮個團的無窮個旅客也應(yīng)對自如了。在場的許多同學(xué)都有所領(lǐng)悟，給出了精彩的解答。奇妙的數(shù)學(xué)，從有限到無限，不可能的也成了可能。例二:海岸線的長度問題——分形與混沌首先是分形問題。B(B(Mandelbrot發(fā)現(xiàn)英國的海岸線永遠(yuǎn)也無法測量，為什么呢,柯赫曲線的幾何現(xiàn)象說明了這個問題。(組圖略)這樣的一組圖具有自相似性，在測量海岸線時，如果尺子的長度精確度不同，那么海岸線的形狀就可以無限分形，當(dāng)然無法準(zhǔn)確測量了。正是這樣一個問題，發(fā)展成了數(shù)學(xué)界一個非常重要的分支?；煦鐔栴}。這個問題是E(N(Lorenz在做天氣預(yù)報中發(fā)現(xiàn)的。大家都知道的“蝴蝶效應(yīng)”，也是一種混沌現(xiàn)象，由此可見，數(shù)學(xué)問題無處不在。例三:歷史上的數(shù)學(xué)危機——數(shù)學(xué)的思想大解放牛頓為了計算瞬時速度，創(chuàng)立了微積分學(xué)，可是貝克萊卻對牛頓發(fā)難:無窮小作為一個量，究竟是否為0,在算式s/t=gt+1/2g(t)中，貝克萊質(zhì)疑道:如果無窮小量等于0，則等號左端無意義，若不等于0，則右邊的后一項不能隨意取掉，因此，反駁貝克萊成了一個棘手的問題。直到數(shù)百年后，柯西的極限理論的出現(xiàn)，“ξ-σ”語言的出現(xiàn)。才消除了這一危機。由此可見，在數(shù)學(xué)中，知識的邏輯順序與歷史順序有時是不同的。例四:周髀算經(jīng)與勾股定理——中國和世界數(shù)學(xué)的驕傲很多人都知道北京2008年舉行奧運會，但2002年在北京舉行的“國際數(shù)學(xué)家大會”，也是我國許多世界頂尖數(shù)學(xué)大師和政府爭取來的榮譽。這次大會的會徽就選擇了周髀算經(jīng)中勾股定理證明的圖形。美國宇航局的一次尋找外星人的行動中，也帶去了一個證明勾股圖形的黃金制品，可見勾股定理的證明是世界的驕傲。至今勾股定理的證明已經(jīng)多達(dá)380種了，而很多人，仍在探尋新的方法。例五:蒲豐投針問題——什么是創(chuàng)新1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放。事后，蒲豐對針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計，共投針2212枚，與直線相交的704枚，兩者相處，正好等于圓周率。求圓周率是一個幾何問題，而蒲豐卻用概率的方法解決了，完全不相同的兩個領(lǐng)域被神奇地聯(lián)系起來，這就是某種意義上的創(chuàng)新。例六:變換的方法——化繁為簡上山問題一人早6:00從山腳A上山,晚18:00到山頂B;第二天,早6:00從B下山,晚18:00到A。問是否有一個時刻，這二天都在這一時刻到達(dá)同一點,t0數(shù)學(xué)表述:設(shè),表示上山運動函數(shù);,表示下山運動函數(shù),S(t),t,[0,12]S(t),t,[0,12]12而S表示A到B的距離。問是否存在一時刻tS(t),S,S(t),使。01020設(shè),表示上山運動函數(shù);,表示下山運動函數(shù),而S表示AS(t),t,[0,12]S(t),t,[0,12]12BS(0),0,S(12),S到B的距離。則。ii令S(t),S(t),S(t),S12則S(0),,S,S(12),S,0。于是，由連A圖1-3續(xù)函數(shù)的介值定理，存在使t,(0,12)0S(t),0即S(t),S,S(t).01020例七:類比的方法——舉一反三4個平面最多把空間分成多少個部分,答案是15個，但絕對不是由“4*4-1”得出的。方法是這樣的，四個平面的情況中最復(fù)雜的是這四個平面組成了一個四面體，然后將四面體平展成一個平面，于是主要問題就集中在四面體的棱把這個平面分成幾份了。將陌生的復(fù)雜的問題用熟悉的簡單的問題來類比，同樣也是生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。例八:哥尼斯堡七橋問題——抽象的觀點如何將哥尼斯堡的一條小河上的7座橋一次性走完呢,居民在多次嘗試無果后，來請教大數(shù)學(xué)家歐拉。于是聰明的歐拉將居民的問題抽象為一筆畫問題，在他的圖紙上，線條的交點被分為奇界點和偶界點，并得出了一筆畫問題能成功的充要條件:奇界點?2個。這就是抽象的觀點的精髓:抓住問題本質(zhì)，突出問題本質(zhì)。例九:“變中有不變”的觀點——數(shù)學(xué)的生命力數(shù)學(xué)大師陳省身先生，曾指出“三角形內(nèi)角和為108度”這個命題不好，而認(rèn)為“n邊形的外角和