方程及其應(yīng)用

中國教育出版網(wǎng)三、方程(組)及其應(yīng)用吳明威【近四年江蘇省十三大市中考方程(組)及其應(yīng)用的分值與比率】(僅供參考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市1411．671512．501310．83蘇州市86．40129．60118．46無錫市107．69118．4675．38常州市1411．67119．171210．00鎮(zhèn)江市1411．6797．501411．67揚州市85．3321．331510．00泰州市1510．0064．001711．33南通市2116．1596．001610．67鹽城市149．3332．0032．00淮安市32．311610．671610．67宿遷市128．00149．33128．00徐州市149．3396．00106．67連云港市1711．331711．33128．00合計164134158平均13．6710．0711．178．1613．179．47【09年江蘇省中考數(shù)學(xué)為全省統(tǒng)一命題，分值為11分，比率為7．33%】【課標(biāo)要求】1．能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程(組)，解決簡單的問題，體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型．2．經(jīng)歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程．3．會解一元一次方程、簡單的二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程(方程中分式不超過兩個)、可化為一元二次方程的分式方程、簡單的三元一次方程組、簡單的二元二次方程組(一個二元一次方程和一個二元二次方程組成)．4．理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．5．掌握一元二次方程的根的判別式及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．6．能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理．【課時分布】方程(組)及其應(yīng)用這一部分在第一輪復(fù)習(xí)時大約需要5個課時，下表為內(nèi)容及課時安排(僅供參考)課時數(shù)內(nèi)容1一元一次方程、二元(三元)一次方程組、分式方程１一元二次方程、分式方程(換元法)、二元二次方程組１一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系１方程(組)的應(yīng)用１方程(組)單元測試【知識回顧】1．知識脈絡(luò)實際問題實際問題方程一元一次方程二元一次方程一元二次方程分式方程二元一次方程組三元一次方程組方程(組)的應(yīng)用2．基礎(chǔ)知識(1)方程的有關(guān)概念含有未知數(shù)的等式叫做方程．能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解．只含有一個未知數(shù)的方程的解，也叫做根．求方程的解的過程叫做解方程．(2)一元一次方程①只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式是．②一元一次方程的解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．(3)二元一次方程(組)①含有兩個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)都是1的整式方程，叫做二元一次方程．②含有兩個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)都是1，由這樣的幾個整式方程所組成的方程組叫做二元一次方程組．方程組里各個方程的公共解叫做這個方程組的解．求方程組的解的過程叫做解方程組．③二元一次方程組的解法：基本思想是消元，基本方法是代入消元法和加減消元法．(4)三元一次方程(組)①含有三個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)都是1的整式方程，叫做三元一次方程．②含有三個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)都是1，由這樣的幾個整式方程所組成的方程組叫做三元一次方程組．③三元一次方程組的解法：基本思想是消元，通過消元把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程，基本方法是代入消元法和加減消元法．(5)一元二次方程①只含有一個未知數(shù)，且未知項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式為()，其中分別叫做二次項，一次項；分別叫做二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．②一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．③一元二次方程()的根的判別式()，當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程沒有實數(shù)根．以上結(jié)論，反之亦成立．注：當(dāng)≥０時，一元二次方程有兩個實數(shù)根．④一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程(是已知數(shù)，)的兩根為、，則．(6)分式方程①分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．②分式方程的解法：其基本思想是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，其方法是運用等式性質(zhì)在方程兩邊同乘以最簡公分母．解分式方程必須要驗根．有時也可采用換元法．(7)二元二次方程(組)①含有兩個未知數(shù)，且未知項的最高次數(shù)是２的整式方程叫做二元二次方程．②含有兩個未知數(shù)，且未知項的最高次數(shù)是２，由這樣的幾個整式方程所組成的方程組叫做二元二次方程組．③二元二次方程組的解法：基本思想是消元和降次，基本方法是代入消元法和加減消元法．(8)列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟①審清題意，找出等量關(guān)系；②設(shè)未知數(shù)；③列出方程(組)；④解方程(組)；⑤檢驗方程(組)的根；⑥作答．3．能力要求例1解下列方程(組)：(1)；(2)；①②①②(3)；(4①②①②【分析】(1)本題有配方法、因式分解法、公式法等多種解法，選用因式分解法較為適宜；(2)直接去分母法可以化為整式方程，但通過觀察方程結(jié)構(gòu)特點，采用換元法較為簡便；(3)此題可以用代入消元法或加減消元法，本題選用加減法消字母y較為適宜；(４)二元二次方程組一般用代入消元法，本題的幾何意義是求拋物線與直線的交點坐標(biāo)．【解】(1)∵，∴∴．(2)設(shè)y＝，則原方程可化為：，解得：，∴或，∴，經(jīng)檢驗：是原方程的根，∴原方程的根是．(3)①2＋②，得，解得，把代入①，得y＝4，∴原方程組的解是．(4)把方程①代入方程②，并整理得：，解得：，當(dāng)時，y1＝0；當(dāng)時，y2＝4；∴原方程組的解是，【說明】(1)解分式方程的關(guān)鍵在于確定最簡公分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由于可能產(chǎn)生增根，所以必須檢驗；(2)在解方程(組)時，若能先觀察方程(組)的結(jié)構(gòu)特征，運用整體代入、換元等數(shù)學(xué)思想方法可以使解題簡便．例2先化簡，再求值：，其中，a是方程的根．【分析】本題應(yīng)先化簡，再根據(jù)方程根的含義，把代入方程并將看成整體代入化簡后的代數(shù)式中求值．【解】原式是方程的根，∴原式【說明】本題考查代數(shù)式的化簡、方程的解的含義，當(dāng)然也可利用方程根的含義解出a的值代入求解，本題運用整體帶入的數(shù)學(xué)思想方法較為簡便．例3已知一元二次方程的根為3和x1，則p＝_______；x1＝______．【分析】本題可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程組直接求解．【解】由題意知：解之得：．【說明】本題也可利用根的定義，將－3帶入方程，求得p的值，再通過解方程求得另一根，教學(xué)時可培養(yǎng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)此類題目用根與系數(shù)關(guān)系來解比較適宜．例4已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．【分析】(1)由一元二次方程可得k≠0；另有兩個不相等的實數(shù)根可得△＞0；從而求出k的范圍；(2)由條件聯(lián)想到根與系數(shù)關(guān)系，由此得到關(guān)于k的方程．【解】(1)由題意知：k≠0且△＝＞0，∴k＞且k≠0(2)不存在．x1＋x2＝，x1x2＝又，可求得k＝－3<所以滿足條件的k值不存在．【說明】本題考查一元二次方程的根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意建立關(guān)于k的方程或不等式，解題后對于k的取值要尤其注意檢查是否保證二次項系數(shù)不為零、≥０等相關(guān)的條件．例5為執(zhí)行“兩免一補”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費2500萬元，預(yù)計2008年投入3600萬元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，則下列方程正確的是()A． B．C． D．【分析】利用增長率公式可以直接得出方程．【解】選擇B．【說明】增長率(降低了)問題是初中數(shù)學(xué)中的一個典型問題，掌握了這種模式的應(yīng)用題的規(guī)律，便會使這類問題迎刃而解．教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生建模思想．例4某班到畢業(yè)時共結(jié)余經(jīng)費1800元，班委會決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀(jì)念品，其余資金用于在畢業(yè)晚會上給50位同學(xué)每人購買一件文化衫或一本相冊作為紀(jì)念品．已知每件文化衫比每本相冊貴9元，用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊．(1)求每件文化衫和每本相冊的價格分別為多少元？(2)有幾種購買文化衫和相冊的方案？哪種方案用于購買老師紀(jì)念品的資金更充足？【分析】本例第(1)問通過列二元一次方程組解決，第(2)問利用不等式解題，然后在(1)，(2)的基礎(chǔ)上作出決策分析，較好地考查了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單問題的能力．【解】(1)設(shè)文化衫和相冊的價格分別為x元和y元，則解得．答：一件文化衫和一本相冊的價格分別為35元和26元．(2)設(shè)購買文化衫t件，則購買相冊本，則，解得．∵為正整數(shù)，∴t＝23，24，25，即有三種方案．第一種方案：購文化衫23件，相冊27本，此時余下資金293元；第二種方案：購文化衫24件，相冊26本，此時余下資金284元；第三種方案：購文化衫25件，相冊25本，此時余下資金275元；所以第一種方案用于購買教師紀(jì)念品的資金更充足．【說明】本題考查能否利用“方程與不等式”來解決決策型問題，好的決策型問題在考查同學(xué)們運用知識解決實際問題能力方面具有較好的效度．例5某商場將進(jìn)貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個．調(diào)查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個．(1)為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種書包的售價應(yīng)定為多少元？(2)10000元的利潤是否為最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時書包的售價應(yīng)定為多少元？(3)請分析并回答售價在什么范圍內(nèi)商家就可獲得利潤？【分析】(1)根據(jù)利潤＝銷售額－成本額的等量關(guān)系建立方程；(2)利用配方法求出表示利潤的代數(shù)式的最大值；(3)由函數(shù)的性質(zhì)判斷何時獲利．【解】(1)設(shè)每個書包漲價元，則書包售價為元，書包銷售量為個，由題意得，解得：，．當(dāng)時，；當(dāng)時，，都符合題意．答：每個書包售價為50元或80元；(2)10000元不是最大利潤，設(shè)每個書包漲價x元，利潤為y元，則，當(dāng)時，，∴當(dāng)每個書包售價為65元時，獲得最大利潤為12250元．(3)在中，令，得：，解得，，故拋物線與x軸交于(－10，0)，(60，0)，由圖象知當(dāng)，，即當(dāng)售價在大于30元且小于100元時均獲利潤．【說明】本題考查利用等量關(guān)系建立一元二次方程以及用配方法求代數(shù)式的最值．對于方程的解要根據(jù)具體問題檢驗是否合理；在配方時注意不能改變代數(shù)式的值，二次項系數(shù)只能提取而不能約去；抓住一元二次方程與二次函數(shù)間的關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想，化難為易．【復(fù)習(xí)建議】1．正確理解課標(biāo)要求，通過復(fù)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握解方程(組)的基本思想和方法，提高基本運算能力．解方程(組)主要采用加減消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法等；對于特殊形式的方程(組)可采用整體代入、換元法等特殊的方法求解．2．列方程(組)解應(yīng)