圓錐曲線與方程

選修1－1第二章圓錐曲線與方程[課標研讀]［課標要求］了解圓錐曲線的實際背景，了解在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.②掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質.③了解雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.④理解數(shù)形結合的思想.⑤了解圓錐曲線的簡單應用.[命題展望]本章內(nèi)容是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一,也是高考常見新穎題的板塊,各種解題方法在本章得到了很好的體現(xiàn)和充分的展示,尤其是在最近幾年的高考試題中,平面向量與解析幾何的融合,提高了題目的綜合性,形成了題目多變,解法靈活的特點,充分體現(xiàn)了高考中以能力立意的命題方向。通過對近幾年的高考試卷的分析，可以發(fā)現(xiàn)選擇題、填空題與解答題均可涉及本章的知識，分值高達20分左右。主要呈現(xiàn)以下幾個特點：1．考查圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質等知識及基本技能、基本方法，常以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；2．直線與二次曲線的位置關系、圓錐曲線的綜合問題常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題視角新穎，常見的性質、基本概念、基礎知識等被附以新的背景，以考查學生的應變能力和解決問題的靈活程度；3．在考查基礎知識的基礎上，注意對數(shù)學思想與方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，強調探究性、綜合性、應用性，注重試題的層次性，堅持多角度、多層次的考查，合理調控綜合程度；4．對稱問題、軌跡問題、多變量的范圍問題、位置問題及最值問題也是本章的幾個熱點問題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩(wěn)定的趨勢。第一講橢圓[知識梳理]［知識盤點］一．橢圓的基本概念1．橢圓的定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，用符號表示為。這兩個定點叫橢圓的，兩個焦點之間的距離叫做橢圓的。2．橢圓的第二定義：平面內(nèi)，到定點的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)（即）的動點的軌跡叫做橢圓，其中常數(shù)叫做橢圓的。二．橢圓的標準方程3．當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的標準方程為，其中焦點坐標為，，且；當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的標準方程為，其中焦點坐標為，，且.當且僅當橢圓的中心在坐標原點，其焦點在坐標軸上時，橢圓的方程才是標準形式。三．橢圓的簡單幾何性質焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程圖形yyA2B2OA1B1F2F1yyA2B2OA1B1F2F1x焦點坐標F1（）,F2（c,0）F1（0,c）,F2（）對稱性關于x,y軸成中心對稱關于原點成中心對稱頂點坐標A1（－a,0），A2()B1()，B2(0,b)A1（），A2(0,a)B1(－b,0)，B2()范圍，長軸短軸長軸A1A2的長為短軸B1B2的長為長軸A1A2的長為短軸B1B2的長為離心率橢圓的焦距與長軸長的比e＝橢圓的焦距與長軸長的比e＝準線方程x=y=［特別提醒］1．本部分的重點是掌握橢圓的定義，離心率與a,b,c之間的關系和橢圓方程的求法，定義和性質的應用是橢圓知識的重點。突破重點的關鍵，一是要掌握好定義的幾何條件，即橢圓＝是常數(shù)；二是要熟練掌握橢圓標準方程的求法及其特點，運用定義時要注意隱含條件，明確離心率確定橢圓的形狀。2．通過對橢圓的范圍、對稱性、特殊點（頂點、焦點、中心）、準線、對稱軸及其它特性的討論從整體上把握橢圓的形狀、大小和位置，進而掌握橢圓的性質。因此在復習中就注意圖形與性質對照，方程與性質對照來理解，只有通過數(shù)形結合的方式才能牢固掌握橢圓的幾何性質。由橢圓的定義得到橢圓上任意一點到焦點的距離（即焦半徑）公式（或）在解題中有著重要的作用。3．涉及到直線與橢圓的位置關系問題時，可以通過討論橢圓方程與直線方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常來說消元后得到一個關于x或y的一元二次方程，要注意判別式及韋達定理的運用，特別是方程思想、整體思想在解題過程中的應用。4．求橢圓標準方程的常用方法是待定系數(shù)法和軌跡方程法。直線與橢圓相交時的弦的中點坐標或弦中點的軌跡方程則由韋達定理來解決，設點而不求點是解析幾何中的重要方法之一。另外，利用直線、弦長、圓錐曲線三者間的關系組成各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中利用直線方程、直線與橢圓相交后的弦求橢圓方程是各類試題中最難的試題，也是高考的熱點題型之一。[基礎闖關]1．橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點是（0，2），那么k等于（）(A)－1(B)1(C) (D)－2．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F2的直線交橢圓于A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|=()(A)11(B)10(C)9(D)163．已知兩定點、且是與的等差中項，則動點P的軌跡方程是（）（A）（B）（C）（D）4．（2022年全國卷II）已知△ABC的頂點B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()（A）2EQ\r(,3)（B）6（C）4EQ\r(,3)（D）125．（2022年上海卷）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是．6．短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線交橢圓于A、B兩點，則ABF2的周長是.[典例精析]例1．設F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|：|PF2|＝4：3，求PF1F2的面積。［剖析］由橢圓方程可求出2a與2c，且由|PF1|：|PF2|＝4：3知可求出|PF1|，|PF2|的長度，從而可求三角形的面積。［解］由于|PF1|＋|PF2|＝7，且|PF1|：|PF2|＝4：3，得|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝，顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1F2是以PF1，PF2為直角邊的直角三角形，從而所求PF1F2的面積為S＝|PF1||PF2|＝43＝6.［警示］本題運用了橢圓的定義來解題。橢圓定義是用橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和來描述的，定義中|PF1|＋|PF2|＝2a＞|F1F2|.定義能夠對一些距離進行相關的轉化，簡化解題過程。因此在解題過程中，遇到涉及橢圓上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠使橢圓的定義來解決。［變式訓練］：已知點A(3,0)，B(－2,1)是橢圓內(nèi)的點，M是橢圓上的一動點，試求|MA|+|MB|的最大值與最小值。例2．已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過點P作長軸的垂線，恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程。［剖析］由題設條件設出橢圓的標準方程，求出焦距與長軸長是求解本題的關鍵。因橢圓的焦點位置未明確在哪個坐標軸上，故應有兩種情況。［解］設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|=，|PF2|=由橢圓的定義知2a=|PF1|+|PF2|=,即，由|PF1|＞|PF2|知PF2垂直于長軸。所以在中，4c2=|PF1|2－|PF2|2=,所以c2=，于是b2=a2－c2=又由于所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為或.［警示］求橢圓的標準方程，需要一個定位條件和兩個定形條件，通常采用待定系數(shù)法解決。橢圓中有“六點”（即兩個交點與四個頂點）“四線”（即兩條對稱軸與兩條準線），因此在解題時要注意它們對橢圓方程的影響，如在求橢圓的標準方程時，當遇到焦點位置不確定時，應注意有兩種結果。［變式訓練］2．（2022年江蘇卷）已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程。例3．求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點、；(2)經(jīng)過點(2，－3)且與橢圓具有共同的焦點.［剖析］對于（1），由題設條件不能確定橢圓的焦點在哪一坐標軸上，因此應分別設出焦點在x軸、y軸上的標準方程，進行討論求解；或采用橢圓方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)直接求解，避免討論；對于（2）由于橢圓的焦點坐標為，因而可設所求的橢圓方程為，只要由題設條件確定的值即可.［解］（1）［解法一］=1\*GB3①當所求橢圓的焦點在軸上時，設它的標準方程為，依題意應有，解得，因為從而方程組無解；=2\*GB3②當所求橢圓的焦點在軸上時，設它的標準方程為，依題意應有，解得，所以所求橢圓的標準方程為.故所求的橢圓的標準方程為［解法二］設所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，依題意得，解得，從而所求橢圓的標準方程為.（2）［解］因為橢圓的焦點坐標為，，從而可設所求的橢圓的方程為，將又因為經(jīng)過點(2，－3)，從而得，解得或（舍去），故所求橢圓的標準方程為：.［警示］由于題（1）中的橢圓是唯一存在的，為了運算方便，可設其方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，而不必考慮焦點的位置，求接求得橢圓的方程；題（2）中橢圓變形為，其焦點坐標為，，所設的方程是具有共同焦點的，的橢圓系方程。遇到與本題類似的問題，我們可以采用類似的方法來求解橢圓的方程。另外本題還可以設方程，等解決。一般說來，與橢圓具有相同焦點的橢圓方程可設為，其中。本題實質上運用的也是待定系數(shù)法。［變式訓練］3.求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點、；(2)經(jīng)過點，且與橢圓具有共同的焦點.例4．在中，BC=24，AC、AB邊上的中線長之和等于39，求的重心的軌跡方程。MBOEyDACx［剖析］：有一定長線段MBOEyDACx［解］如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系。設M為的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質知，，于是==.根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡是以B、C為焦點的橢圓.26，，又，，，故所求的橢圓方程為.［警示］在求點的軌跡時，要特點注意所求點軌跡的幾何意義，在本題中，所求的橢圓方程為，應考慮若時，A、B、C三點在同一條直線上，不可能構成三角形，所以應將去掉。另外，平面內(nèi)一動點與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a，當2a＞|F1F2|時，動點的軌跡是橢圓；當2a=|F1F2|時動點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點的軌跡不存在。［變式訓練］4．在中，，曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且保持的值不變，求曲線E的方程。例5．設的軌跡是曲線，滿足：點到的距離與它到直線的距離之比是常數(shù)，又點在曲線上，點在曲線的內(nèi)部.(1)求曲線的方程；(2)的最小值，并求此時點的坐標.［剖析］：由已知條件通過列方程，不難得出曲線的方程，但要注意計算準確。［解］(1)設是曲線上任一點，則為常數(shù))，即，又點在曲線上，所以，所以，所以曲線的方程是，即.(2)是橢圓的左焦點，實際上是點到左準線的距離.所以當與左準線垂直時，的值最小，此時點的坐標為.［警示］由本例可知，點到的距離與它到直線的距離之比，是一個在(0,1)的常數(shù)，事實上，平面內(nèi)到一定點的距離和一條直線(不在直線上)的距離之比是常數(shù)的動點的軌跡就是橢圓，其中定點是橢圓的一個焦點，定直線是橢圓的這個焦點所對應的準線，這就是橢圓的第二定義。［變式訓練］5．設的軌跡是曲線，滿足：點到的距離與它到直線的距離之比是常數(shù)，又點在曲線上，點在曲線的內(nèi)部.(1)求曲線的軌跡方程；(2)的最小值，并求此時點的坐標.例6．設點是橢圓上一點，是橢圓的兩個焦點，且，求橢圓的離心率的取值范圍。［剖析］由題設條件不難看出是一直角三角形的三個頂點，且由，可想到利用勾股定理來加以解決。［解］由橢圓的定義得=1\*GB3①在中，，由勾股定理，得=2\*GB3②將=1\*GB3①=2\*GB3②化簡得：=3\*GB3③由=1\*GB3①=3\*GB3③，根據(jù)韋達定理，可知是方程的兩個根。則有，所以，即，又，從而.［警示］<<考試大綱>>要求掌握橢圓的簡單幾何性質，這就要求我們不僅準確把握和牢固地記憶這些幾何性質，還要靈活地運用這些性質解決問題，更要注意教材中利用橢圓的標準方程推導這些幾何性質的思想方法。在橢圓的幾何性質中，離心率問題一直是高考的熱點題型，需要重點把握。［變式訓練］6.設F1、F2為橢圓＝1的兩個焦點，P為橢圓上的一點．已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|＞|PF2|，求的值．[能力提升]1．有以下兩個命題：(1)動點到兩定點的距離之和且為常數(shù))；(2)點的軌跡是橢圓.則命題(1)是命題(2)的()(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充分且必要條件(D)既不充分也不必要條件2．(2022年山東卷）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為()(A)(B)(C)(D)3．橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準線距離是（）(A) (B) (C) (D)4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（）(A)（0，＋∞） (B)（0，2）(C)（1，＋∞） (D)（0，1）5．（2022年湖北卷）設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸