第4課時(shí)橢圓一輪復(fù)習(xí)講義

第4課時(shí)橢圓考點(diǎn)點(diǎn)擊橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．了解橢圓的參數(shù)方程．考向定位1、橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)，主要以解答題的形式考查?？季V解讀掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；理解橢圓的參數(shù)方程；能根據(jù)條件求橢圓方程；會(huì)利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．重難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)難點(diǎn)：利用橢圓的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．考點(diǎn)精講1、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程（1）橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于||這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于||，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于||，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段.（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（＞＞0），（＞＞0）.（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大小：如果項(xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.（4）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：⑴正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為（＞＞0）.⑴范圍：，所以橢圓位于直線和所圍成的矩形里.⑵對(duì)稱性：分別關(guān)于軸、軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.⑶頂點(diǎn)：有四個(gè)（-，0）、（，0）（0，-）、（0，）線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別等于2和2，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).所以橢圓和它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn).⑷離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0＜＜1.越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓.3、橢圓的第二定義⑴定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)（＜1＝時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.⑵準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，（＞＞0）的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為.對(duì)于橢圓（＞＞0）的準(zhǔn)線方程，只要把x換成y就可以了，即.4、橢圓的參數(shù)方程橢圓（＞＞0）的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.說(shuō)明⑴這里參數(shù)叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)的離心角與直線的傾斜角不同：；⑵橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.5、中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段、、2c，有關(guān)角()結(jié)合起來(lái)，建立+、等關(guān)系.6、橢圓上的點(diǎn)有時(shí)常用到三角換元：；高考實(shí)戰(zhàn)1、（2022福建卷文11）若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為2、（2022廣東卷文7）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是A．B．C．D．3、（2022全國(guó)Ⅱ卷理12文12）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則=（A）1（B）（C）（D）24、（2022四川卷理9文10）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）參考答案1、C2、B3、B4、D熱點(diǎn)體例例1、根據(jù)下列條件，寫出中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓方程；（1）準(zhǔn)線方程為，離心率為；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、；（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，焦距為．解析：（1）顯然焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為，由條件有，又，解得．∴所求橢圓方程為．（2）設(shè)橢圓方程為將點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，得，聯(lián)立解得m=1，，∴所求橢圓方程為．評(píng)注：處理不明焦點(diǎn)位置的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，用一般方程可避免分類討論．（3）由已知得，∴，，又由得，∴所求橢圓方程為或．評(píng)注：下結(jié)論時(shí)，要注意焦點(diǎn)位置．例2、已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，．（1）求橢圓離心率的范圍；（2）求證的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．解：設(shè)，，由題設(shè)．（1）在中，應(yīng)用正弦定理，得．∵，∴．故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，∴．（2）在中，由余弦定理得，又，∴．∴.評(píng)注：橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所成的三角形，常稱為焦點(diǎn)三角形，解焦點(diǎn)三角形問題經(jīng)常使用三角形邊角關(guān)系定理．解題中，通過(guò)變形，使之出例3、如圖，已知橢圓，直線，P是直線上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，點(diǎn)Q在OP上，且滿足，點(diǎn)P在直線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程．分析：因O、Q、R、P四點(diǎn)共線，則=,由點(diǎn)R、P的運(yùn)動(dòng)軌跡，消去、（均為正實(shí)數(shù)），可求出點(diǎn)Q的軌跡方程．解：設(shè)（為正實(shí)數(shù)），則．故，∴，即①，∵點(diǎn)分別在已知直線與橢圓上，∴，，即為…②，③，將②、③代入①得，即（不同時(shí)為0）．故所求的軌跡方程為評(píng)注：借助于向量求解，可減少運(yùn)算量．例4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證:直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知得：（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立得，則又，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），當(dāng)，直線過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；當(dāng)所以，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為達(dá)標(biāo)測(cè)試1、已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則=______________。2、已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為,離心率e=過(guò)頂點(diǎn)A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于.xyOAPB3、設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是。xyOAPB4、在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=。5、如圖，點(diǎn)A是橢圓eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)．過(guò)A作斜率為1的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，點(diǎn)B在y軸上，且BP∥x軸，eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AP,\d\fo1()\s\up7(→))＝9，若B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則橢圓方程是6、已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸，直線交軸于點(diǎn)．若，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．8、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．圓F的圓心是橢圓E的右焦點(diǎn)F，且圓F的半徑恰等于橢圓的短半軸長(zhǎng)．(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)若點(diǎn)P是圓F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案1、2、3、4、5、6、D解析：對(duì)于橢圓，因?yàn)椋瑒t7、已知的焦點(diǎn)，在直線上找一點(diǎn)，求以為焦點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)且長(zhǎng)軸最短的橢圓方程．7、8、(Ⅰ)(Ⅱ)的取值范圍思維方法1、求橢圓方程的方法：除了根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法（先定性，后定型，再定參）.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定是哪種標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為（）可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)為（,）.2、橢圓有“四線”（兩條對(duì)稱軸、兩條準(zhǔn)線），“六點(diǎn)”（兩個(gè)焦點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)），“兩形”（中心，焦點(diǎn)以及短軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形、橢圓上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形）.要注意它們