模糊集合及其運(yùn)算

模糊集合及其運(yùn)算第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五模糊數(shù)學(xué)也是由于實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的，模糊概念（或現(xiàn)象）處處存在。

有時(shí)使用模糊性比使用精確性還要好。

例如，“大胡子高個(gè)子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”

模糊數(shù)學(xué)決不是把數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，它也具有數(shù)學(xué)的共性：條理分明、一絲不茍。即使描述模糊概念（或現(xiàn)象），也會(huì)描述得清清楚楚。

一般來說，隨機(jī)性是一種外在因果的不確定性，

模糊性是一種內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不確定性。第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)

集合：具有某種特定屬性的對(duì)象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對(duì)局限于一定范圍內(nèi)進(jìn)行討論的對(duì)象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個(gè)對(duì)象u稱為U的元素。第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五在論域U中任意給定一個(gè)元素u及任意給定一個(gè)經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)稱為集合A的特征函數(shù)。第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五二、模糊集合及其運(yùn)算美國控制論專家Zadeh教授正視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼”的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實(shí)生活中的絕大多數(shù)概念并非都是“非此即彼”那么簡單，而概念的差異常以中介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象?；诖耍?965年，Zadeh教授在《InformationandControl》雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文“FuzzySets”,標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五1、模糊子集定義：設(shè)U是論域，稱映射確定了一個(gè)U上的模糊子集。映射稱為隸屬函數(shù)，稱為對(duì)的隸屬程度，簡稱隸屬度。模糊子集由隸屬函數(shù)唯一確定，故認(rèn)為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示和。U

“高個(gè)子”——1.80高個(gè)子，1.79可以略低于1（99%）的程度屬于高個(gè).第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對(duì)模糊集A的隸屬度是。如第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五2、模糊集的運(yùn)算定義：設(shè)A，B是論域U的兩個(gè)模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：

表示取大；表示取小。第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五例設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個(gè)模糊集：A=“商品質(zhì)量好”B=“商品質(zhì)量壞”，并設(shè)A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品質(zhì)量不好”,Bc=“商品質(zhì)量不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見Ac

B,

Bc

A.

商品質(zhì)量不好商品質(zhì)量壞又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五模糊集合的截集定義：設(shè)

AF

(X)

，[0，1]，記(A)={xX|A(x)},

稱(A)為A的截集，簡記為A。第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五例

取則有第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五幾個(gè)常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五3、模糊矩陣定義：設(shè)稱R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時(shí)，稱R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對(duì)角線上的元素都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五并：交：余：例：取大運(yùn)算取小運(yùn)算第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五（2）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。例：模糊矩陣的冪第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對(duì)任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五例：第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計(jì)法模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個(gè)要素：（1）論域U；（2）U中的一個(gè)固定元素（3）U中的一個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)集合（4）U中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運(yùn)動(dòng)?？梢愿采w也可以不覆蓋致使對(duì)A的隸屬關(guān)系是不確定的。第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中，是固定的，而在隨機(jī)變動(dòng)。模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過程：（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對(duì)A的隸屬度：第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五例取年齡作論域X，通過模糊試驗(yàn)確定x0=27(歲)對(duì)模糊集“青年人”A的隸屬度。張南倫曾對(duì)129名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查試驗(yàn)，要求每個(gè)被調(diào)查者按自己的理解確定“年青人”(即A)的年齡范圍(即A*)，每一次確定的范圍都是一次試驗(yàn)，共進(jìn)行了129次試驗(yàn).第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)的隸屬頻率見表1。表127歲對(duì)模糊集“年青人”的隸屬頻率由表1可見，隸屬頻率隨試驗(yàn)次數(shù)n的增加而呈現(xiàn)穩(wěn)定性，穩(wěn)定值為0.78，故有[青年人](27)=0.78。n10203040506070隸屬次數(shù)6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數(shù)6268768595101

隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78

第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五模糊統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)的區(qū)別：模糊統(tǒng)計(jì)：變動(dòng)的圓蓋住不動(dòng)的點(diǎn)概率統(tǒng)計(jì)：變動(dòng)的點(diǎn)落在不動(dòng)的圓內(nèi)第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五2、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五

(1)

偏大型（S型）：這種類型的隸屬函數(shù)隨x的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為：描述“大”，“熱”、“老年”等偏向大的一方的模糊現(xiàn)象。越大越好（食品中營養(yǎng)物質(zhì)的含量）1）升半矩形分布10axA(x)第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五2）升半分布10axA(x)a+1/k圖

3.8第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五3）升半正態(tài)分布10axA(x)圖3.9第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五4）升半柯西分布10axA(x)第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五5）升半梯形分布10a1xA(x)a2第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五6）升嶺形分布10a1xA(x)a2(a1+a2)/2第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五(2)

偏小型

(Z型)：這種類型的隸屬函數(shù)隨x的增大而減小，又可分為：描述“小”，“冷”、“青年”等偏向大的一方的模糊現(xiàn)象。越小越好（空氣中有害物質(zhì)的含量）1）降半矩形分布01axA(x)第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五2）降半分布01aa+1/kxA(x)第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五3）降半正態(tài)分布

01axA(x)第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五4）降半柯西分布

A(x)01ax第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五5）降半梯形分布A(x)01a1xa2第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五6）降嶺形分布01/21a1a2xA(x)第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五(3)

中間型（型）：這種類型的隸屬函數(shù)在(－，a)上為偏大型，在(a,+)為偏小型，所以稱為中間型.描述“中”，“暖和”、“中年”等處于中間的模糊現(xiàn)象。越居中越好（人的體重）1）矩形分布01A(x)a-baa+bx第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五2）尖分布01A(x)a-1/kaa+1/kx第39頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五3）正態(tài)分布0ax1A(x)第40頁，共44頁，2023年，2月20日，星期五4）柯西分布0ax1A(x)第41頁，共44頁，2023年，