動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題

動(dòng) 點(diǎn) 的 軌 跡 問 題根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這是解析幾何的一大課題：一方面求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對(duì)方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程，而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透。三角、向量、幾何等知識(shí)，能很好地反映學(xué)生在這些能力方面的掌握程度。求軌跡方程的的基本步驟：建設(shè)現(xiàn)代化（檢驗(yàn)）建（坐標(biāo)系）設(shè)（動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)）現(xiàn)（限制條件，動(dòng)點(diǎn)、已知點(diǎn)滿足的條件）代（動(dòng)點(diǎn)、已知點(diǎn)坐標(biāo)代入）化（化簡(jiǎn)整理）檢驗(yàn)（要注意定義域“挖”與“補(bǔ)”）求軌跡方程的的基本方法：直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y方法稱之為直接法。定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從方程。代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)Q(x’，y’Qx’,y’x,yQP的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。則可借助中間變量（參數(shù)），x,y得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。PQQQP點(diǎn)的軌跡方程。律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然而得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求。點(diǎn)差法：求圓錐曲線中點(diǎn)弦軌跡問題時(shí)，常把兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)為A(x,y1

),B(x,y2

)并代入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。此部分內(nèi)容主要考查圓錐曲線，圓錐曲線的定義是根本，它是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”。對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略。二、注意事項(xiàng)：1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。3即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述?！镜湫屠}選講】一、直接法題型：yMNOQx例1已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q（2，0），圓C的方程為x2y21，動(dòng)點(diǎn)M圓C的切線長(zhǎng)與MQ 的比等于常數(shù)(0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。yMNOQx解：MNC于NMN

MO2

ON2。x2y21(x2)2x2y21(x2)2y2化簡(jiǎn)得(2

1)(x

y2)42x(142)0當(dāng)1x

5，表示一條直線。4當(dāng)1時(shí)，方程化為(x

22

)2y2

1

表示一個(gè)圓。1 (21)2軌跡是什么。變式--如圖，圓O1

與圓O2

1OO1 2

4P分別作圓O、圓1O的切線PMPN（MN分別為切點(diǎn)），使得PM 2PN．試建立適當(dāng)?shù)淖?標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． P解：以O(shè)O1 2

OOO1 2

所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系， M則O(2,0),O1

(2,0)

N由已知PM 2PN可得：PM22PN21PO1

12(PO22

P(x,y，則(x2212[(x22y2，即(x62y233(x62y233（x2y212x30）評(píng)析：1、用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。二、定義法題型：（例如圓錐曲線的定義直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。EPD2A、B、CEPDlA，又過BC⊙O′lP，PBCl⊙O′DEP.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| A B C l=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，PB、ClBC可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：x2y2181 72Ox2+y2=100,AOAMOMP，PPAPMPAPOPMPOOM10，即PAOP(x3)2y212525 16評(píng)析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。三、代入法題型：3x2-y2=1Qx+y=2N。求線段由①②解方程組得x 3x1yy 1x3y1,代入雙曲線方程即可得P點(diǎn)1 2 2 1 2 2的軌跡方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0練習(xí)：f(x,y)=0xyy=x，y=-x，y=3(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、參數(shù)法與點(diǎn)差法題型：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。4經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p>0)的頂點(diǎn)AB、C兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)M軌跡方程。解：A（-2p,0）,設(shè)直線ABy=k(x+2p)(k0).與拋物線方程聯(lián)立方程B2k2

2p2pACABACky1(x2p)，與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得C點(diǎn)的坐標(biāo)為k px k2p2p(2k2p2p,2kp)，又MBC,則y

k2pk

，消去kQN的中點(diǎn)P的軌跡方程。解：PQN的中點(diǎn)P的軌跡方程。解：P（x,y）,Q（x,y）1 1N（2x-x,2y-y）x+y=2,2x-x+2y-y2①1 1 1 1又PQ垂直于直線x+y=2，故yy 1，即x-y+y-x=0xx11 11②1〉在平面直角坐標(biāo)系xOyy=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)OABAO⊥BO（4所示求△AOB形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；【解析】解法一：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)由ykx解得y x2A（k，k2）∵OA⊥OB，1 y1x 1 1∴OB：y x由 k 解得B , 2k yx

k k x1k1 3 k設(shè)△AOB的重心G（x，y），則 1 y k21 3 k2消去參數(shù)k得重心G的軌跡方程為y3x223

x

xx1 23解法二：設(shè)△AOBG(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則

y

（1）y1 2∵OA⊥OB∴k kOA OB

1,xx1 2

yy1

31，……(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有y x2,y x2，代入（2）化簡(jiǎn)得x

11 1 2 2 1 2y y

1 1 2 2∴y 1 2 (x

x2) [(x x)22xx] (3x)2 3x23 3

2 3 1

1 2 3 3 3所以重心為G的軌跡方程為y3x22。32〉如圖，設(shè)拋物線C:yx2FP在直線lxy20上運(yùn)動(dòng)，PC的兩條切線PA、PBCA、B兩點(diǎn).求△APB的重心G的軌跡方程.【解析】A、B坐標(biāo)分別為xx2)和

,x2)((

x)，AP2x0

0 1 1 1 0xyx20;0BP2x1

xyx20;1PxP

x1,y2

xx01所以△APBGxG

x13

Px ，P所以yp程為：評(píng)析：

3yG

4x2G

，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方是學(xué)生較難掌握的一類問題。斜率、截距、定比、角、點(diǎn)的坐標(biāo)等。要特別注意消參前后保持范圍的等價(jià)性。nn+1能消參（特殊情況下，能整體處理時(shí)，方程個(gè)數(shù)可減少）。五、交軌法與幾何法題型求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。5y

4pxp0OAA（y2，A（y2，4pA,y )AB（y24pBy k=4pk=4p,BOAyOByA B由OA垂直O(jiān)B得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,AByyy y(xy2)，AAy2BAy24p4p 4pAB解1（交軌法）：點(diǎn)A、B在拋物線y24px(p0)上，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2y代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程為y y

yABx②A4Py+

x2y24px0，即得(x2p)2

y2

4p2。A B所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x2p)2y24p2，其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓,除去點(diǎn)（0，0）。解（幾何法1AB（+By--4px+16p2=0AB（4p,0）OMAB點(diǎn)的軌跡是以(2p,0為圓心，半徑為2p的圓。所以方程為(x2p)2y24p2，除去點(diǎn)（0，0）。六、點(diǎn)差法：6（2004年福建，22）如圖，PCy

1x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P2CQ。若直線lP的切線垂直，求線段PQ的軌跡方程。（P1292）。解：P(xy1 1

),Q(x,y2

),M(x,y0

),依題意知，x1

0,y1

0,y 02y1x22

（1）y/x，P

＝x，切 11 1 1 直線l的斜率k ，直線l的方程為y x2 (xx)1 1 1 （2）

l x x1 1

2 1 x 11方法一、（利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式）聯(lián)立（1）（2）y得，x2

2xx220x 11

xx 1x 1 2 0 2 x M為PQ的中點(diǎn)， 1 1 1 .y x2 (x x)0 2 11

x 0 11x1

,得y0

x20

2x20

1(x0

0).PQMyx2

12x

1(x0)方法二（點(diǎn)差法）

1x2,

x2,

xx 1 2,11 2 1 2 2 2 0 211 1 1得y y

x2 x2 (xx)(x

x)x(x

x)1 2 2 1 2 2 2

2 1

0 1 2y y 1 1則x 1 2k x 。 0 xx 1 2

x 1 x1 01將上式代入（2）并整理，得y0

x20

2x0

1(x01

0). PQMyx2

2x

1(x0)算量，其過程也就變得平坦自然總結(jié)：點(diǎn)，在復(fù)習(xí)軌跡問題時(shí)是值得我們引起高度重視的：算量，其過程也就變得平坦自然總結(jié)：點(diǎn)，在復(fù)習(xí)軌跡問題時(shí)是值得我們引起高度重視的：6七、向量法：7（1995全國理）6x2y2＝1Lxy＝1，24 16 12 8PLOPQOP上且滿足OQ|OP＝OR.PLQ的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線高考方向要把握高考考查軌跡問題通常是以下兩類：一類是容易題，以定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法等為主，另一類是高難度的純軌跡問題，綜合考查各種方法?！败壽E”、“方程”要