2023年高考考前數(shù)學(xué)100個(gè)提醒(知識(shí)方法與例題)

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華中師大一附中2023年高考考前

數(shù)學(xué)100個(gè)提醒（知識(shí)、方法與例題）

一、集合與規(guī)律

1、區(qū)分集合中元素的形式：如：x|ylgx—函數(shù)的定義域；y|ylgx—函數(shù)的值域；(x,y)|ylgx—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如（1）設(shè)集合

M{x|yx3}，集合N＝y(tǒng)|yx21,xM，則MN___（答：；（2）設(shè)集合M{a|a(1,2)(3,4),R}，[1,)）N{a|a(2,3)(4,5)，R}，則MN_____（答：{(2,2)}）

2、條件為AB，在探討的時(shí)候不要遺忘了A的狀況

如：A{x|ax2x10}，假使AR，求a的取值。（答：a≤0）3、AB{x|xA且xB};AB{x|xA或xB}

CUA={x|x∈U但xA};ABxA則xB;真子集怎定義？

含n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集個(gè)數(shù)為2n－1;如滿(mǎn)足2{1,2}M{1,2,3,集合4M有______個(gè)。（答：7）

4、CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?

5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U

6、補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較繁雜的有關(guān)問(wèn)題。

如已知函數(shù)f(x)4x2(p2)x2pp1在區(qū)間[1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)22

3

2

7、原命題:pq;逆命題:qp;否命題:pq；逆否命題:數(shù)c，使f(c)0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。（答：(3,)）

qp如：“sinsin〞是“〞的條件。（答：充分非必要條件）

8、若pq且qp;則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;

9、注意命題pq的否定與它的否命題的區(qū)別:

命題pq的否定是pq；否命題是pq

命題“p或q〞的否定是“┐P且┐Q〞，“p且q〞的否定是“┐P或┐Q〞注意：如“若a和b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)〞的

否命題是“若a和b不都是偶數(shù)，則ab是奇數(shù)〞

否定是“若a和b都是偶數(shù)，則ab是奇數(shù)〞

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

10、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：

aa

mnmn0a1，loga10，logaa1，lg2lg51，，，man

logexlnx，abNlogaNb(a0,a1,N0)，alogaNN。11如()的值為_(kāi)_______(答：)264

11、一次函數(shù):y=ax+b(a≠0)b=0時(shí)奇函數(shù);

212、二次函數(shù)①三種形式:一般式f(x)=ax+bx+c(軸-b/2a,a≠0,頂點(diǎn)?);頂點(diǎn)式

2f(x)=a(x-h)+k;零點(diǎn)式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(軸?);b=0偶函數(shù);③區(qū)間最值:配方后一看開(kāi)口方向,二探討對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系;如：若函數(shù)y12x2x4的定義域、值域都是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝2）2

cc(中心為(b,a))(x0)平移yaxbx

a是奇函數(shù),a0時(shí),在區(qū)間(，0),(0，)上為增函數(shù)x④實(shí)根分布:先畫(huà)圖再研究△0、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào);13、反比例函數(shù):y14、對(duì)勾函數(shù)yx

a0時(shí),在(0a],[a,0)遞減在(，a],[,)遞增

315、單調(diào)性①定義法;②導(dǎo)數(shù)法.如：已知函數(shù)f(x)xax在區(qū)間[1,)上

是增函數(shù)，則a的取值范圍是____(答：(,3]))；

注意①：f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)f(x)x3在(,)上單調(diào)遞增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件。

注意②：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大??；②解不等式；③求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)f(x)是定義在(2,2)上的減函數(shù),若

（答：f(m1)f(2m1)0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。12m）23

③復(fù)合函數(shù)由同增異減判定④圖像判定.⑤作用:比大小,解證不等式.如函數(shù)

（1,2）)。ylog1x22x的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：

2

16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數(shù)過(guò)原點(diǎn)(f(0)=0);定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分的條件。

17、周期性。（1）類(lèi)比“三角函數(shù)圖像〞得：

①若yf(x)圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸xa,xb(ab)，則yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)2|ab|；

②若yf(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,0),B(b,0)(ab)，則yf(x)是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)2|ab|；

③假使函數(shù)yf(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心A(a,0)和一條對(duì)稱(chēng)軸xb(ab)，則函數(shù)yf(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T(mén)4|ab|；

把這份材料比作一片蔚藍(lán)的海，現(xiàn)在讓我們起航，展開(kāi)你聰慧和自信的雙翼，乘風(fēng)破

如已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)0在

[2,2]上至少有__________個(gè)實(shí)數(shù)根（答：5）

（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿(mǎn)足fxfax(a0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)〞得：①函數(shù)f(x)滿(mǎn)足fxfax，則f(x)是周期為

12a的周期函數(shù)；②若f(xa)(a0)恒成立，則T2a；③若f(x)

1f(xa)(a0)恒成立，則T2a.f(x)

如(1)設(shè)f(x)是(,)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x，則f(47.5)等于_____(答：0.5)；(2)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是減函數(shù)，若,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f(sin),f(cos)的大小關(guān)系為_(kāi)________(答：f(sin)f(cos))；

18、常見(jiàn)的圖象變換

①函數(shù)yfxa的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸向左(a0)或向右(a0)平移a個(gè)單位得到的。如要得到y(tǒng)lg(3x)的圖像，只需作ylgx關(guān)于_____軸對(duì)稱(chēng)的圖像，再向____平移3個(gè)單位而得到(答：y；右)；（3）函數(shù)

的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有____個(gè)(答：2)f(x)xlg(x2)1

②函數(shù)yfx+a的圖象是把函數(shù)yfx助圖象沿y軸向上(a0)或向

b下(a0)平移a個(gè)單位得到的；如將函數(shù)ya的圖象向右平移2個(gè)單位xa

后又向下平移2個(gè)單位,所得圖象假使與原圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng),那么

(A)a1,b0(B)a1,bR(C)a1,b0(D)a0,bR(答：C)

③函數(shù)yfax(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸伸縮為原來(lái)11的得到的。如（1）將函數(shù)yf(x)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱a3

坐標(biāo)不變），再將此圖像沿x軸方向向左平移2個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_(kāi)____(答：f(3x6))；（2）如若函數(shù)yf(2x1)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(2x)

1的對(duì)稱(chēng)軸方程是_______(答：x)．2

④函數(shù)yafx(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿y軸伸縮為原來(lái)的a倍得到的.

19、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。

ab對(duì)稱(chēng)。如已2

2知二次函數(shù)f(x)axbx(a0)滿(mǎn)足條件f(5x)f(x3)且方程①滿(mǎn)足條件fxafbx的函數(shù)的圖象關(guān)于直線x

只要保持著一份執(zhí)者，堅(jiān)守著一個(gè)信念，不怕失敗，不言悔恨，就一定能看到希望的

1f(x)x有等根，則f(x)＝_____(答：x2x)；2

②點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)曲線方程為yfx；

③點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)曲線方程為yfx；

④點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,y)；函數(shù)yfx關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)曲線方程為yfx；

⑤點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yxa的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為((ya),xa)；曲線

f(x,y)0關(guān)于直線yxa的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為f((ya),xa)0。特別地，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為f(y,x)0；點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y,x)；曲線f(x,y)0關(guān)于直線yx的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為f(y,x)0。如己知函數(shù)

x33f(x),(x),若yf(x1)的圖像是C1,它關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)圖像2x32

是C2,C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖像為C3,則C3對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___________（答：

x2）；y2x1

若f(a－x)＝f(b+x),則f(x)圖像關(guān)于直線x=

y=f(b-x)圖像關(guān)于直線x=ba對(duì)稱(chēng)。2ab對(duì)稱(chēng);兩函數(shù)y=f(a+x)與2

提醒：證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心（對(duì)稱(chēng)軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上；如（1）已知函數(shù)f(x)

的圖像關(guān)于點(diǎn)M(a,1)成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

⑥曲線f(x,y)0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為f(2ax,2by)0。如若函數(shù)yxx與yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，3）對(duì)稱(chēng)，則g(x)＝______（答：x7x6）22x1a求證：函數(shù)f(x)(aR)。ax

cxdcc

2如已知函數(shù)圖象C與C:y(xa1)axa1關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，且圖象C⑦形如y(c0,adbc)的圖像是雙曲線，對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(,)。

關(guān)于點(diǎn)（2，－3）對(duì)稱(chēng)，則a的值為_(kāi)_____（答：2）

⑧|f(x)|的圖象先保存f(x)原來(lái)在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保存f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到。如（1）作出函數(shù)y|log2(x1)|及ylog2|x1|的圖象；（2）若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的圖象關(guān)于____對(duì)稱(chēng)（答：y軸）

20.求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法是：

（1）借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類(lèi)比探究。幾類(lèi)常見(jiàn)的抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：f(x)kx(k0)f(xy)f(x)f(y)；

f(x)；f(y)

f(x)x③指數(shù)函數(shù)型：f(x)af(xy)f(x)f(y)，f(xy)；f(y)

x④對(duì)數(shù)函數(shù)型：f(x)logaxf(xy)f(x)f(y)，f(f(x)f(y)；y

f(x)f(y)⑤三角函數(shù)型：f(x)tanxf(xy)。1f(x)f(y)

如已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T(mén)，T則f(__（答：0）2②冪函數(shù)型：f(x)xf(xy)f(x)f(y)，f()2xy

21.反函數(shù):①函數(shù)存在反函數(shù)的條件一一映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)③周期函數(shù)、定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)無(wú)反函數(shù)④互為反函數(shù)的兩函數(shù)

-1-1具一致單調(diào)性⑤f(x)定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則f[f(x)]=x(x∈B),f[f(x)]=x(x∈

A).⑥原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域,原函數(shù)值域是反函數(shù)的定義域。

如：已知函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),那么f4x的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)_____（答：（1,3））；

22、題型方法總結(jié)

Ⅰ判定一致函數(shù):定義域一致且對(duì)應(yīng)法則一致

Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：

（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類(lèi)型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：f(x)axbxc；頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)n；零點(diǎn)式：22

f(x)a(xx1)(xx2)）。如已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為22,求f(x)的解析式。（答：f(x)12x2x1）2

f(1cox)ssi2xn,求（2）代換（配湊）法――已知形如f(g(x))的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式。如（1）已知fx2的解析式（答

：

112f(x2)x42x2,x[）；（2）若f(x)x2，則函數(shù)xx

2；（3）若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x1)=_____（答：x2x3）

當(dāng)x(0,)時(shí)，f(x)x(1x)，那么當(dāng)x(,0)時(shí)，f(x)=________

（答：x(1）.這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即f(x)的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

（3）方程的思想――對(duì)已知等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于f(x)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：

為自己的錦繡前程努力奮進(jìn)，青春會(huì)因你的努力而精彩！

21）；（2）已知f(x)是奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=,g(x)是偶函數(shù)，x13

x則f(x)=（答：2）。x1f(x)3x

Ⅲ求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母?;偶次根式被開(kāi)方數(shù)?;對(duì)數(shù)真數(shù)?，底數(shù)?;零指數(shù)冪的底數(shù)?);實(shí)際問(wèn)題有意義;若f(x)定義域?yàn)閇a,b],復(fù)合函數(shù)f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域?yàn)閇a,b],則f(x)定義域相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)g(x)的值域；

1

2x)的定義域?yàn)開(kāi)_________

2（答：x|2x4）；（2）若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)閇2,1)，則函數(shù)f(x)的如：若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?2，則f(log2

定義域?yàn)開(kāi)_______（答：[1,5]）．

Ⅳ求值域:yx2x5,x[1,2]的值域（答：[4,8]）；2

3x

xx②逆求法（反求法）：如：y通過(guò)反解，用來(lái)表示，再由的取33yx13

值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取值范圍（答：（0,1））；③換元法：如（1）y2sinx3cosx1的值域?yàn)開(kāi)____（答：[4,217；]）8

x1（2

）y2_____（答：3,）

t，t0。

運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元t的范圍）；④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；如：y2sin13的值域（答：(,]）；21cos

⑤不等式法

――利用基本不等式aba,bR)求函數(shù)的最值。如設(shè)

(a1a2)2

x,a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則的取值范圍是b1b2

____________.（答：(,0][4,)）。

函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。如求

19，yyx(1x9)，ysin2x2x1

sinx

8011______（答：(0,)、[,9]、0,）；92

汗水是勤勞，汗水是甘甜知識(shí)在于積累log35x的值域?yàn)棰邤?shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。如（1）已

知點(diǎn)P(x,y)在圓xy1上，求22y及y2x的取值范圍

（答：[

、x2

[）；（2）

求函數(shù)y[10,)）；

如（1）求yx11的值域（答：）；（2）

求函數(shù)y,1x222

x2x11的值域（答：[0,]）如求y的值域（答：(,3][1,)）x12

⑨導(dǎo)數(shù)法;分開(kāi)參數(shù)法;―如求函數(shù)f(x)2x4x40x，x[3,3]的最小值。（答：－48）

用2種方法求以下函數(shù)的值域：①y3232x(x[1,1])②32x

x2x3x2x3（y,x(,0)；③y,x(,0)xx1

⑤解應(yīng)用題:審題(理順數(shù)量關(guān)系)、建模、求模、驗(yàn)證.⑥恒成立問(wèn)題:分開(kāi)參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問(wèn)題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;⑦任意定義在R上函數(shù)f（x）都可以唯一地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。即f（x）＝g(x)＋h(x)

f（－x）f（－x）其中g(shù)（x）＝f（x）＋是偶函數(shù)，h（x）＝f（x）－是奇函數(shù)22

⑦利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行規(guī)律探究。如（1）若xR，f(x)滿(mǎn)足f(xy)f(x)

；（2）若f(y)，則f(x)的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）

xR，f(x)滿(mǎn)足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)的奇偶性

是______（答：偶函數(shù)）；（3）已知f(x)是定義在(3,3)上

的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)，f(x)的圖像如右圖所示，那么不

等式f(x)coxs的解集是_____________（答：；（4）設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì),1)(0,1)(,3)）22

x1任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1時(shí)，f(x)0，又f()1，y2

①求證f(x)為減函數(shù)；②解不等式f(x)f(5x)2.（答：0,14,5）．(

23、導(dǎo)數(shù)幾何物理意義:k=f(x0)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。

/V＝s(t)表示t時(shí)刻即時(shí)速度,a=v′(t)表示t時(shí)刻加速度。如一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s1tt，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在t3時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi)____（答：5米/秒）

有志者，事竟成；破釜沉舟，百二秦關(guān)終歸楚；苦心人，天不負(fù)；臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳。

2/

24、基本公式:C0(C為常數(shù));(xm)mxm-1(mQ)

25、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:⑴過(guò)某點(diǎn)的切線不一定只有一條;如：已知函數(shù)f(x)x3x過(guò)點(diǎn)P(2,6)作曲線yf(x)的切線，求此切線的方程（答：3xy0或

。24xy540）

⑵研究單調(diào)性步驟:分析y=f(x)定義域;求導(dǎo)數(shù);解不等式f(x)≥0得增區(qū)間;解不等式f(x)≤0得減區(qū)間;注意f(x)=0的點(diǎn);如：設(shè)a0函數(shù)f(x)xax在

；[1,)上單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍______（答：0a3）

⑶求極值、最值步驟:求導(dǎo)數(shù);求f(x)0的根;檢驗(yàn)f(x)在根左右兩側(cè)符號(hào),若左正右負(fù),則f(x)在該根處取極大值;若左負(fù)右正,則f(x)在該根處取微小值;把極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.如：（1）函數(shù)///33y2x33x212x5在[0，3]上的最大值、最小值分別是______（答：5；15）；

（2）已知函數(shù)f(x)xbxcxd在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，那么b＋c有最__值__答：大，321532）（3）方程x6x9x100的實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_（答：1）2

特別提醒：（1）x0是極值點(diǎn)的充要條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不僅是fx0＝0，fx0＝0是x0為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮f(x0)0，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)〞(“左負(fù)右正〞)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒(méi)有用完，這一點(diǎn)一定要切記！如：函數(shù)fxxaxbxa在x1處322

有微小值10，則a+b的值為_(kāi)___（答：－7）

三、數(shù)列、

26、an={S1(n1)

SnSn1(n2,nN)*注意驗(yàn)證a1是否包含在an的公式中。

27、｛an｝等差anan1d(常數(shù))2anan1an1(n2,nN*中項(xiàng))

ananb(一次)snAn2Bn(常數(shù)項(xiàng)為0的二次);a,b,A,B?an2an-1an1(n2,nN)anq(定);｛an}等比an1an0

ana1qn1snmmqn;m?

如若{an}是等比數(shù)列，且Sn3nr，則r＝（答：－1）

28、首項(xiàng)正的遞減(或首項(xiàng)負(fù)的遞增)等差數(shù)列前n項(xiàng)和最大(或最小)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為解不等式an0(或),或用二次函數(shù)處理;(等比前n項(xiàng)積?)，由此你能求一般數(shù)a0a0n1n1

即使通向成功的道路上沒(méi)有燈光，我們也要摸索著鑒別那緊閉的命運(yùn)門(mén)，然后舉起手

來(lái)咚咚咚地把它敲響！

an0

列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列{an}中，a125，S9S17，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10,a2023a20230，a2023a20230，則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

n(n1)n(n1)n(a1an)29、等差數(shù)列中an=a1+(n-1)d;Sn=na1d=nand=222

a1(1qn)a1anq等比數(shù)列中an=a1q;當(dāng)q=1,Sn=na1當(dāng)q≠1,Sn==1q1qn-1

30.常用性質(zhì)：等差數(shù)列中,an=am+(n－m)d,d

n-maman;當(dāng)m+n=p+q,am+an=ap+aq；mn等比數(shù)列中，an=amq;當(dāng)m+n=p+q，aman=apaq；

如（1）在等比數(shù)列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10=___（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a69，則

。log3a1log3a2log3a1010）

31.常見(jiàn)數(shù)列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、1、

bn

{anbn}、ana等比;{an}等差,則c(c0)成等比.{bn}(bn0)等比,則{logcbn}(c0bnn

且c1)等差。

32.等差三數(shù)為a-d,a,a+d;四數(shù)a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三數(shù)可設(shè)a/q,a,aq；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3(為什么？)如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，其次個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

33.等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍為等差數(shù)列。

等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和且不為零時(shí)構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍為等比數(shù)列。

如：公比為-1時(shí)，S4、S8-S4、S12-S8、不成等比數(shù)列

34.等差數(shù)列{an},項(xiàng)數(shù)2n時(shí),S偶-S奇＝nd;項(xiàng)數(shù)2n-1時(shí),S奇-S偶＝an;項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，則S偶

S奇q;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí)，S奇a1qS偶.

35.求和常法:公式、分組、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、倒序相加.關(guān)鍵找通項(xiàng)結(jié)構(gòu).分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n、錯(cuò)位相減法求和：如an=(2n-1)2n、裂項(xiàng)法求和：如求和：12n111）、倒序相12123123nn1

不要由于一些不應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)的微弱錯(cuò)誤丟分只要你認(rèn)真審題、認(rèn)真答題，你就會(huì)有卓越表現(xiàn)。

2；②已知加法求和：如①求證：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)012nn

x21117，則＝___（）f(x)f(1)f(2)f(3)f(4)f(f(f(1x22234

36.求數(shù)列{an}的最大、最小項(xiàng)的方法（函數(shù)思想）：

01a①an+1-an=0如an=-2n2+29n-3②n11(an0)如an10

9n(n1)nan=③a=f(n)研究函數(shù)f(n)的增減性如a=nnn210n156

求通項(xiàng)常法:（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和sn,求通項(xiàng)an，可利用公

(n1)S1an(n2)SnSn1式:

如：數(shù)列{an}滿(mǎn)足11114,n1求an（答：ann1）a12a2nan2n5，2,n2222

（2）先猜后證

（3）遞推式為an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；an＋1＝anf(n)(采用累積法)；如已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a11，anan1

（答：an1n1n

n(n2)，則an=________

1）

n1（4）構(gòu)造法形如ankan1b、ankan1b（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列如①已3知a11,an3an12，求an（答：an21）；

（5）涉及遞推公式的問(wèn)題，常借助于“迭代法〞解決，適當(dāng)注意以下3個(gè)公式的合

理運(yùn)用

an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+＋（a2－a1）＋a1；an＝

（6）倒數(shù)法形如ananan－1a2a1an－1an－2a1an1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如①已知kan1b

an11a11,an，求an（答：an）；②已知數(shù)列滿(mǎn)足a1=1

，3an113n2

1an（答：an2）n

22237、常見(jiàn)和：123nn(n1)，12nn(n1)(2n1)，三軍可奪帥也，匹夫不可奪志也?！墩撜Z(yǔ)》

132333n3[n(n1)2]2

四、三角

38、終邊一致(β=2kπ+α);弧長(zhǎng)公式：l||R，扇形面積公式：SlR||R2，1弧度(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該22

2扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2cm）

39、函數(shù)y=Asin(x)b（0,A0）①五點(diǎn)法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=2,頻率?φ=kπ時(shí)奇函數(shù);φ=kπ+時(shí)偶函數(shù).③對(duì)稱(chēng)軸處y取最值,對(duì)稱(chēng)中心2

處值為0;余弦正切可類(lèi)比.如（1）函數(shù)ysin

352x的奇偶性是______（答：2偶函數(shù)）；（2）已知函數(shù)f(x)axbsinx1(a,b為常數(shù)），且f(5)7，則

；（3）函數(shù)y2cosx(sinxcosx)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心f(5)______（答：－5）

和對(duì)稱(chēng)軸分別是__________、____________（答：(k,1)(kZ)、28

xk；（4）

已知f(x)sin(x)cos(x)為偶函數(shù)，(kZ)）28

求的值。（答：k

6(kZ)）

④變換:φ正左移負(fù)右移；b正上移負(fù)下移;

ysinxysin(x)ysin(x)

1左或右平移|左或右平移||橫坐標(biāo)伸縮到原來(lái)的1ysinx橫坐標(biāo)伸縮到原來(lái)的倍ysin(x)ysinx

A倍|b|縱坐標(biāo)伸縮到原來(lái)的yAsin(x)上或下平移yAsin(x)b

40、正弦定理:2R=

222abc==;內(nèi)切圓半徑r=2SABC余弦定理：sinAsinBsinCabcb2c2a2111a=b+c-2bccosA,cosA;SsinCsinAcasinB2222bc

術(shù)語(yǔ):坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準(zhǔn)方向?yàn)槠瘘c(diǎn)（一般為北方），依順時(shí)針?lè)绞叫D(zhuǎn)至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱(chēng)之。方位角α的取值范圍是：0≤α＜360＝等

41、同角基本關(guān)系：如：已知tansin3cos＝____；1，則tan1sincos

明日復(fù)明日，明日何其多？我生待明日，萬(wàn)事成蹉跎?！睹魅崭琛?/p>

513；sin2sincos2＝_________（答：；）35

42、誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)記:奇變偶不變,符號(hào)看象限．(注意：公式中始終視)．．．．．．．．．．．．．．．為銳角．．．．

43、重要公式：sin21cos2；cos21cos2．；22

natoscnis1osc;sinsin2cossin21osc1oscnis2222

如：函數(shù)f(x)5sinxcosxx___________（答：[k2xR)的單調(diào)遞增區(qū)間為5](kZ)）1212

巧變角：如()()，2()()，

，，2()()，2等）22221如（1）已知tan()，tan()，那么tan()的值是_____（答：5444

33）；（2）已知,為銳角，sinx,cosy，cos()，則y與x225

43的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_____（答：yx(x1)）55,k

44、輔助角公式中輔助角的確定：asinxbcosxx(其中

b)如：（1）當(dāng)函數(shù)y2cosx3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是a

3______(答：)；（2）假使fxsinx2cos(x)是奇函數(shù)，則tan=2tan

(答：－2)；

五、平面向量

45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)、共線向量、相等向量

注意:不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）

46、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;

47向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，其夾角為，則：①abab0；

22②當(dāng)，同向時(shí)，＝ab，特別地，aaaa,a；當(dāng)0

是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，ab＜0，且a、b不反向，ab0

是為鈍角的必要非充分條件；③|ab||a||b|。如（1）已知a(,2)，

4b(3,2)，假使a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或3

1；0且）3

48、向量b在a方向上的投影︱b︱cos

49、e1和e2是平面一組基底,則該平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特別：.＝1OA2OB則121是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件如平

面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3),若點(diǎn)C滿(mǎn)足OC1OA2OB,其中1,2R且121,則點(diǎn)C的軌跡是_______（答：直線AB）50、在ABC中，①PG(PAPBPC)G為ABC的重心，特別地3PAPBPC0P為ABC的重心；②PAPBPBPCPCPAP為ABC的垂心；)(0)所在直線過(guò)ABC的內(nèi)心(是BAC的角平③向量(|AB||AC|

分線所在直線)；④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的內(nèi)心；

⑤S⊿AOB＝1xAyBxByA;OBOCOBOC2OA如：（1）若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，

則ABC的形狀為_(kāi)___（答：直角三角形）；（2）若D為ABC的邊BC的中點(diǎn)，2

___（答：2）；（3）若點(diǎn)O是△ABC的外心，且OAOBCO0，則△ABC的內(nèi)|AP|，則的值為ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足PABPCP0，設(shè)|PD|

角C為_(kāi)___（答：120）；

51、P分2,＞0內(nèi)分;＜0且≠-1外分.1P=PP12的比為,則P

＝1OP2;若λ＝1則＝11(1+2);設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),2

只有不畏艱難，擅長(zhǎng)思考，就能拿高分

xP2(x2,y2)則yx1x2x1x2x1x2x3,x,x,123;中點(diǎn)重心yyyyyy1y2232y1y1..321

xxh52、點(diǎn)P(x,y)按a(h,k)平移得P(x,y),則PP＝a或函數(shù)yf(x)yyk

按a(h,k)平移得函數(shù)方程為：ykf(xh)如（1）按向量a把(2,3)平移到

（－８，３））；（2）函數(shù)(1,2)，則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn)______（答：

ysin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x1，則a＝________（答：(

4,1)）

六、不等式

53、注意課本上的幾特性質(zhì)，另外需要特別注意：

①若ab0，則11。即不等式兩邊同號(hào)時(shí)，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號(hào)方向要改ab

變。②假使對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，假使正負(fù)號(hào)未定，要注意分類(lèi)探討。如：已知1xy1，1xy3，則3xy的取值范圍是______（答：13xy7）；

54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋覓中間量與“0〞比，與“1〞比或放縮法；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t1的大?。ù穑寒?dāng)a1時(shí)，logat和loga22

1t11t1t1時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)0a1logatloga（t1logatloga2222

1a24a2時(shí)取等號(hào)））；（2）設(shè)a2，pa，q2，試比較p,q的大?。ù穑篴2

pq）（1）設(shè)a0且a1,t0，比較

55、常用不等式：若a,b0，（1

（當(dāng)且僅當(dāng)2；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)abca2b2c2abbccaab時(shí)取等號(hào)）

bbm時(shí)，取等號(hào)）；（3）若ab0,m0，則（糖水的濃度問(wèn)題）。aam

100℅的付出，就有100℅的成功

b滿(mǎn)足abab3，如：假使正數(shù)a、則ab的取值范圍是_________（答：9,）

基本變形：①ab；(ab2)；2

注意：①一正二定三取等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平y(tǒng)4x91（答：8）(x)的最小值。24x2

②若若x2y1，則2x4y的最小值是______

（答：；

11③正數(shù)x,y滿(mǎn)足x2y1，則的最小值為_(kāi)_____

（答：3；xy

56、ababab(何時(shí)取等？)；|a|≥a；|a|≥－a

57、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分派方)--定號(hào).另:商比②綜合法--由因?qū)Ч?③分析法--執(zhí)果索因;④反證法--正難則反。⑤放縮法方法有：⑴添加或舍去一些項(xiàng)，如：a1a；n(n1)n⑵將分子或分母放大（或縮?。抢没静坏仁?，如：log3lg5(2lg3lg52)lglglg4；2

n(n1)n(n1)2

1

k1k12k⑷利用常用結(jié)論：Ⅰ、k1k；Ⅱ、11111111；（程度大）k2k(k1)k1kk2k(k1)kk1

111111()；（程度?。?2kk1(k1)(k1)2k1k1Ⅲ、

⑥換元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：

已知xya，可設(shè)xacos,yasin；

已知xy1，可設(shè)xrcos,yrsin(0r1)；22222

x2y2

已知221，可設(shè)xacos,ybsin；ab

x2y2

已知221，可設(shè)xasec,ybtan；ab

百練百勝，高考大捷

⑦最值法,如：afmax(x),則af(x)恒成立.

58、解絕對(duì)值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點(diǎn)分段法);③兩邊平方

④公式法：|f(x)|g(x);|f(x)|g(x)。

59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號(hào).奇穿偶回

如（1）解不等式(x3)(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x3或x2}）；32

ax21（2）解不等式x(aR)（答：a0時(shí)，{x|x0}；a0時(shí)，{x|xax1a

或x0}；a0時(shí)，{x|1x0}或x0}）a

七、立幾

60.位置和符號(hào)①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法②直線與平面:a∥α、a∩α=A(aα)、aα③平面與平面:α∥β、α∩β=a

a//b//61.常用定理:①線面平行ba//;a//;aa//aaa

//aa//b②線線平行:aa//b;a//b;aa//b;c//bba//cbba//

a,ba//③面面平行:abO//;//;//a//a//,b//

④線線垂直:aab;所成角b

⑤線面垂直:abO900PO；a(三垂線);逆定理?aPAaAOa,ba//b//;;;ablalaaa,alla,lb

0⑥面面垂直：二面角90;aa//;aa

62.求空間角①異面直線所成角的求法：（1）范圍：(0,

2（2）求法：平；

移以及補(bǔ)形法、向量法。如（1）正四棱錐PABCD的所有棱長(zhǎng)相等，E是PC的中點(diǎn)，那么異面直線BE與PA所成的角的余弦值等于____（答：3）；（2）3

在正方體AC1中，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1

人生能有幾回搏，此時(shí)不搏待何時(shí)

上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為_(kāi)___（答：90）；②直線和平面所成的角：（1）范圍[0,90]；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。：（3）求法：作垂線找射影或求點(diǎn)線距離（向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為_(kāi)_____（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的4

中點(diǎn)，則棱A1B1與截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：1）；③二面3

角：二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法：S射＝S原cos、轉(zhuǎn)化為法向量的夾角。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為_(kāi)_______（答：60）；（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30，則二面角C1—BD1—B1的大小為_(kāi)_____

（答：arcsin）；（3）從點(diǎn)P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC，每?jī)蓷l的夾角都是60，3

則二面角B-PA-C的余弦值是______（答：1）；3

63.平行六面體→直平行六面體→長(zhǎng)方體→正四棱柱→正方體間聯(lián)系

三棱錐中:側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底面射影為底面外心;側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底面射影為底面垂心;斜高相等(側(cè)面與底面所成相等)頂點(diǎn)在底面射影為底面內(nèi)心;正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為θ,則S側(cè)cosθ=S底;正三角形四心?內(nèi)切外接圓半徑?;

64.空間距離:①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行面間距

PAn離)→點(diǎn)到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法h.③點(diǎn)到n

線距離:用三垂線定理作垂線后再求;

65.求球面兩點(diǎn)A、B距離①求|AB|②算球心角∠AOB弧度數(shù)③用公式L球面距離=θ角球心R;緯線半徑r＝Rcos緯度。S球=4πR;V球＝243πR;3

選擇題力求一遍確鑿不回頭（一般也沒(méi)時(shí)間檢查），因此讀題要細(xì)心，爭(zhēng)取讀兩遍以上題后再下筆，以免忙中出錯(cuò)，按要求解答，選擇前最好再讀一遍題，免得答非所問(wèn)，要是再念一遍題就會(huì)避免這

66.平面圖形翻折(展開(kāi)):注意翻折(展開(kāi))后在同一平面圖形中角度、長(zhǎng)度不變;67.從點(diǎn)O引射線OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則A在平面BOC的射影在∠BOC平分線上;若A到OB與OC距離相等,則A在平面BOC的射影在∠BOC平分線上；68.常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問(wèn)題化為平面問(wèn)題②將空間圖展開(kāi)為平面圖③割補(bǔ)法④等體積轉(zhuǎn)化⑤線線平行線面平行面面平行⑥線線垂直線

面垂直面面垂直⑦有中點(diǎn)等特別點(diǎn)線,用“中位線、重心〞轉(zhuǎn)化.

69.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面內(nèi)射影為AO,AC在平面內(nèi),設(shè)∠CAO=α,∠BAC=β,則cosβ=cosθcosα;長(zhǎng)方體:

對(duì)角線長(zhǎng)l若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成角分別為α,β,γ,則有cosα+cosβ+cos

22γ=1;體對(duì)角線與過(guò)同頂點(diǎn)的三側(cè)面所成角分別為α,β,γ,則cosα+cosβ

2+cosγ=2;正方體和長(zhǎng)方體外接球直徑=體對(duì)角線長(zhǎng);

特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：線∥線線∥面面∥面

判定性質(zhì)線⊥線線⊥面面⊥面線∥線線⊥面面∥面

八、解幾

070.傾斜角α∈[0,π],α=90斜率不存在;斜率k=tanα=y2y1x2x1222

71.直線方程:點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=k(x-x1);斜截式y(tǒng)=kx+b;一般

式:Ax+By+C=0

兩點(diǎn)式:yy1xx1xy;截距式:1(a≠0;b≠0);求直線方程時(shí)要防止由于y2y1x2x1ab

,直線Ax+By+C=0的方向向量為=(A,-B)

72.兩直線平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2則l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1

②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2A1A2+B1B2=0；

③若A1、A2、B1、B2都不為零l1∥l2

④l1∥l2則化為同x、y系數(shù)后距離d=A1B1C1;A2B2C2|C1C2|

AB

1k2k1

222kk73.l1到l2的角tanθ=k2k1;夾角tanθ=|21|;點(diǎn)線距d=|Ax0By0C|;1k2k12A2B222274.圓:標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)+(y－b)=r;一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F0)

參數(shù)方程:

222xarcos;直徑式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0ybrsin2222222

對(duì)于運(yùn)算繁雜的題，你感覺(jué)三五分鐘無(wú)法算出，就是會(huì)做，也不能浪費(fèi)過(guò)多時(shí)間，譬如2000年選75.若(x0-a)+(y0-b)r(=r,r),則P(x0,y0)在圓(x-a)+(y-b)=r內(nèi)(上、外)76.直線與圓關(guān)系,常化為線心距與半徑關(guān)系，如：用垂徑定理,構(gòu)造Rt△解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，又:ｄr相離;d=r相切;dr相交.77.圓與圓關(guān)系,常化為圓心距與兩圓半徑間關(guān)系.設(shè)圓心距為d,兩圓半徑分別為r,R,則dr+R兩圓相離;d＝r+R兩圓相外切;|R－r|dr+R兩圓相交;d＝|R－r|兩圓相內(nèi)切;d|R－r|兩圓內(nèi)含;d=0,同心圓。222278.把兩圓x+y+D1x+E1y+C1=0與x+y+D2x+E2y+C2=0方程相減即得相交弦所在直線方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過(guò)曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點(diǎn)的曲線系方程為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0

79.圓上動(dòng)點(diǎn)到某條直線(或某點(diǎn))的距離的最大、最小值的求法(過(guò)圓心)

|PF|xacosx2y280.橢圓①方程221(ab0);參數(shù)方程②定義:=e1;dybsinab相應(yīng)

|PF1|+|PF2|=2a2c③e=cb

2,a=b+c④長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b⑤焦半徑左2222aa

PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦點(diǎn)弦AB2ae(xAxB),右焦點(diǎn)弦AB2ae(xAxB)⑥

2a22b2準(zhǔn)線x=、通徑(最短焦點(diǎn)弦),焦準(zhǔn)距p=b⑦SPF1F2=b2tan,當(dāng)P為短軸端ca2c

點(diǎn)時(shí)∠PF1F2最大,近地a-c遠(yuǎn)地a+c;

x2y2|PF|81.雙曲線①方程221(a,b0)②定義:=e1;||PF1|-|PF2||=2a2c③d相應(yīng)ab

e=cb

2,c=a+b④四點(diǎn)坐標(biāo)？x,y范圍?實(shí)虛軸、漸進(jìn)線交點(diǎn)為中心⑤焦半徑、2222aa

焦點(diǎn)弦用其次定義推(注意左右支及左右焦點(diǎn)不同);到焦點(diǎn)距離?；癁榈綔?zhǔn)線距離

a22b2b2⑥準(zhǔn)線x=、通徑(最短焦點(diǎn)弦),焦準(zhǔn)距p=⑦SPFF=b2cot⑧漸進(jìn)線cac122

bxy20或yx;焦點(diǎn)到漸進(jìn)線距離為b;13.拋物線①方程y=2px②定aab

p義:|PF|=d準(zhǔn)③頂點(diǎn)為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線垂線段中點(diǎn);x,y范圍?軸？焦點(diǎn)F(,0),準(zhǔn)線2

2pp2x=-,④焦半徑AFxA;焦點(diǎn)弦AB＝x1+x2+p;y1y2=－p,x1x2=p其中22422

A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通徑2p,焦準(zhǔn)距p;

105.B0,Ax+By+C0表示直線斜上側(cè)區(qū)域;Ax+By+C0表示直線斜下側(cè)區(qū)域;

A0,Ax+By+C0表示直線斜右側(cè)區(qū)域;Ax+By+C0表示直線斜左側(cè)區(qū)域;

求最優(yōu)解注意①目標(biāo)函數(shù)值≠截距②目標(biāo)函數(shù)斜率與區(qū)域邊界斜率的關(guān)系.

222222282.過(guò)圓x+y=r上點(diǎn)P(x0,y0)的切線為:x0x+y0y=r;過(guò)圓x+y=r外點(diǎn)P(x0,y0)作切

2線后切點(diǎn)弦方程:x0x+y0y=r;過(guò)圓外點(diǎn)作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂

直ｘ軸.

83.對(duì)稱(chēng)①點(diǎn)(ａ,ｂ)關(guān)于ｘ軸、ｙ軸、原點(diǎn)、直線y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②點(diǎn)(ａ,ｂ)關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)用斜率互為負(fù)倒數(shù)和中點(diǎn)在軸上解③曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)曲線為f(2a-x,2b-y)=0;關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)曲線為f(y,x)=0;關(guān)于軸x=a對(duì)稱(chēng)曲線方程為f(2a-x,y)=0;關(guān)于軸y=a對(duì)稱(chēng)曲線方程為:f(x,2a-y)=0;可用于折疊(反射)問(wèn)題.

84.相交弦問(wèn)題①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式;注意二次項(xiàng)系數(shù)為0的探討;注意對(duì)參數(shù)分類(lèi)探討和數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想的運(yùn)用;注意焦點(diǎn)弦可用焦半徑公式,其它用弦長(zhǎng)公式

ABk2x2x1(1k2)x

|ax|y11yy(1)21k2|ay|k2②涉及弦中點(diǎn)與斜率問(wèn)

按常規(guī)方法10分鐘也難以求出，這時(shí)就該用特別位置法求解，一分鐘就夠了，即按垂直于軸的狀況來(lái)算，這類(lèi)題往往用特別值法、特別圖形，用選擇支驗(yàn)證等方法大多能事半功倍

題常用“點(diǎn)差法〞.如:曲線x

2y21(a,b0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中點(diǎn)為M(x0,y0),ab

22則KABKOM=b

2;對(duì)拋物線y=2px(p≠0)有KAB＝2p22ay1y2

85.軌跡方程:直接法(建系、設(shè)點(diǎn)、列式