2023年不等式選講求解集(五篇)

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不等式選講求解集篇一

第1講不等式的證明

一、輔導(dǎo)內(nèi)容

不等式證明的方法與技巧

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

不等式的證明主要研究對(duì)絕對(duì)不等式的變形、化簡。其原理是利用不等式的傳遞性從不等式的左端或右端適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。橛叶嘶蜃蠖?。不等式的性質(zhì)是不等式證明的基礎(chǔ)。

不等式證明的常規(guī)方法有：比較法、綜合法、分析法。比較法的研究對(duì)象尋常是代數(shù)不等式，如整式不等式，分式不等式；綜合法主要是用基本不等式及不等式的性質(zhì)研究非負(fù)實(shí)數(shù)集內(nèi)的絕對(duì)值不等式；當(dāng)因題目條件簡單或結(jié)論形式繁雜而無法對(duì)不等式下手時(shí)，可考慮用分析法，但應(yīng)重視格式，注意規(guī)范化用語。

根據(jù)題目條件或結(jié)論的特別形式，證明不等式還有一些技巧方法；換元法、反證法、放縮法、判別式法等。

三、典型例題

設(shè)a，b∈r，求證：a+b≥ab+a+b-1。

解題思路分析：

思路一：這是一個(gè)整式不等式，可考慮用比較法，在配方過程應(yīng)表達(dá)將a或b看成主元的思想，在這樣的思想下變形，接下來的配方或因式分解相對(duì)簡單操作。

作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a=(ab123)(b1)2≥02

422222

222

b123233)bb2424思路二：注意到不等式兩邊式子a+b與ab的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到基本不等式；為了得到左邊的a與b項(xiàng)，應(yīng)用增減項(xiàng)法變形。增加若干項(xiàng)或減少若干項(xiàng)的技巧在本節(jié)應(yīng)用得較為普遍。

因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差δ后得到關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，除了用配方法，還可以聯(lián)系二次函數(shù)的知識(shí)求解。記f(a)=a-(b+1)a+b-b+1因二次項(xiàng)系數(shù)為正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0∴f(a)≥0已知0根據(jù)已知條件：a+b+c+abc0，首先將題目結(jié)論改造為1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。這樣的化簡或變形（變形的目的也是化簡）在絕大多數(shù)解題中都是需要的），而且是必要的。在變形過程中尋常注意前后問題的等價(jià)性。

其次在對(duì)欲證不等式左邊的化簡時(shí)，應(yīng)從已知條件中尋覓思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在對(duì)1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解時(shí)，應(yīng)向1-a，1-b，1-c這三個(gè)因式靠攏，這樣才便于判斷整個(gè)因式的符號(hào)。由輪換式的特點(diǎn)，找準(zhǔn)1-a，1-b，1-c中的一個(gè)因式即可。

1+ab+bc+ca-a-b-c-abc=(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0設(shè)a=a+d，b=b+c，a，b，c，d∈r+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較a與b的大小。

解題思路分析：

因a、b的表達(dá)形式比較簡單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是此題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：ab，ac，ad，故保存a，消b，c，d中任一個(gè)均可。

由ad=bc得：dbcbcbcaca-b=a+d-(b+c)=abcabaaa1abbcca≥1。

abcabc

22222222222

=abc(ab)(ab)(ac)0aabcd(bd)(cd)bcbccda-b=adbcdbc(bd)=ddd下面是判斷b-d與c-d的符號(hào)，即比較a、c與d的大小：應(yīng)從條件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出發(fā)才挖掘隱蔽條件。又：若不慎消去了a，該怎么辦呢？由ad=bc得：aacbdac∵ab0∴1即1∴cd，c-d0bd由ad=bc得：同理b-d0∴a-b0a，b，c∈r，求證：a+b+c≥(a+b+c)。

解題思路分析：

不等號(hào)兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號(hào)方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶〞的技巧。

11左=(2a42b42c4)[(a4b4)(b4c4)(c4a4)]

21≥(2a2b22b2c22c2a2)a2b2b2c2c2a2

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與方才類似。a2b2b2c2c2a21(2a2b22b2c22c2a2)24

441[(a2b2b2c2)(b2c2c2a2)(c2a2a2b2)]21≥(2ab2c2abc22a2bc)ab(abc)2

（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

111111；≥

abcabbcaca2b2c2abc（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：≥。bcacab2解題思路分析：

（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全一致，處理方法也完全一樣。

（2）同學(xué)們可試一試，再用方才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？a2

x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥。

2解題思路分析：

思路一；根據(jù)x+y和x+y的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。x2y2xy∵≤

22(xy)2a2∴xy≥222222思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有以下三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元：令xaam，ym22

a2aaa2222則xy(m)(m)2m≥

2222途徑2：代入消元法：22y=a-x，0

22令x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，]

222244222222則x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ]

a211222=a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥

222注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想2是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。

(ab)2ab(ab)2ab

已知ab0，求證：。8a28b解題思路分析：

所證不等式的形式較繁雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，1次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即2執(zhí)果索因，尋覓使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，?shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。

abab2ab(ab)2ab222ab(ab)(ab)(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2(ab)2所證不等式可化為

8a28b∵ab0∴ab∴ab0

(ab)2(ab)21∴不等式可化為：

4a4b2(ab)4aab2a即要證只需證

24b(ab)2bab在ab0條件下，不等式組顯然成立∴原不等式成立

已知f(x)=解題思路分析：

不等號(hào)兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。

22x34x8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)211.2112f(a)2a3482a82a(2)8a282a82a≤

822a82a8422

令g(b)=b-4b+∵11323g(b)=(b-2)+≥

22232∴g(b)f(a)2注：此題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。

已知a，b，c∈r，f(x)=ax+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。

解題思路分析：

這是一個(gè)與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對(duì)值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就此題來說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1〞的解題意識(shí)。

從特別化的思想出發(fā)得到：令x=0，|f(0)|≤1即|c|≤1當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c1∴b[f(1)f(1)]2111∴|b||f(1)f(1)|≤[|f(1)||f(1)|]≤(11)≤1222（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。

2當(dāng)a0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增∴g(-1)≤g(x)≤g(1)∵g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2∴-2≤g(x)≤2即|g(x)|≤2當(dāng)a0時(shí)，同理可證。思路二：直接利用絕對(duì)值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對(duì)值符號(hào)分派到a，b，可考慮a，b的符號(hào)進(jìn)行探討。當(dāng)a0時(shí)

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b|下面對(duì)b探討

①b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2；②b0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！鄚ax+b|≤2當(dāng)a0時(shí)，同理可證。

評(píng)注：此題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適選中擇，則不能滿足題目要求。

同步練習(xí)

（一）選擇題

1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則以下各式一定成立的是（）1111111≤b、≤≤ab44ab211111c、≤≤1d、≥12ababa、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則以下各式中一定正確的是（）a、ac≥bb、ab≥cc、bc≥ad、ab≤c

3、設(shè)m不等于n,x=m-mny=nm-n，則x,y的大小關(guān)系為（）

a、xyb、x=yc、yxd、與m,n的取植有關(guān)

43344、已知a，b是不相等的正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，b成等比數(shù)列，并給出以下不等式：

①②1ab2(x1x2xn)ab()n21nn(x1x2xn)ab2

③y1y2ynab④y1y2ynnabab2()22那么，其中為真命題的是（）

a、①③b、①④c、②③d、②④

5、已知a，b，c0，且a+bc，設(shè)m=

abc，n=，則mn的大小關(guān)系是4abc4ca、mnb、m=nc、m6、已知函數(shù)f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈r，且x1+x20，x2+x30，x3+x10，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（）

a、一定大于零b、一定小于零c、一定等于零d、正負(fù)都有可能

111117、若a0，b0，x()，y，z，則（）

2abababa、x≥yzb、x≥zyc、y≥xzd、yz≥x

8、設(shè)a，b∈r，下面的不等式成立的是（）a、a+3abbb、ab-ab+abc、（二）填空題

9、設(shè)a0，b0，a≠b，則ab與ab的大小關(guān)系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號(hào)填空）。

11、設(shè)n個(gè)正數(shù)x1，x2，?，xn的算術(shù)平均數(shù)是x，若a是不等于x的任意實(shí)數(shù)，并記ab

ba22

3aa12d、a+b≥2(a-b-1)bb1p(x1x1)2(x2x)2(xnx)2，q(x1a)2(x2a)2(xna)2，則p與q大小關(guān)系是__________。

1t112、當(dāng)00且t≠1時(shí)，logat與loga的大小關(guān)系是__________。

22nnn13、若a，b，c為rt△abc的三邊，其中c為斜邊，則a+b與c（其中n∈n，n2）的大小關(guān)系是________________。

（三）解答題

14、已知a0，b0，a≠b，求證：ababba。

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求證：1abc2。bcacab1116、已知a≥0，b≥0，求證：(ab)2(ab)≥aaba。

243317、已知a，b為正數(shù)，a+b=2，求證：a+b≤2。

111a8b8c818、若a，b，c為正數(shù)，求證：≤。

abca3b3c3112519、設(shè)a0，b0，且a+b=1，求證：(a)(b)≥。

ab420、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

第2講含有絕對(duì)值的不等式

一、輔導(dǎo)內(nèi)容

含有絕對(duì)值的不等式證明

二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、絕對(duì)值的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)：①x∈r時(shí)，|x|≥x，|x|≥-x；②|x|a，或x-axa。

（2）運(yùn)算性質(zhì)：|ab|=|a||b|，|a|a||，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。b|b|

222（3）幾何意義：|x-a|表示數(shù)軸上數(shù)x，a對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。

2、與絕對(duì)值有關(guān)的不等式的證明

其方法仍是證明一般不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性質(zhì)外，還經(jīng)常用到方才所介紹的絕對(duì)值的性質(zhì)，特別是||a|-|b||≤|a|±|b|這一條性質(zhì)。

在利用絕對(duì)值的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向進(jìn)行合理的選擇。

3、含絕對(duì)值不等式的證明與解法有較大的差異，在解不等式中，主要是考慮如何去掉絕對(duì)值符號(hào)；而在證明中，一般不提倡去掉絕對(duì)值符號(hào)，當(dāng)然，少數(shù)題目例外。

三、典型例題

設(shè)|a|ε,|a-b|2ε，求證：|b|3ε。

解題思路分析：

根據(jù)解題的“結(jié)論向條件靠攏〞的原則，此題主要思考如何用a，a-b表示b，從而利用|a|及|a-b|的條件得到|b|的范圍。

∵b=a-(a-b)∴|b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|ε+2ε=3ε

注：此題還涉及到了化簡變形中的整體思想，即將a-b看作一個(gè)整體。

實(shí)際上根據(jù)|a-b|的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也可用絕對(duì)值的基本不等式對(duì)其縮小：||a|-|b||≤|a-b|，關(guān)鍵是不等式的左端是選擇|a|-|b|，還是|b|-|a|，盡管兩個(gè)不等式都成立，但由此題的消元要求，應(yīng)消去a，保存b，應(yīng)選|b|-|a|≤|a-b|。

∴|b|-|a|2ε又|a|ε

∴兩不等式同向相加得|b|3ε

已知f(x)=x-x+c，|x-a|1，a，c∈r，求證：|f(x)-f(a)|2(|a|+1)。

求證：|f(x)-f(a)|2(|a|+1)解題思路分析：

因f的對(duì)應(yīng)法則已知，故首先對(duì)不等式左邊化簡：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下來的變形向條件|x-a|1靠攏，即湊出因式x-a：

|f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1||x+a-1|下一步化簡有兩種途徑：從結(jié)論向條件湊，或從條件向結(jié)論湊。

途徑一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2(|a|+1)途徑二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1又|x-a|≥|x|-|a|∴|x|-|a|1∴|x||a|+1∴|x+a-1|≤|x|+|a|+1|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途徑二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||時(shí)，涉及到是選擇|x-a|≥|x|-|a|，還是|x-a|≥|a|-|x|，應(yīng)根據(jù)與|x|有關(guān)的不等號(hào)方向選擇。此題是要將|a|放大，應(yīng)選擇|x-a|≥|x|-|a|。

|ab||a||b|求證≤。

1|ab|1|a|1|b|解題思路分析：

思路一：三個(gè)分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)完全一致，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2

222

x，利用f(x)的單調(diào)性放縮。1xx(x≥0)1x易證f(x)在[0，+∞）上遞增令f(x)=∵0≤|a+b|≤|a|+|b|∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)

∴|ab||a||b||a||b|≤

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b||a||a||b||b|，1|a||b|1|a|1|a||b|1|b||a||b||a||b|

1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|根據(jù)結(jié)論要求，采用縮小分母增大分式的放縮技巧∵∴

∴由不等式傳遞性，原不等式成立

思路二：用|a+b|≤|a|+|b|進(jìn)行放縮。但不等式左邊分式的分子、分母均含有|a+b|，必需轉(zhuǎn)化為只有一項(xiàng)含|a+b|的分式。

∵|a+b|≤|a|+|b|11∴≥

|ab||a||b|

111|ab|111|ab|≤111|a||b||a||b|

1|a||b|下同思路一。

已知a，b，x∈r，ab≥0，x≠0，求證|ax解題思路分析：

此題考慮去絕對(duì)值符號(hào)后進(jìn)行證明。

b|≥2ab。xb思路一：不等號(hào)兩邊均為非負(fù)，原不等式(ax)2≥(2ab)2

xb2即ax22ab≥4ab

x22b2∵ax2≥2a2b22ab

x22b2∴ax2≥4ab

x2ab22b|≥0，|ax|≥0，顯然成立ab當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，由a、b0知，(ax)()0

x思路二：當(dāng)a=0，或b=0時(shí)，原不等式為|∴|axbbb||ax|||≥2|ax|||2|ab|2ab

xxx2已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）證明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于解思路分析：

（1）f(1)-f(2)+f(3)=2；問題（2）的求解想方法利用（1）的結(jié)論。

這是一個(gè)存在性的命題，因正面情形較多，難以確定有幾個(gè)，故采用反證法。

假設(shè)|f(x)|

1。2111,|f(2)|，|f(3)|22211122222則|f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|但|f(1)-2f(2)+f(3)|=2由此得到矛盾。

已知a，b∈r，|a|1，|b|1，且a≠b，求證：|解題思路分析：

此題用分析法較為便利。

1ab|1。ab1ab1ab2|1()1(1ab)2(ab)21a2b2a2b20abab(1a2)(1b2)0|∵|a|1，|b|1∴a1，b1∴1-a0，1-b0∴(1-a)(1-b)0∴原不等式成立

設(shè)x，y∈r，x+y≤1，求證：|x+2xy-y|≤2。

解題思路分析：可能有同學(xué)會(huì)這樣解：

|x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2但放縮過度，不能滿足此題要求。

根據(jù)條件“平方和〞的特征，考慮用三角換元法：令x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1則|x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222

222

222

22222222)|≤2r≤24同步練習(xí)

（一）選擇題

1、已知函數(shù)f(x)=-2x+1對(duì)任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|ε成立的一個(gè)充分但不必要條件是

c、|x1-x2|d、|x1-x2|ε242、a，b是實(shí)數(shù)，則使|a|+|b|1成立的充分不必要條件是a、|x1-x2|εb、|x1-x2|3、設(shè)a，b|a-b|

d、|a-b||a|+|b|

4、若a，b∈r，且|a+b|=|a|+|b|，則

a0a0a、b、ab0c、d、ab0

b0b011且|b|≥c、a≥1d、b-1225、已知h0，命題甲；兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足|a-b|2h；命題乙：兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿足|a-1|c、甲是乙的充要條件d、甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件

|ab|

6、不等式≤1成立的充要條件是

|a||b|a、ab≠0b、a+b≠0c、ab0d、ab0

7、設(shè)a，b∈r，則|a|1且|b|1是ab+1a+b的a、充分非必要條件b、必要非充分條件c、充要條件d、既非充分又非必要條件

8、已知函數(shù)f(x)=-2x+1，對(duì)于任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|ε成立的一個(gè)充分非必要條件是a、|x1-x2|εb、|x1-x2|

（二）填空題

9、若|x+y|=4，則xy最大值是________。

|a||b|

10、若a≠b，a≠0，b≠0，則______|a||b|（填、≥、、≤）。|b||a|

11、a，b∈r，則|a+b|-|a-b|與2|b|的大小關(guān)系是______________。

12、關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|22

c、|x1-x2|d、|x1-x2|23

3（三）解答題

2

13、已知|a+b|，|a-b|，求證|a|。

233cbcb|x1|，|x2|。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意義，且f(0)=f(1)，對(duì)于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a0，b0，c0）的兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求證：2求證：|f(x1)-f(x2)1。2a2b2|a||b|

16、求證：≥（a，b∈r）。

2217、已知a，b∈r，|a|1，|b|1，求證：|1+ab||a+b|。

18、已知|a|1，|b|1，|c|1，求證：

（1）|abc|1；

|1abc|（2）a+b+c19、求證

220、已知a，b∈r，且|a|+|b|1，求證方程x+ax+b=0的兩個(gè)根的絕對(duì)值都小于1。

21、在一條筆直的街道上住著7位小朋友，他們各家的門牌分別為3號(hào)，6號(hào)，15號(hào)，19號(hào)，20號(hào)，30號(hào)，39號(hào)，這7位小朋友準(zhǔn)備湊在一起玩游戲，問地點(diǎn)選在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定數(shù)字相連的兩個(gè)門牌號(hào)碼的房子間的距離相等）。

不等式選講求解集篇二

“登峰〞輔導(dǎo)伴你行

專題

1、不等式性質(zhì)及解不等式講義

類型

一、不等式性質(zhì)

基本知識(shí)點(diǎn)要求：能熟練應(yīng)用不等式性質(zhì).題型

1、不等式性質(zhì)考察.例1．若,滿足

2

2，則2的取值范圍是（不等式性質(zhì)）

b，則2ab的取值范圍是的范圍.（不等式性質(zhì)）練習(xí)1.若a,b滿足2a3and1b4且aa2例2．已知1a3and2b4，求ab,ab,b

練習(xí)2.已知1a3and2b4，求ab,ab,a2b的范圍.（不等式性質(zhì)）

2ab4，求2a3b的取值范圍.題型

2、不等式性質(zhì)+待定系數(shù)法以及整體構(gòu)造思想構(gòu)造題.例3．已知1ab3and

練習(xí)3.已知1xy1,1xy3，求3xy的取值范圍.練習(xí)4.已知函數(shù)f(x)ax2bx(a0)滿足1f(1)2，2f(1)5，求f(3)的取值范圍.類型

二、解不等式

基本知識(shí)點(diǎn)要求：（1）知道不等式、方程及函數(shù)之間的關(guān)系；

（2）知道不等式解與方程的根之間的關(guān)系；

（3）能用數(shù)軸標(biāo)根法求解不等式.題型

1、解不等式基本知識(shí)考察.例4．解不等式：2xx30.練習(xí)5．解不等式：xx60.例5．解不等式：22x10.x2

x23x2x10.練習(xí)7．20.練習(xí)6．解不等式：2xx2x3

總結(jié)高次不等式求解步驟：（1）最高次系數(shù)化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）數(shù)軸標(biāo)根

法寫出答案.題型

2、解含參不等式.例6．解關(guān)于x的不等式：(x2)(ax2)0.練習(xí)8.關(guān)于x的不等式axb0的解集為1,，求

練習(xí)9.解關(guān)于x的不等式：x(1a)axa0.總結(jié)：（自己填寫）

會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小——成功者的領(lǐng)地.江西省、南昌市、西湖區(qū)

聯(lián)系電話：***徐（數(shù)學(xué)老師）23axb0的解集.x2

不等式選講求解集篇三

不等式講義ⅱ

1、排序不等式：anan1a1，bnbn1b1，則：

n

n

k

n

k

a

k

1bk

a

k1

bik

a

k1

k

bnk1(其中i1,i2,,in是1,2,,n的一個(gè)排列)

212

1例1：x,y,zr,求證：○

yzx

zxy

xyz

2xyz；○

x

yz

y

zx

z

xy

x

y

z102、均值不等式：mmaxa1,a2,,an,mmina1,a2,,an，則：

a1a2an

n

m

a1a2an

n

a1a2an

n

1a

11a2

1an

m

aaax

，注：記fxn

x

1x2xn

以上不等式即：ff2f1f0f1f可猜測fx是單增函數(shù)，這就是冪均值不等式。

1例1○1；○2x,y,zr,且xyz1求：s例2：○

3x23y23z2

txy2z3的最大值。例3：求ft48t

1t

3,t0的最小值。

例4：a,br,ab1求sa

11

b的最小值。ab

22

3、柯西不等式：akbkakbk

k1k1k1

n

akk1

n

nnn

n

最重要的變形：

k1

akbk

，(bi0)當(dāng)且僅當(dāng)a1:a2::anb1:b2::bn時(shí)取等。

b

k12

k

例5：求sxyyx的最大值。

a

1例6：a1,b1，求證：○

b1

b

a1

28；○

a

a1

b

b1

8。

例7：x1,y1,求證：

例8：,為銳角，且

11x

11y

21xy

cossin

sincos

1，求證：

例9：a,b,cr,abc1，求證：

1abc

1bca

1cab

例10：a,b,c,d,e都是實(shí)數(shù)，且abcde8,a2b2c2d2e216求e的取值范圍。

nakk1

n

n

通過以上例子，我們感受到了柯西不等式的推論：

k1

akbk

十分好用，我們把它

b

k1

k

推廣。以下給出幾個(gè)引理或定理，它們的證明你可以在教程中找到。切比雪夫不等式：

1

10aaa,0bbb，則：akbk○12n12n

nk1n

1

b1，則：akbk

nk1n

n

n

1

aknk11

aknk1

n

nn

b

k1n

k

20aaa,0bb○12nnn1

n

bkk1

1x1，nn，則：1x1nx貝努力不等式：○

2x1，且x0，r1或r0，則：1x1rx○

r

3x1，且x0，0r1，則：1x1rx○

r

赫爾德不等式：ai,bir,p0,q1,1p

1q

1,則：

n

pqpq1當(dāng)p1有：○ababkkkk

k1k1k1

n

n

p

n

nn

qpq2當(dāng)0p1有：○akbkakbk

k1k1k1

n

1當(dāng)m0或m1，則：權(quán)方和不等式：xi,yir，○

k1

xk

m1m

yk

n

xkk1

n

m1

ykk1

m1

m

n

2當(dāng)1m0，則：○

k1

xk

m1m

k

y

nxkk1

n

ykk1

m

q

注：當(dāng)且僅當(dāng)x1:x2::xny1:y2::yn時(shí)取等。證明時(shí)只需令：xkakbk,ykbk

pm1,直接運(yùn)用赫爾德不等式。

nakk1bkk1

n

p

n

推論：ai,bir,p,qn,pq，則：

k1

akb

p

qk

n

1qp

q

注：證明可參考教程p311習(xí)題11

1例11：a,b,cr，且abc3，求證：○

112ab12bc12ca11132○

1ab1bc1ca2

222

例12：a,b,cr，求證：

abc

bca

cab

abc

例13：a,b,cr，求證：

aa8bc

bb8ca

cc8ab

1

例14：a,b,cr，且abc1求證：

例15：a,b,cr，求證：

abc

a1bc

b1ca

c1ab

910

bca

cab

1112abc

n

例16：已知：a1,a2,,an是兩兩互異的正整數(shù)，求證：

k1

akk

n

k1

1k

不等式選講求解集篇四

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難點(diǎn)18不等式的證明策略

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和好多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，規(guī)律思維能力以及分析問題和解決問題的能力.●難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究

［例1］證明不等式112131n2n(n∈n)

*命題意圖：此題是一道考察數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考察學(xué)生觀測能力、構(gòu)造能力以及規(guī)律分析能力，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：此題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)以下放縮錯(cuò)誤：

這樣只重視形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法：此題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.證法一：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+12131k11k112131k＜2k，則12k2k(k1)1k1k(k1)1k1

2k1,∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈n*時(shí)，都有1+

12131n＜2n.另從k到k+1時(shí)的證明還有以下證法：

2(k1)12k(k1)k2k(k1)(k1)(kk1)0,22k(k1)12(k1),k10,2k1k12k1.2k1k2k1k11k1，又如:2k12k

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2k1k12k1.證法二：對(duì)任意k∈n*，都有：

1k2k12k132kk11n2(kk1)，2)2(nn1)2n.因此122(21)2(312131n證法三：設(shè)f(n)=2n(1*

)，那么對(duì)任意k∈n都有：

f(k1)f(k)2(k11k11k1k)1k1[2(k1)2k(k1)1](k1k1k)2

0[(k1)2k(k1)k]∴f(k+1)＞f(k)因此，對(duì)任意n∈n都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，∴112131n2n.xy(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使xy≤a命題意圖：此題考察不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生規(guī)律分析能力，屬于★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)浮現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯(cuò)解分析：此題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜

2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯(cuò)誤的.其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于此題又增加了“x、y=1〞這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max；若a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基才能實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：

22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，①②∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，②中有等號(hào)成立.本資料從網(wǎng)上收集整理

比較①、②得a的最小值滿足a－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.xxyy(xxyy)22解法二：設(shè)uxy2xyxy12xyxy.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥22xy2xyxy(當(dāng)x=y時(shí)“=〞成立)，∴xy≤1，xy的最大值是1.從而可知，u的最大值為112，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化為

xy+1≤a

xy1，設(shè)xy=tanθ，θ∈(0，2).∴tanθ+1≤atan21；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+44)，4).③)的最大值為1(此時(shí)θ=由③式可知a的最小值為2.●錦囊妙計(jì)

1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必需詳細(xì)表達(dá)；假使作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考察.有些不等式，從正面證假使不易說明白，可以考慮反證法.凡是含有“至少〞“惟一〞或含有其他否定詞的命題，適合用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各

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種證法中的推理思維，并把握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、填空題

1.(★★★★★)已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且

axby=1，x+y的最小值為__________.2.(★★★★)設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是__________.3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________.二、解答題

4.(★★★★★)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1.求證：(1)a2+b2+c2≥

(2)3a23b23c2≤65.(★★★★★)已知x，y，z∈r，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6.(★★★★★)證明以下不等式：(1)若x，y，z∈r，a，b，c∈r，則(2)若x，y，z∈r，且x+y+z=xyz，則yzxzxyxyz+

+

12，證明：x，y，z∈［0，23］

bcax2caby2abcz≥2(xy+yz+zx)

2≥2（1x1y1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niaim＜miain；

(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m

338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求證：a+b≤2，ab≤1.參考答案

難點(diǎn)磁場

證法一：(分析綜合法）

欲證原式，即證4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即證4(ab)－33(ab)+8≥0，即證ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)設(shè)a=121

4222

14或，從而得證.+t1，b=12+t2.12∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

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(a(121a)(b21b)(1a1a22b1b(14t1t11)((222t1)112t122t2)11214t21412t2t21)t2)2212t1)(22(14t1t11)(14t2t21)2(54t2)t214t22

t2425161432t2t222252516.144t2顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=證法三：(比較法）

12時(shí)，等號(hào)成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214

a1b1254ab33ab8(14ab)(8ab)(a)(b)0ab4ab44ab4ab1125(a)(b)ab4證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤

14.2(1ab)125ab4252(1ab)11391621ab1(1ab)441614ab即(a1a)(b1b)254

證法五：(三角代換法）

∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，2)

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(a1a4)(b1b)(sin4221sin22)(cos21cos222)2sincos2sincos24sin2222(4sin)164sin2sin21,4sin2413.42sin2162522(4sin2)2511244sin224sin2即得(a1a)(b1b)254.22殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：令ax=cos2θ，by=sin2θ，則x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2bcot2ab2ab.答案：a+b+2ab

2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc

3.解析：把p、q看成變量，則m＜p＜n，m＜q＜n.答案：m＜p＜q＜n

二、4.(1)證法一：a2+b2+c2－===13131313=

13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0∴a2+b2+c2≥

222

證法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥abc32222

abc3證法三：∵∴a2+b2+c2≥

abc3∴a2+b2+c2≥

13證法四：設(shè)a=+α，b=

13+β，c=

13+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0∴a+b+c=（22213+α)+（2

13+β)+（2

13+γ)

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==1313+23(α+β+γ)+α+β+γ

13222+α2+β2+γ2≥13

∴a2+b2+c2≥(2)證法一:同理

3a23b32(3a2)13c323(abc)9263a212,3b2,3c23c2

3a23b2∴原不等式成立.證法二：3a23b233c2(3a2)(3b2)(3c2)3

3(abc)633

∴3a23b23c2≤33＜6∴原不等式成立.5.證法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得：

2y2－2(1－x)y+2x2－2x+

1212，得x2+y2+(1－x－y)2=

12，整理成關(guān)于y的一元二

=0，∵y∈r，故δ≥0

12∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設(shè)x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤

23，∴x∈［0，23］

］

132+x′，y=2

+y′，z=

13132

+z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′)

+x′2+y′2+z′2+222