精選點線面關系練習題(有答案)

點線面關系練習題(有答案)點線面位置關系總復習知識梳理一、直線與平面平行1.判定方法〔1〕定義法：直線與平面無公共點。〔2〕判定定理：〔3〕其他方法：2.性質定理：二、平面與平面平行1.判定方法〔1〕定義法：兩平面無公共點?！?〕判定定理：〔3〕其他方法：;2.性質定理：三、直線與平面垂直〔1〕定義：如果一條直線與一個平面內的所有直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直?！?〕判定方法用定義.判定定理:推論:〔3〕性質①②四、平面與平面垂直〔1〕定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。〔2〕判定定理〔3〕性質①性質定理②3“轉化思想〞面面平行線面平行線線平行面面垂直線面垂直線線垂直求二面角1.找出垂直于棱的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一點O，在兩半平面內分別作射線OA⊥l，OB⊥l，那么∠AOB叫做二面角的平面角例1．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE和BDC為面的二面角的度數(shù)。求線面夾角定義：斜線和它在平面內的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角〔或斜線和平面的夾角〕方法：作直線上任意一點到面的垂線，與線面交點相連，利用直角三角形有關知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。例1：在棱長都為1的正三棱錐S－ABC中，側棱SA與底面ABC所成的角是________．例2：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，①BC1與平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1與平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1與平面BC1D所成的角的大小是___________；BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是___________；BD1與平面BC1D所成的角的大小是___________；例3：空間內一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩夾角為60°，試求OA與平面BOC所成的角的大?。缶€線距離說明：求異面直線距離的方法有：(1)〔直接法〕當公垂線段能直接作出時，直接求．此時，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關鍵．(2)〔轉化法〕把線線距離轉化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行于的平面，那么與距離就是、距離．〔線面轉化法〕．也可以轉化為過平行的平面和過平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離．〔面面轉化法〕．(3)〔體積橋法〕利用線面距再轉化為錐體的高用何種公式來求．(4)〔構造函數(shù)法〕常常利用距離最短原理構造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解．兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高〔要求會計算已給出公垂線時的距離〕，這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學有余力的同學探求．例：在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離。線面平行〔包括線面距離〕例：點是正三角形所在平面外的一點，且，為上的高，、、分別是、、的中點，試判斷與平面內的位置關系，并給予證明面面平行〔包括面面距離〕例1：正方體，求證例2：在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離．面面垂直例1：直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC平面PBD。例2：直線PA垂直于O所在的平面，A為垂足，AB為O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點。求證：平面PAC平面PBC。課后作業(yè)：一、選擇題1.教室內任意放一支筆直的鉛筆，那么在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線()A.平行 B.相交C.異面 D.垂直2.假設m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，那么以下命題中的真命題是()A.假設m?β，α⊥β，那么m⊥αB.假設α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，那么α∥βC.假設m⊥β，m∥α，那么α⊥βD.假設α⊥γ，α⊥β，那么β⊥γ3.(改編題)設P是△ABC所在平面外一點，P到△ABC各頂點的距離相等，而且P到△ABC各邊的距離也相等，那么△ABC()A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形4.把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角B—AD—C，那么BD與平面ABC所成角的正切值為()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.1D.eq\f(\r(3),3)5.如圖，△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ACB所在平面，那么()A.PA＝PB>PCB.PA＝PB<PCC.PA＝PB＝PCD.PA≠PB≠PC二、填空題：6.正四棱錐S—ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在外表上運動，并且總保持PE⊥AC，那么動點P的軌跡的周長為.7.α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：.三、解答題11.如圖(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點，如圖(2)，將△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，連接BC，BD，F(xiàn)是CD的中點，P是棱BC的中點.(1)求證：AE⊥BD；(2)求證：平面PEF⊥平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC？并說明理由.12.12.如以以下圖，△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1).(1)求證：不管λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD？13.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點，EP⊥平面ABCD.(1)求證：DP⊥平面EPC；(2)問在EP上是否存在點F使平面AFD⊥平面BFC？假設存在，求出eq\f(FP,AP)的值.參考答案求二面角分析:找二面角的平面角,有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.解：在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30，在RtΔDEC中，∠DEC=90，∴∠EDC=60，∴所求的二面角為60。求線線距離解法1：〔直接法〕如圖：取的中點，連結、分別交、于、兩點，易證：，，．∴為異面直線與的公垂線段，易證：．小結：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解．但通常尋找公垂線段時，難度較大．解法2：〔轉化法〕如圖：∵平面，∴與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，那么長為所求距離，∵，，∴，∴．小結：這種解法是將線線距離轉化為線面距離．解法3：〔轉化法〕如圖：∵平面平面，∴與的距離等于平面與平面的距離．∵平面，且被平面和平面三等分；∴所求距離為．小結：這種解法是線線距離轉化為面面距離．解法4：〔構造函數(shù)法〕如圖：任取點，作于點，作于點，設，那么，，且∴．那么，故的最小值，即與的距離等于．小結：這種解法是恰當?shù)倪x擇未知量，構造一個目標函數(shù)，通過求這個函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離．解法5：〔體積橋法〕如圖：當求與的距離轉化為求與平面的距離后，設點到平面的距離為，那么．∵，∴．即與的距離等于．小結：本解法是將線線距離轉化為線面距離，再將線面距離轉化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之．這種方法在后面將要學到．線面平行例：分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結論成立，只需證明與平面內的一條直線平行．觀察圖形可以看出：連結與相交于，連結，就是適合題意的直線．怎樣證明？只需證明是的中點．證法1：連結交于點，∵是的中位線，∴．在中，是的中點，且，∴為的中點．∵是的中位線，∴．又平面，平面，∴平面．分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設直接推出．證法2：∵為的中位線，∴．∵平面，平面，∴平面．同理：平面，，∴平面平面，又∵平面，∴平面．面面平行例一：證明：∵為正方體，∴，

又平面，故

平面．同理

平面．又

，∴平面平面．例二：根據(jù)正方體的性質，易證：連結，分別交平面和平面于和因為和分別是平面的垂線和斜線，在平面內，由三垂線定理：，同理：∴平面，同理可證：平面∴平面和平面間的距離為線段長度．如以以下圖：在對角面中，為的中點，為的中點∴．∴和的距離等于兩平行平面和的距離為．面面垂直例1：