三重積分的概念與計(jì)算

作業(yè)115頁3,4,6,12,13現(xiàn)在是1頁\一共有48頁\編輯于星期二第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計(jì)算三重積分的概念與計(jì)算

第九章現(xiàn)在是2頁\一共有48頁\編輯于星期二一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用引例:

設(shè)在空間有界閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量M.密度函數(shù)為現(xiàn)在是3頁\一共有48頁\編輯于星期二定義.設(shè)存在,稱為體積元素,若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作現(xiàn)在是4頁\一共有48頁\編輯于星期二三重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式2.區(qū)域可加性4.微元法5.對(duì)稱奇偶性*6.中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,現(xiàn)在是5頁\一共有48頁\編輯于星期二二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次積分法現(xiàn)在是6頁\一共有48頁\編輯于星期二方法1.

投影法(“先一后二”)記作現(xiàn)在是7頁\一共有48頁\編輯于星期二投影法三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:適用范圍:由平面圍成的情況現(xiàn)在是8頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是9頁\一共有48頁\編輯于星期二其中為三個(gè)坐標(biāo)例.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面現(xiàn)在是10頁\一共有48頁\編輯于星期二.計(jì)算,其中由錐面及平面圍成.解：例2.現(xiàn)在是11頁\一共有48頁\編輯于星期二化為三次積分，由曲面及平面圍成.解：如圖所以曲面與xOy坐標(biāo)面交于x軸和y軸.例1.現(xiàn)在是12頁\一共有48頁\編輯于星期二方法2.截面法(“先二后一”)現(xiàn)在是13頁\一共有48頁\編輯于星期二特別適用于積分區(qū)域中一坐標(biāo)的范圍易獲得，截面范圍易表示的情況?，F(xiàn)在是14頁\一共有48頁\編輯于星期二其中為三個(gè)坐標(biāo)例3.計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面為面上軸，解:如圖，：軸和圍成的等腰直角三角形.所以注：此題可用投影法求解．現(xiàn)在是15頁\一共有48頁\編輯于星期二計(jì)算三重積分其中是上半橢球體解：則而原式例4.現(xiàn)在是16頁\一共有48頁\編輯于星期二例.計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”現(xiàn)在是17頁\一共有48頁\編輯于星期二補(bǔ)充：三重積分對(duì)稱性：現(xiàn)在是18頁\一共有48頁\編輯于星期二補(bǔ)充：三重積分對(duì)稱性：2、奇偶對(duì)稱性：現(xiàn)在是19頁\一共有48頁\編輯于星期二解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),球面關(guān)于xoy面對(duì)稱現(xiàn)在是20頁\一共有48頁\編輯于星期二解現(xiàn)在是21頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是22頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是23頁\一共有48頁\編輯于星期二1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成,現(xiàn)在是24頁\一共有48頁\編輯于星期二3.設(shè)計(jì)算提示:利用對(duì)稱性原式=奇函數(shù)現(xiàn)在是25頁\一共有48頁\編輯于星期二tobecontinue現(xiàn)在是26頁\一共有48頁\編輯于星期二作業(yè)115頁3,4,6,12,13現(xiàn)在是27頁\一共有48頁\編輯于星期二換元法三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:體積元素一一對(duì)應(yīng)雅可比行列式現(xiàn)在是28頁\一共有48頁\編輯于星期二利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:現(xiàn)在是29頁\一共有48頁\編輯于星期二圓柱面現(xiàn)在是30頁\一共有48頁\編輯于星期二平面半平面現(xiàn)在是31頁\一共有48頁\編輯于星期二現(xiàn)在是32頁\一共有48頁\編輯于星期二圓柱面半平面平面現(xiàn)在是33頁\一共有48頁\編輯于星期二在柱面坐標(biāo)下現(xiàn)在是34頁\一共有48頁\編輯于星期二若從小到大邊界到邊界則有在投影區(qū)域上做極坐標(biāo)變換現(xiàn)在是35頁\一共有48頁\編輯于星期二例.計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=現(xiàn)在是36頁\一共有48頁\編輯于星期二4.計(jì)算其中解:利用對(duì)稱性現(xiàn)在是37頁\一共有48頁\編輯于星期二利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系現(xiàn)在是38頁\一共有48頁\編輯于星期二球面半平面錐面現(xiàn)在是39頁\一共有48頁\編輯于星期二在球面坐標(biāo)系中從小到大，從邊界到邊界。體積元素為化為三次積分，現(xiàn)在是40頁\一共有48頁\編輯于星期二求的體積，解：球面方程為在球坐標(biāo)系下方程為所以例6.現(xiàn)在是41頁\一共有48頁\編輯于星期二內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;現(xiàn)在是42頁\一共有48頁\編輯于星期二xzOy圖2-3222計(jì)算，其中為雙曲面，錐面及柱面圍成．思考與練習(xí)現(xiàn)在是43頁\一共有48頁\編輯于星期二3.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對(duì)稱性用球坐標(biāo)現(xiàn)在是44頁\一共有48頁\編輯于星期二,其中由錐面平面圍成.解法：用投影法.計(jì)算現(xiàn)在是45頁\一共有48頁\編輯于星期二例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面現(xiàn)在是46頁\一共有48頁\編輯于星