數(shù)學(xué)建模 初等數(shù)學(xué)模型1

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適合數(shù)學(xué)建模初學(xué)者看

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一雨中行走問題一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不計(jì)劃再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)當(dāng)在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但假使考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力

地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。

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1建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向(風(fēng)),路程的遠(yuǎn)近，行走的速度

2模型假設(shè)及符號(hào)說明1)把人體視為長(zhǎng)方體，身高h(yuǎn)米，寬度w米，厚度d米。淋雨總量用C升來記。2)降雨大小用降雨強(qiáng)度I厘米/時(shí)來描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。

3)風(fēng)速保持不變。4)你一定常的速度v米/秒跑完全程D米。

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3模型建立與計(jì)算1)不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積S2wh2dhwd

(米2)

D雨中行走的時(shí)間t(秒)v

)降雨強(qiáng)度I(厘米/時(shí))0.01I(米/時(shí))(0.01/3600I(m/s)

Ct(I/36000.01S(米3)10(D/v)I/3600S(升))模型中D,I,S為參數(shù)，而v為變量。結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。

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若取參數(shù)D1000,I2厘米/小時(shí),米h1.50米,w0.50米,d0.20米,即S2.2米2。你在雨中行走的最大速v6米/每秒，則計(jì)算得度你在雨中行走了秒，即2分47秒。167從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041(升)。

經(jīng)細(xì)心分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。說明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問題過于簡(jiǎn)化。

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2)考慮降雨方向。若記雨滴下落速度為r(米/秒)雨滴的密度為p,p1表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間

雨滴下落的反方向

w

d

內(nèi)，由雨滴所占的

v

h

空間的比例數(shù)，也人前進(jìn)的方向稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，Irp

由于考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。

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頂部的淋雨量

C1(D/v)wd(prsin)

D/v表示在雨中行走的時(shí)間wd表示頂部面積，,rsin表示雨滴垂直下落的速度。前表面淋雨量

C2(D/v)wh[p(rcosv)]總淋雨量(基本模型)

pwDCC1C2(drsinh(rcosv))v

取參數(shù)r4m/s,I36002cm/s,p1.39106

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6.95104C(0.8sin6cos1.5v)v可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定,如何選擇v使得C最小。情形1

90

4

0.8C6.9510(1.5)v結(jié)果說明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。

假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得

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C11.3104m31.13升情形2

60

C6.95104[1.5(0.433)/v]結(jié)果說明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得

C14.7104m31.47升情形390180此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。

C6.95104[(0.8sin6cos)/v1.5]

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令90,則090。

C6.95104[(0.8sin(90)6cos(90))/v1.5]C6.95104[(0.8cos6sin)/v1.5]當(dāng)090時(shí)，C可能取負(fù)值，這是不可能的。出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從

你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種狀況要另行探討。

當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即vrsin這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是pwDh(rsinv)/v淋雨總量為CpwD[drcosh(rsinv)]/v

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當(dāng)vrsin時(shí)，C取到最小值。C再次代如數(shù)據(jù)，得

Dwdprcosrsin

C6.95104(0.8cos)/(4sin)結(jié)果說明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以30的角從背后落下，你應(yīng)當(dāng)以v4sin302m/s的速度行走，此時(shí)，淋雨總量為

C6.95104(0.83/2)/2m30.24升這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。

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當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即vrsin你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是

pwDh(vrsin)/v淋雨總量為CpwD[drcosh(vrsin)]/v

CpwDr[(dcosrsin)/vh/r]

當(dāng)dcosrsin0,v盡可能大，才可能小。C當(dāng)dcosrsin0,v盡可能小，才可能小。C

而vrsin,所以vrsin,C才可能小。

取v6m/s,30時(shí)，C6.95104(0.436)/6m30.77升。

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4結(jié)論若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的

行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。

5注意關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)大家觀測(cè)、體會(huì)并驗(yàn)證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設(shè)的重要性，模型的階段適應(yīng)性。

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二席位分派問題某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，

丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問三系各有多少個(gè)席位？1問題的提出按慣例分派席位方案，即按人數(shù)比例分派原則m表示某單位的席位數(shù)ppmq表示某單位的人數(shù)N

Nq

表示總?cè)藬?shù)表示總席位數(shù)

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20個(gè)席位的分派結(jié)果系別甲乙丙人數(shù)1006040所占比例100/20060/20040/200分派方案(50/100)20=10(30/100)20=6(20/100)20=4席位數(shù)1064

現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)甲乙丙1036334所占比例分派方案席位數(shù)10

103/200=51.5%51.5%20=10.363/200=31.5%31.5%20=6.334/200=17.0%17.0%20=3.4

64

現(xiàn)象1丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。(不公允！)

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為了在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10:10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。21個(gè)席位的分派結(jié)果

系別人數(shù)甲乙丙1036334

所占比例

分派方案

席位數(shù)1173

103/200=51.5%51.5%21=10.81563/200=31.5%31.5%21=6.61534/200=17.0%17.0%21=3.570

現(xiàn)象2總席位增加一席，丙系反而減少一席。(不公允！)慣例分派方法：按比例分派完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。

存在不公允現(xiàn)象，能否給出更公允的分派席位的方案？

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2建模分析目標(biāo)：建立公允的分派方案。反映公允分派的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。系別甲乙丙人數(shù)1006040席位數(shù)1064每席位代表的人數(shù)100/10=1060/6=1040/4=10

系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公允程度

甲乙丙

1036334

1064

103/10=10.363/6=10.534/4=8.5

中差好

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系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲乙丙10363341173103/11=9.3663/7=934/3=11.33

公允程度中好差

一般地，

單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB

當(dāng)

p1p2

n1

p1

n1n2

p1p2n1n2席位分派公允

n2

p2

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但尋常不一定相等，席