《復(fù)變函數(shù)與積分變換》§6.2 分式線性映射

§6.2分式線性映射分式線性映射一分式線性映射定義為、、、均為復(fù)常數(shù)．其中條件是為了使因此分式線性映射是保角映射．分式線性映射一在擴(kuò)充復(fù)平面上補(bǔ)充定義如下：映射為當(dāng)時(shí)映射為映射為當(dāng)時(shí)對(duì)于分式線性映射分式線性映射一容易求出該映射的逆映射由于因此分式線性映射的逆映射仍是分式線性映射,容易驗(yàn)證分式線性映射的復(fù)合仍是分式線性映射．復(fù)平面上的一一映射．且為擴(kuò)充分式線性映射的分解二當(dāng)時(shí)，可化為：記則上式可分解為以下映射的有限次復(fù)合：分式線性映射的分解二下面分別討論這四類映射：(1)設(shè)則映射化為平移公式(2)由則該映射保持的模不變，輻角旋轉(zhuǎn)．為實(shí)數(shù)分式線性映射的分解二(3)則該映射保持的方向不變，模放大倍．(4)（稱為反演變換）該映射可分解為：分式線性映射的分解二為了討論反演變換的幾何意義，下面先給出關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)的定義：設(shè)為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周．在以圓心為起點(diǎn)若有兩點(diǎn)與，則稱與關(guān)于圓周對(duì)稱．滿足的射線上，分式線性映射的分解二如圖，從作圓周的切線，由作的垂線與交于，則與關(guān)于圓周對(duì)稱．無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)為圓心．規(guī)定分式線性映射的分解二因此，若設(shè)，則，則與是關(guān)于單位圓周的對(duì)稱點(diǎn)（如圖）．又，則與是關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)（如圖）．分式線性映射的分解二這樣可得出反演變換的幾何意義．先求關(guān)于單位圓周的對(duì)稱點(diǎn)，再求關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)，即得．分式線性映射的性質(zhì)三保角性1對(duì)于映射導(dǎo)數(shù)非零，是保角的．對(duì)于反演映射，顯然在，時(shí)，導(dǎo)數(shù)非零，顯然在時(shí)是保角的．分式線性映射的性質(zhì)三下面定義兩條曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的夾角：規(guī)定其等于它們?cè)谟成湎滤吵傻耐ㄟ^(guò)原點(diǎn)的兩條像曲線的夾角．下面以為例說(shuō)明處的保角性：令則成為分式線性映射的性質(zhì)三該映射在處解析，且導(dǎo)數(shù)不為零，因此，在處，即在處是保角的．同理其它幾個(gè)映射在處也是保角的．類似地可以證明反演變換在處是保角的．綜上可得下面定理．分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的保角映射．定理6.6分式線性映射的性質(zhì)三保圓性2在擴(kuò)充復(fù)平面上直線可看作是半徑無(wú)窮大的圓周，以下提到為平移變換為旋轉(zhuǎn)變換為將模放大倍這三個(gè)映射在擴(kuò)充復(fù)平面將圓周映成圓周，該性質(zhì)稱為保圓性．圓周時(shí)均包括直線．分式線性映射的性質(zhì)三下面討論反演變換是否具有保圓性．平面上的圓方程為：令、則變形為：整理得：、時(shí)為直線分式線性映射的性質(zhì)三代入圓方程為：即：時(shí)為直線說(shuō)明反演變換將復(fù)平面上的圓周映成圓周．定理6.7分式線性映射將擴(kuò)充平面上的圓周映射成擴(kuò)充平面上的圓周．(保圓性)分式線性映射的性質(zhì)三保對(duì)稱性3引理6.1點(diǎn)與關(guān)于圓周對(duì)稱的充分必要條件是，經(jīng)過(guò)與的所有圓周都與圓周正交．（