全面典型的因式分解例題

典型例題一例01選擇題：對2mmp?np?2n運(yùn)用分組分解法分解因式，分組正確的選項(xiàng)是()(A)(2m2nnp)mp(B)(2mnp)(2nmp)(C)(2m2n)(mpnm)(D(2m2nmp)np剖析本組題目用來判斷分組是否適合.（A）的兩組之間沒有公因式能夠提取，因而（A）不正確；（B）的兩組，每一組第一次就沒有公因式可提，故（B）不正確；（D）中兩組也無公因式可提，故（D不正確?（C）中第一組可提取公因式2,剩下因式（m?n）；第二組可提取p，剩下因式（m?n），這樣組間可提公因式（m?n）C）正確?，故（典型例題二例02用分組分解法分解因式：222（1）7x-3yxy-21x；（2）1-x4xy-4y.剖析本題所給多項(xiàng)式為四項(xiàng)多項(xiàng)式，屬于分組分解法的基本題型，經(jīng)過分組后提公因式或分組后運(yùn)用公式能夠達(dá)到分解的目的?解⑴7x2_3yxy_21x2（7x2-21x）（-3yxy）（合理分組）7x（x-3）?y（x-3）（組內(nèi)提公因式）（x-3）（7x?y（）組間提公因式）1-x24xy-4y21-（x2-4xy?4y2）（注意符號）2=1-（x-2y）（組內(nèi)運(yùn)用公式）=1（x-2y）-（x-2y）丨（組間運(yùn)用公式）=（1x-2y）（1-x2y）說明分組分解法應(yīng)用較為靈活，分組時(shí)要有預(yù)示性，可根據(jù)分組后“求同”一一有公因式或可運(yùn)用公式的原則來合理分組，達(dá)到分解的目的此外在應(yīng)用分組分解法時(shí)還應(yīng)注意：①運(yùn)用分組分解法時(shí)，可靈活選擇分組方法，往常一個(gè)多項(xiàng)式分組方法不只一種，只需能達(dá)到分解法時(shí)，同歸殊途②分組時(shí)要增添帶“―”的括號時(shí)，各項(xiàng)要注意改變符號，如⑵的第一步典型例題三例03分解因式：5x3-15x?-x亠3剖析本題按字母x的降幕排列齊整，且沒有缺項(xiàng)，系數(shù)分別為5，-15，-1，3.5_15_15o系數(shù)比相等的有」1或-15，因而可分組為(5X3-X)、(_15X2?3)或-153-1332(5x-15x)、(-x3).解法一5x3-15x2-x-3=(5x3-15x2)?(-x3)(學(xué)會(huì)分組的技巧)2=5x(x-3)-(x-3)=(x-3)(5x2-1)解法二5X3-15X2-X，3=(5x3-x)(-15x23)x(5x2_1)-3(5x2_1)(5x2-1)(x-3)說明根據(jù)“對應(yīng)系數(shù)成比率”的原則合理分組，堪稱分組的一大技巧！典型例題四例04分解因式：7x2「3y-xy「21x剖析本例為四項(xiàng)多項(xiàng)式，可考慮用分組分解法來分解的規(guī)律來達(dá)到合理分組的目的?

?見前例，可用“系數(shù)成比率”2解法一7x-3yxy-21x=(7x2-21x)(-3yxy)7x(x「3)y(x「3)=(x-3)(7xy)解法二7x2-3yxy-21x2=(7xxy)(-3y-21x)=x(7xy)_3(7xy)=(x-3)(7xy)說明本例屬于靈活選擇分組方法來進(jìn)行因式分解的應(yīng)用題，對于四項(xiàng)式，并不是只需所分組的項(xiàng)數(shù)相等，便可達(dá)成因式分解?要使分解成功，需考慮到分組后可否持續(xù)分解?本小題利用“對應(yīng)系數(shù)成比率”的規(guī)律進(jìn)行巧妙分組，堪稱思維的獨(dú)到之處，這樣防止了盲目性，提高了分解的速度?典型例題五例05把下列各式分解因式：xy-xz-y22yz-z2；(2)a2_b2_c2_2bc_2a1；(3)x24xy4y2_2x-4y1.剖析此組題項(xiàng)數(shù)較多，考慮用分組法來分解?解法(1)xy-xz-y22yz-z2=(xy_xz)_(y2_2yzz2)x(y-z)-(y-z)2(y-z)(x-yz)a2-b2_c2_2bc_2a1222=(a-2a1)-(b2bcc)-(a-1)2-(bc)2=(a-1bc)(a-1-b-c)x24xy4y2—2x-4y1(x4xy4y)-(2x4y)1=(x2y)-2(x2y)1=(x2y-1)2說明對于項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式合理分組時(shí)，以“交錯(cuò)項(xiàng)”為打破口，尋找“相應(yīng)的平方項(xiàng)”進(jìn)行分組，這使分組有了一定的針對性，省時(shí)加速女口⑴中，“交錯(cuò)項(xiàng)”為2yz，相應(yīng)的平方項(xiàng)為y2、z2;⑵中，“交錯(cuò)項(xiàng)”為2bc，相應(yīng)的平方項(xiàng)為b2、c2.典型例題六例06分解因式：2a「5a6；(2)m3m「10.剖析本題兩例屬于x2(pq)xpq型的二次三項(xiàng)式，可用規(guī)律公式來加以分解.22(2)p-7pq12q.剖析對(1)，利用整體思想，將(a+b)看作一個(gè)字母，則運(yùn)用x2+(p+q)x+pq型分解；對(2)，將其看作對于p的二次三項(xiàng)式，則一次項(xiàng)系數(shù)為-7p，常數(shù)項(xiàng)為12q2，仍可用x2(pq)xpq型的二次三項(xiàng)式的規(guī)律公式達(dá)到分解的目的解(1)(ab)25(ab)4■-(ab1)(ab4)(2)12q2=(-3q)(-4q)，-3q(_4q)=-7q，p2-7pq12q2=p2_7pq12q2解(1)6=(一2)(一3)，(一2)(一3)一5，22a-5a6=a-(23)a(-2)(-3)=(a-2)(a-3)(2)-10=—25，-25=3，.m23m-10=m25(-2)m(5)(-2)=(m5)(n-2).說明抓住符號變化的規(guī)律，直接運(yùn)用規(guī)律?典型例題七例07分解因式：2(1)(ab)5(ab)4；=(P-3q)(p-4q).典型例題八例08分解因式：⑴X4_x34x-1；⑵p25pq6q2p3q；⑶a(a1)(a—1)—b(b1)(b-1);⑷a2-4b2+a+2b+4bc-c2-c.剖析本組題有較強(qiáng)的綜合性，且每題均超過三項(xiàng),因而可考慮經(jīng)過分組來分解解⑴法一：x4_x3?x-143=(x-x)(x-1)=x3(x-1)(x-1)(x3-x)(x1)，對于X3-1方33=(x-1)(x1)(x1可持續(xù)分解，方法很簡單:法近似，能夠自己探索)3=(x1)(x-1)(x-x1)法三：X4-X3X-1(x4x)(「X3-1)43=x(x1)-(x1)=(x1)(X-1)2=(x1)(x-X1)(X-1)=(x-1)(x1)(x2-x1)法二：X4-X3X-1=(x4-1)(-X3x)222=(X2-1)(X21)-x(x2-1)22=(x-1)(x1-x)⑵p25pq6q2p3q=(p25pq6q2)(p3q)(看作x2(a型式子分解)■b)xab=(p2q)(p3q)(p3q)=(p3q)(p2q1)a(a1)(a-1)-b(b1)(b-1)=a(a2_1)_b(b2-1)=a3_a-b3b33=(a_b)_(a_b)22=(a_b)(aabb)_(a_b)22(a-b)(aabb-1)222a-4ba2b4bc-c-ca2-(4b2-4bcc2)(a2b_c)a2-(2b-c)2(a2b-c)a(2b-c)〕a-(2b-c)l(a2b-c)-(a2b-c)(a-2bc)(a2b-c)-(a2b-c)(a-2bc1)說明⑴中，雖然三法均達(dá)到分解目的，但從當(dāng)前同學(xué)們知識范圍來看，方法二較好，分組既要合理又要巧妙，使分組不單達(dá)到分解目的，又能簡化分解過程，降低思維難度.⑵式雖超過四項(xiàng)，但經(jīng)過分組仍碰巧妙分解，只是分組后不是往常的提公因式或運(yùn)用公式，而是利用了x2(ab)x-ab型二次三項(xiàng)式的因式分解?將p25pq6q2看做對于p的二次三項(xiàng)式6q2=2q3q，p25qp6q2二p2(2q3q)p2q3q.⑶式表面看無法分解，既找不到公因式，又不切合公式特點(diǎn)，對待此類題目，應(yīng)采用“先破后立”的方式來解決?即先做多項(xiàng)式乘法打破原式構(gòu)造，然后尋找合適的方法⑷式項(xiàng)數(shù)多，但認(rèn)真察看，項(xiàng)與項(xiàng)之間有著內(nèi)在聯(lián)系，可經(jīng)過巧妙分組以求打破?但應(yīng)注意：①不可混雜因式分解與整式乘法的意義?如⑶小題中做乘法的目的是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法?②善于將外在形式復(fù)雜的題目看做熟悉種類，如⑵小題中p25pq-6q2.典型例題九例09分解因式：(1)x(x_1)(x一2)一6;(2)ab(x21)x(a2b2)剖析本組兩個(gè)小題既無公因式可提又不切合公式特點(diǎn)，原題本身給出的分組形式無法持續(xù)進(jìn)行，達(dá)到分解的目的，對此種類題，可采用先去括號，再從頭分組來進(jìn)行因式分解?解⑴x(x_1)(x_2)-62=x(x-3x2)-6=x'-3x2，2x-6(乘法運(yùn)算，去括號)=(x3-3x2)(2x-6)(從頭分組)=x2(x-3)2(x-3)2=(x-3)(x2)⑵ab(x21)x(a2b2)=abx2ab■2xab2x(乘法運(yùn)算去括號)=(abx2a2x)(abb2x)(從頭分組)=ax(bxa)b(bxa)=(axb)(abx)說明“先破后立，不破不立”.思維的獨(dú)創(chuàng)性使表面看來無法分解的多項(xiàng)式找到最正確的分解方式?典型例題十例10分解因式a3-7a6剖析因式分解一般思路是：“一提、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式(十字相乘法)?”即：首先考慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否能夠分組分解；對形如二次三項(xiàng)式或準(zhǔn)二次三項(xiàng)式能夠考慮用“規(guī)律式”(或十字相乘法)分解?按照這樣的思路，本題首應(yīng)考慮用分組分解來嘗試解a3~7a6=a3「7a-173=(a-1)-(7a-7)=(a—1)(a5a1)—7(a-1)=(a-1)(a2a1—7)2=(a-1)(aa-6)-(a-1)(a-2)(a3)說明當(dāng)a=1時(shí)，多項(xiàng)式a6-7a6值為o，因而(a-1)是a3_7a6的一個(gè)因式,因此，可從“湊因子”(a-1)的角度考慮，把6拆成-1?7，使分組可行，分解成功?運(yùn)用“湊因子”的技巧還可得出以下分解方法法二：a3-7a65=(a_2)(a2a-3)=(a-2)(a-1)(a3)法四：a3-7a663二a-7a27-21(與a湊立方項(xiàng))—a-a-6a'6=(a3_a)_(6a_6)a(a2-1)_6(a_1)-a(a-1)(a1)-6(a-1)=(a-1)(a2a-6)=(a-1)(a-2)(a3)法三：a3-7a6=a3-7a-8143=(a-8)-(7a-14)(湊立方項(xiàng))=(a_2)(a22a4)_7(a_2)2=(a-2)(a2a4-7)=(a327)_(7a21)=(a3)(a2-3a9)-7(a3)(套用a3-b3公式)2=(a3)(a-3a9-7)2二(a3)(a—3a2)-(a3)(a-1)(a-2)法五：a3-7a63=a-4a-3a6(拆7a項(xiàng))3=(a-4a)-(3a-6)a(a2_4)_3(a_2)a(a2)(a_2)_3(a_2)=(a_2)(a22a-3)(a-2)(a-1)(a3)法六：a3_7a亠6=a3-9a2a6(湊平方差公式變-7a項(xiàng))3=(a-9a)(2a6)=a(a2-9)2(a3)a(a3)(a-3)2(a3)2=(a3)(a-3a2)=(a3)(a-1)(a-2)法七：令a=x1則(a-1為多項(xiàng)式一個(gè)因式，做變換x二a?1)a3-7a6=(x1)3-7(x1)6-x33x23x^7^76(做乘法展開)x33x2「4x2=x(x3x-4)=x(x-1)(x4)=(x-11)(x1-2)(x13)=(a-1)(a-2)(a3)(復(fù)原回a)說明以上七種方法中，前六種運(yùn)用了因式分解的一種常用技巧一一“拆項(xiàng)”(或添)項(xiàng)，這種技巧以基本方法為線索，經(jīng)過湊因式、湊公式等形式達(dá)到可分組既而能分解的目的?“湊”時(shí)，需思、需悟、觸發(fā)靈感?第七種運(yùn)用了變換的方法，經(jīng)過換元尋找打破點(diǎn)本題還能夠如下變形：a3—7a6=(a3-a7)(a2-7a6)=a2(a-1)(a-1)(a-6)=典型例題十一例11若4x2kx-25是完全平方式，求k的值?2222剖析原式為完全平方式，由4x=(2x),25=5即知為(2x_5)，展開即得k值?解4x2kx-25是完全平方式2-應(yīng)為(2x-5)又(2x_5)2=4x2_20x25,故k=20.說明完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定k值時(shí)不要遺漏各樣情況?本題222為因式分解的逆向思維類，運(yùn)用a-2abb=(a二b)來求解?典型例題十二例11把下列各式分解因式：(1)x28x16；(2)a4「14a2b349b69(2a-b)2-6(2a-b)1解：(1)由于16能夠看作42，于是有222x8x16=x2x44/23、2=(a-7b);(3)由積的乘方公式，9(2a-b)2能夠看作[3(2a-b)]2，于是有7=(x4);(2)由幕的乘方公式，a4能夠看作(a2)2,49b6能夠看作(7b3)2，于是有a4-14a2b349b6=(a2)2-2a27b3(7b3)229(2a-b)-6(2a-b)1[3(2a—b)]2一23(2a—b)112珂3(2a-b)-1]=(6a-3b-1)2說明(1)多項(xiàng)式擁有如下特點(diǎn)時(shí)，能夠運(yùn)用完全平方公式作因式分解：①能夠當(dāng)作是對于某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式；②其中有兩項(xiàng)能夠分別看作是兩數(shù)的平方形式，且符號相同；③其余的一項(xiàng)恰是這兩數(shù)乘積的2倍，或這兩數(shù)乘積2倍的相反數(shù).而結(jié)果是“和”的平方仍是“差”的平方，取決于它的符號與平方項(xiàng)前的符號是否相同(2)在運(yùn)用完全平方公式的過程中，再次體現(xiàn)換元思想的應(yīng)用，可見換元思想是重要而且常用思想方法，要真實(shí)理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用?典型例題十三例12求證：對于隨意自然數(shù)n,3「2-2「3，3n-2n1一定是10的倍數(shù).剖析欲證是10的倍數(shù)，看原式可否化成含10的因式的積的形式.證明3n2_2n33n_2n1=(3n2?3n)-(2「3-2nd)=3n(321)-2n(232)=3n10-2n10nn、=10(3-2)10(3n-2n)是10的倍數(shù)，.3n2-2n3，3n-2n1一定是10的倍數(shù).典型例題十四例13因式分解(1)a2xa2yb2xb2y；(2)mxmx2-n-nx解：(1)a2xa2yb2xb2y=(a2xa2b)(b2xb2y)a(xy)b(xy)=(xy)(a8b2)22222222axaybxby=(axbx)(ayby)x(a2b2)y(a2b2)=(a2b2)(xy)；(2)mxmx2-n-nx=(mxmx2)-(nnx)mx(1x)「n(1x)(1x)(mx-n)或mxmx2-n-nx=(mx2-nx)(nx-n)=x(mx-n)(mx-n)=(mx-n)(x1)說明：(1)把有公因式的各項(xiàng)歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新的公因式，這是正確分組的重點(diǎn)所在。因此，分組分解因式要有預(yù)示性；(2)分組的方法不唯一，而合理的選擇分組方案，會(huì)使分解過程簡單；(3)分組時(shí)要用到添括號法例，注意在增添帶有負(fù)號的括號時(shí)，括號內(nèi)每項(xiàng)的符號都要改變；(4)實(shí)際上，分組只是為實(shí)際分解創(chuàng)建了條件，并沒有直接達(dá)到分解典型例題十五例14把下列各式分解因式：2ax-axax-a解：(1)a2-4b2-a-2b=(a2-4b2)-(a2b)(a2b)(a-2b)-(a2b)=(a2b)(a-2b-1)x2-a22ab-b2=x2-(a2-2abb2)=x2_(a-b)232222(1)a-4b-a-2b；(2)x-a2ab-b；工[X(a_b)][x_(a_b)]=(xa「b)(x「ab)(3)ax3-ax2ax-a=a(x3-x2x-1)=a[(x3—x2)(x—1)]a[x2(x—1)(x1)]=a(x-1)(x21)或ax3-