注冊結(jié)構(gòu)專業(yè)基礎(chǔ)積分學(xué)講義

第三節(jié)積分學(xué)一、不定積分與定積分（一）不定積分、定積分的概念與性質(zhì)1．不定積分的概念與性質(zhì)若在區(qū)間I內(nèi)，F(xiàn)'(x）=f(x)，則稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的原函數(shù)，而函數(shù)f(x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)F(x)+C稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，記作∫f(x)dx，即不定積分具有如下性質(zhì)：2．定積分的概念與性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x）在[a，b]上有界，將[a,b]任意劃分成，n個小區(qū)間總存在（即極限不依賴于對[a,b]的分法與的取法），則稱函數(shù)f(x）在［a，b］上可積，并稱上述極限為，f（x）在[a,b]上的定積分，記作,即對定積分還有兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定：在［a，b］f（x）≥0時，定積分在幾何上表示由曲線y=f（x）、兩條直線x=a、x=b與二軸所圍成的曲邊梯形的面積。定積分具有如下性質(zhì)：夜（二）積分澇法民藏1械飾．基本積分表浴2晌怪．換元積分法帝對不定積分，疏有壞第一類換元法超：賭第二類換元法癥：岔其中挎是些的反函數(shù)，且江。對定積分，有其中。壤當(dāng)被積函數(shù)含怒有馬時，可采用第鬼二類換元法，冶依次令句，可消去被積葡函數(shù)中的根號慣。起3吧限．分部積分法黃分部積分法適償用于被積函數(shù)催是兩類不同函蘭數(shù)的乘積的情捷形。選釋取瞧u車毯和譜v眾的一般原則是鈔：堅(jiān)4影態(tài)．微積分基本牙公式白若尤f(x悔基）在毒［獨(dú)a,b仍躬］溝踩上連續(xù)，鉆則炊是就f(x虜咐）在史［到a,b贏躲］上的一個原榴函站數(shù)育,印即販由此可得微積集分基本公式：朝若在閑［嘩a,b勿隊(duì)］戒鋪上鵝有禽F'(狡x仆運(yùn)）糠=等f艷（受x)槍剝，則（三）例題灌【例池1-3-7仁】居腹慢求妖［解］務(wù)設(shè)窩u=a球rctanx鎖掩，娃dv=x憐dx恩蹈、則增，臥利用分部積分餡公式，得岔【匆例項(xiàng)扭1-3-8仆】盼渴念已回知膠f凳’鼻(x)=調(diào)sec徐2冠x+sin睛2x駁,云且此f(0)并=且,乎再則典f(x)鼠半等抓于令壯(槽A)ta均nx+co剃s2x+蠢朽示(大B)ta憤nx絕–宇cos2x+鍬(奸C)ta誤nx需–乎cos2x撇+2廣(鮮D)ta鑒nx+減cos2x桑+1銷由敵f(0燈)=橡,猴少得需-案+C=勸,C=液2伶嗽．故選橫（撫C章置）。見【表絲解逗巖】額鄰設(shè)跪cosx早=t雨期，集則膜dt亂三＝川-sinxd量x寺圣，且畫當(dāng)花x=0躍說時幼，角t=泛1耐時；心當(dāng)偏x=罪蜘時湖，勸t=0昆.檢鳴于是集【解未】滋峽鋒設(shè)拒u=a孕rcsinx慧,dv哄=dx器棟，痰則矩du=勤,v=踩x決雷。代入分部積將分公式，得庸【惡例尺曠1-3-11姐】計(jì)挎算呼喊.遺【禮瘡解滴自】精哄設(shè)銅＝展t,杠霸則掠x=籮,dx=便td雁t強(qiáng)，躬且生當(dāng)慮x=0踩拆時援，詞t=l百棕；甘當(dāng)遮x=4花曾時，奔t=3.暴于是老二、反常積佩分圾雁倉（一）兩類反稼常積分的定寧義拳印1憲愁．無窮限的反撒常積分若極限飲存在，則稱此驗(yàn)極限蔽為脂f(x帖才）在惹「賭a具花，＋濱啞〕剖崗上的反常積分況，記作罩f(x)dx溜,溜夕即醬這時，稱反常劑積分極f攪（嘴x兔）碼dx鼠賀收斂；若上述嫌極限不存在，愉則稱反常積分土f歇（傲x雄）稅dx瑞艦不存在或發(fā)散布。睜類似地定義反爪常積分透當(dāng)且僅當(dāng)反常踏積分煌都收斂時，定假義反常積分立2輸拐．無界函數(shù)的井反常積分歐若匪f(x黑吩）在沫（示a民付，份b是）上連續(xù)，而戰(zhàn)在缺點(diǎn)坐a跨該的右鄰域內(nèi)無黨界，極限倡存在，則稱此捷極限骨為連f濱（大x段堤）在暮（機(jī)a個幼，埋b戀）上的反常積井分，記作杜f權(quán)（蘇x賠）治dx及臥，即分這時，稱反常網(wǎng)積分胡f離（善x沙）當(dāng)dx秤鬼收蠅斂庸·捕若碼f(x爭切）磚在叔午【槳a,b鼓宇）上連續(xù)，而臨在睡點(diǎn)正b纏勺的左鄰域內(nèi)無勇界，類似地定貨義反常積分（二）例題1.計(jì)算于是2.凍【假扇解叮耗】輪鬧因?yàn)榍扑运蠓e分倡屬無界函數(shù)的改反常積分。按矩定義母3.攀設(shè)下列反常積分撐中收斂的是演易知其他三個逗積分發(fā)散，故隱選易（謀C躺顏）。三、重積分煮（一）重積分匹的概念與性質(zhì)票1瞧闊．二重積分的譯概念與性質(zhì)需設(shè)唐f宵（助x哪崗，堪y衫）在平面有界廊閉區(qū)溉域圈D顏配上有界，將閉它區(qū)來域作D凳慰任意劃分恭成長n捉個小閉區(qū)域：歐任取點(diǎn)（會i憶，溝，）葡(i=旨l,2爺云，施仇…嚼質(zhì)，丸n禍）。記小區(qū)域辣的直徑才為子d什i你，釀＝蓮max{章d慌1棍,d賞2擔(dān)厘，澡…核，傍d應(yīng)n俗念｝。若極限纏總存在，則稱舅此極限為函脫數(shù)連f鴉壞（盾x俘，舌y包跨）在有界閉區(qū)閉域遇D硬葛上的二重積分應(yīng)，記成易f(x,剛y層)覺d忙,敬即礙當(dāng)剪f(x銜,y)猛喘0,(兔x,y談豬）敘D室懷時，二重積分稀f(x,絡(luò)y識)辰d俊在幾何上表示巾以曲面懇Z督=f(x錄,會y箏）為頂、閉區(qū)惡域報(bào)D雕浮為底的曲頂柱粉體的體積。蠶二重積分具有剝?nèi)缦滦再|(zhì)：其中且無內(nèi)點(diǎn)牛其決中睛σ要為撓D傲舒的面積靜(5石較）若哨在削D植揪上旺，崖f(馳x榮，宏y)足鉤≤點(diǎn)g(x,遇y搞)書，則愈(7溜哀）銅設(shè)僵M岸憂、凝m看，分別州是緣f勺理（教x屋，裹y裹）嚴(yán)在慕D掏默上的最大、最倡小值至，萄照σ古是職D限推的面積，則訓(xùn)(8招達(dá)）眼設(shè)話f躲漁（套x敞，冊y抗）在閉區(qū)屈域朝D膨舉上連續(xù)鉆，狂σ雹是擇D寧激的面積，則存鷹在點(diǎn)非（禍ξ興,除η垂）坑∈均D甩，使得館2步色．三重積分的仰概念與性質(zhì)螞設(shè)胃f(x頌,y阿紫，堵z斥）在空間有界遮閉區(qū)霜域釋Ω推上有界，與二距重積分的定義倦類似地鵲有淘f歷（控x枝，噴y,z添爬）楚在營Ω牽上的三重積分罩的定義，即執(zhí)若須f故籍（跌x巨，露y,z耕討）表示某物體綠在陜點(diǎn)捷f(x鄭,y,圣z絮貞）處的密度飽，成Ω失表示該物體占鮮有的空間閉區(qū)奧域，則三重積簡分元就表示該物體倒的質(zhì)炭量有M.給三重積分具有由與二重積分類桿似的性質(zhì)。赤（二）重積分愉的計(jì)算熱法賽喘1紋莊．二重積分的體計(jì)算呀法采咳(1喜傅）利用直角坐扶標(biāo)鏡在直角坐標(biāo)下宮，二重積分也環(huán)表成鈔若積分區(qū)杯域某D胃末（陽圖歷釘1-3-潑1灑督）可表成陳則二重積分可堡化成先陰對逆y隙后逗對綿x瘡的二次積分，自即或記成低若積分區(qū)米域賢D妙茶（串圖屆竹1-3-2痕膠）可表成爬則二重積分可誓化成先忍對屑x盛、后針對爛y摔授的二次積分，青即多我們稱微圖脈燥1-3-1吼賭所示的區(qū)域鄉(xiāng)為池x究-圈型區(qū)域，醬圖壺1-3-2萬糟所示的區(qū)域的為達(dá)Y奮-勵型區(qū)域。如果保積分區(qū)域既燦是呈X慰-躬型的，也氣是掌Y亡-擱型的，則二重截積分可表成兩端個不同次序的斷二次積分，于揉是有掛(2泛坑）利用極坐標(biāo)腥直角坐標(biāo)和極剃坐標(biāo)的關(guān)系是呆積分的變換公蛛式是匹若積分區(qū)馬域壩D餡余（圖害1-3-3豆?jié)常┛杀沓社妱t二重積分可林化成先改對掀ρ拘、后糾對燈θ能的二次積分，汗即維2劈騰．三重積分的滲計(jì)算某法幻籍(王量1康剃）利用直角坐鑄標(biāo)（三）例題班1備．計(jì)算鋪，其恐中倚D驟是由拋物線全，北y澡2途=酸x插及直杰線在y=x槍-2標(biāo)略所圍成的閉區(qū)以域。獲【使電解禁宜】澆態(tài)兩曲線的交點(diǎn)軍是辜（猛潛1場，互-1蠢肅）、躁（商4,2搞映）。積分區(qū)捷域尚D勾赴（皆圖橡瞞1-3-4弊適）可表成從而選2墨．計(jì)算殺,浸其藏中腰D幻社是涌x落弟軸門、堅(jiān)y記介軸和拋物市線際y=1企–夾x霸2燈所圍成的在第腎一象限內(nèi)的閉溜區(qū)域。量【迷穩(wěn)解換楚】拋物凳線怖y=1敏–犯x顛2尚與兩x著澤軸復(fù)、第y脫子軸的交點(diǎn)依次辮為漠（絲1童，黨0攤）及憂（抬0蕩，盼1古），積分區(qū)肺域仗D濃服（團(tuán)圖憑積1-3-5平特）可表成從而津3乒．牢弄計(jì)算上，其擇中招D筒慧是由中心在原搖點(diǎn)、半徑馬為胞α甜的圓周所圍成偉的閉區(qū)域。沒【絲并解網(wǎng)柳】僻母在極坐標(biāo)系中固，閉區(qū)矮域星D薪肝可表成于是獨(dú)4隊(duì)．交換積分次尚序，二次積分化為膏［解」由所給移的二次積分，皆可得積分區(qū)域瓦更換積分次序左，得鄙故選躁（雖B州躺）。湖5泡．計(jì)算三重積蠶分營，其脹中融Ω尖為三個坐標(biāo)面交及平面譜x+描2團(tuán)y+z克=詠1叫掩所圍成的閉區(qū)擱域。禍【礎(chǔ)匪解粱抱】繪爽積分區(qū)域而于是演【解俗】岔Ω鼻1妄是上半附球甩Ω喬2航佛是戲Ω諸1圖的井，位于第一卦甲限內(nèi)惱。歌Ω各1頃關(guān)封于午yO蜘z犯面蜂和毒zOx根凡面都對稱，所蝦以只要被積函牲數(shù)兄對撿x擴(kuò)拋及飲y牢禁都是偶函數(shù)，牌就有沃上述四個選項(xiàng)病中，只有晌當(dāng)暴f(x融,y,z)糕=z堆碧時，上述關(guān)系嘩才成立，故應(yīng)引選峰（焦C威睡）。墳本題也可以采砍取如下解法。獅由沫于晚Ω受1柜關(guān)樹于縱yO蠅z賀面對稱，而被嘉積函數(shù)關(guān)腸于葵x畝愧是奇函數(shù)，故誠有但央因此逢（雹A辮諸）不正確。同男理菊，肺(B喪危）和尺（幕D載潔）也不正確。雕故應(yīng)選行（藏C黨鉛）。付四、平面曲線堪積分格林公式殿（一）平面曲箭線積分的概念調(diào)與性您質(zhì)鐮送1蟲曬．對弧長的曲啟線積分的概念糧與性質(zhì)蟲設(shè)惜L枝窄為平面內(nèi)一條粱光滑曲線弧蘇，稍f羅兼（境x伯，飯y席）厲在紀(jì)L抹置上有界，債將肅L唐臭任意劃分寇成鴉n眨個小段，兼第通i賴姜個小段的長度豪為鉛，（投,辨）為登第蘿i骨吉小段上任一點(diǎn)涂，土＝壟max研,換邀若極限板總存在，則稱擴(kuò)此極限猛為片f熄（味x斯，理y共）烘在投L片玻上對弧長的曲商線積分或第一出類曲線積分，摟記作司遭,享即頌若曲線形構(gòu)定件比L揭晉在點(diǎn)超（謙x,y紛船）處的線密度芬為錢（偶x死，瞧y)握槳，則曲線積分笨(x,捕y)ds篇驅(qū)就表示此構(gòu)件偶的質(zhì)捐量斗M怕榴，即恒當(dāng)朵L字照為閉曲線時，千曲線積分記為愚f(x杏,y)ds存.毫第一類曲線積濕分具有如下性魔質(zhì)：歲2耐狗對坐標(biāo)的曲線奇積分的概念與或性質(zhì)魚設(shè)銹L刻為平面內(nèi)從輔點(diǎn)叔A控吳到?jīng)Q點(diǎn)弟B要窄的一條有向光鑼滑曲線弧眼，刪P吐（摩x劈艙，分y怖）傾、爬Q(x需征，躲y暗)鼠在劃L挪哨上有界，拾將窩L給任意分付成滅n校趟個有向小弧段效(斧同I屠=1,2,暢…催,n;M猛0批=A,M芝n合=B),稿糠=x宰i拼–油x盤i-1,殺勝=y稀i游–連啟y龍i-1.緣任?。ㄖ?屢）德，記鍵=max鐵,予若極限銷總存在，則稱勇此極限燥為奴P辨（湯x美，好y煤）在有向曲線坐弧抹L鞠齊上對坐描標(biāo)貧x帽城的曲線積分，糕記作剝P(x,y隆)包ds廁,粘即撤類似地定總義糖Q匙魄（桑x速，制y詢巨）在有向曲線烈弧樣L濫上趙對董y煙的曲線積蠻分涼沸。防Q(x,補(bǔ)y慣)地dy賓,向即枝對坐標(biāo)的曲線腎積分也稱為第長二類曲線積分贈。啊P(x,嚇y)dx嚴(yán)+祖Q(x,句y歉)恰d問y瘡?fù)ǔ懗善軵(x,y攤)dx+勾Q(x,y插)d暗y瞞。監(jiān)若某質(zhì)點(diǎn)沿有排向曲線磚弧蜂L鑼卷移動，受變婆力繞F=(乒P(x,膏y),Q(透x,y)籍)饞作用，則變力舉作的功為拉對坐標(biāo)的曲線雨積分具有如下鋪性質(zhì)：貼其倆中澇L呢-但表示何與醋L薯栗反向的有向曲涼線弧。叔其躲中堂a鞠坑、講為常數(shù)。格林公式氧定見理遼臂劉設(shè)閉區(qū)襯域送D稈屑由分段光滑的幫曲德線癥L頑辛圍成，函乳數(shù)采P繭（茅x庫賠，孟y聰）寶及顯Q宴（忌x糾醋，訴y煎)慨在作D踢考上具有一階連贏續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則瓶有蝶其貞中三L陪營是賭D未脹的取正向的邊堆界曲線。喪上述公式稱格往林公式。這一岸公式揭示了閉展區(qū)擴(kuò)域雪D降貌上的二重積分塊與沿閉區(qū)炒域訴D擔(dān)架的正向邊界曲躍線傭L潮毒上的曲線積分乖之間的聯(lián)系，野利用這一聯(lián)系衫使得兩種積分塔的計(jì)算可以相恒互轉(zhuǎn)化申。慶輔（四）例題防【常堡例友溫1-3-趙22哲深】覽閘計(jì)算半徑博為扔R芒粱、中心角聯(lián)為早娃2a程鏟的圓訓(xùn)弧啊L而味對于它的對稱惑軸的轉(zhuǎn)動慣漆量特I劃乳（線密唱度隱μ澆＝址1房淋）。型【解喚】折幼取圓弧的圓心環(huán)為原點(diǎn)，對稱辮軸擔(dān)為抱x代公軸，并使圓弧狡位爸于撐y栽軸的右側(cè)（嗓圖何1捧惰一選36)虧元，則壓掙輪筍鵝L僻沉的參數(shù)方程為于是沿【繩務(wù)例鴨境1-3-瘋23南禿】計(jì)算隸y彼2虜d兵x控，其決中茅L滿是半徑毀為暗a蹄抗、圓心為原點(diǎn)討、按逆時針方獲向繞行的上半熄圓周（浩圖慰1-3-疊7葬票）。睛【甘社解狐】野L今涂是參數(shù)方程為擾當(dāng)參數(shù)混從丟0廟突變到昨的曲線弧。因眾此．呆事超野五、積分的應(yīng)苗用貫（一）定積分汁的應(yīng)用宮1墻朝．幾何應(yīng)興用宰名（院1和爆）平面圖形的兵面助積姥妥1多榮）直角坐標(biāo)情危形糕設(shè)平面圖形由謝曲危線品y=f境翁（將x謎嘩）管、墓y=g鞭（蹄x)悄享（妥f調(diào)（劉x)掘爪≥繼g卻（蹤x)符技）和直夕線厚x=a普唇、咳x=b資所圍成（跟圖清騎1-3-厲8逐)頸捉，則其面積眨2繭刷）極坐標(biāo)情形湊設(shè)平面圖形由務(wù)曲滋線玩游＝士（賣抹)磚及射線防＝亭a伏、立＝披所圍成（旦圖賀狹1-3-9概)教脾，則其面積它（圍2皮客）體積疊l它用）旋轉(zhuǎn)體的體燦積隆設(shè)旋轉(zhuǎn)體由曲持線患y=f鮮售（拘x銷統(tǒng)）與直疊線嬸x=a餡系、診x=b侄砍及掏x本網(wǎng)軸所圍成的平濕面圖形左繞上x觸軸旋轉(zhuǎn)一周而踐成（半圖肢覺1-3-1陡0女)庭迷，則其體積挽（詳3蹄威）平面曲線的把弧長蠟l煩儉）直角坐標(biāo)情資形忠設(shè)曲線的方程變?yōu)闂漼=f循芬（拒x)踢（候a吸x佩b),懲f贏（麻x森參）哄在恭[a坐斑，驅(qū)b慧]約上具有一階連來續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其豪弧長蓬2敵棋）參數(shù)方程情存形泡設(shè)曲線的參數(shù)年方程前為稍x疏疏＝星（閃t),建y汽培＝蹤（猶t)曬競（醫(yī)a藝t涌）這,棟貞（計(jì)t化亂）、僻（姻t選奮）僑在彩[a,膛爪]竿上具有連續(xù)導(dǎo)毫數(shù)，則其弧長膚3磨隙）極坐標(biāo)情形忠設(shè)曲線的極坐惱標(biāo)方程為要＝伯（慰）扁訊（常a召），三（理朵?。┰谘蹱Ca較籌，映］上具有連續(xù)秩導(dǎo)數(shù)，則其弧巾長焦s=鑒（刪2附繼）水壓力映設(shè)有平面薄板刷，鉛直放置水員中，取薄板所圣在平面與水平霞面的交線尿?yàn)槔^y笨殺軸徐，女x富數(shù)軸鉛直向下（蟻圖補(bǔ)烘1-3-1愈2猜)朱累，設(shè)薄板的形粉狀為光則薄板一側(cè)所麻受的水壓力為畫其匙中邪支垮為水的密度脹，因g關(guān)壁為重力加速度虛。還（二）二重積罷分的應(yīng)用融1盾舅．曲面的面積敞設(shè)曲面趴的方程艷為悶z=f責(zé)輔（輸x升碧，俗y懸)婆，茫在珠xO聚y底面上的投影區(qū)緣域訂為統(tǒng)D,f偵殲（椅x祝，喘y顆）儀在榆D搶聞上具有一階連貪續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則美曲面忘的面積升2欲溫．平面薄片的門質(zhì)量、重心及喊轉(zhuǎn)動慣量辰設(shè)平面薄片占癥有散xO仰y軟面上的區(qū)咬域畏D藝挨，薄片報(bào)在勻D者攔上任一形點(diǎn)怎P烤（恐x,y浩她）處的面密度罷為哭μ受（予x,y造)辛餅，則薄片的質(zhì)震量為翼薄片重心的坐節(jié)標(biāo)為培薄片關(guān)褲于判x放挑軸程、茂y貓鳴軸的轉(zhuǎn)動慣量擋為（三）例題嬸【透濁例曲弦1-3-灣25式似】覽艷雪計(jì)算由兩條拋禿物線殖：淡y嘗2回=x