奧數(shù)-排列組合講義-第二講

排列與組合經(jīng)典精講1.排列的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.組合的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.3.排列數(shù)公式:組合數(shù)公式:5.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)規(guī)定：排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問(wèn)題,與順序無(wú)關(guān)的為組合問(wèn)題.從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個(gè)一位數(shù)的乘法題，問(wèn)：①有多少個(gè)不同的乘積？②有多少個(gè)不同的乘法算式？解：①要考慮有多少個(gè)不同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個(gè)乘積，因?yàn)槌朔ǖ慕粨Q率，有多少個(gè)乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順序無(wú)關(guān)，所以這是一個(gè)組合問(wèn)題.由組合數(shù)公式得到，共有個(gè)不同的乘積.②要考慮有多少個(gè)不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問(wèn)題.由排列數(shù)公式，共有P25＝5×4＝20種不同的乘法算式.點(diǎn)評(píng)：看準(zhǔn)是排列還是組合，剩下的就是簡(jiǎn)單計(jì)算了。如下圖，問(wèn)：①下左圖中，共有多少條線段？②下右圖中，共有多少個(gè)角？解：①在線段AB上共有7個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)A、B）.注意到，只要在這七個(gè)點(diǎn)中選出兩個(gè)點(diǎn)，就有一條以這兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，而與選這兩個(gè)端點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，所以，這是一個(gè)組合問(wèn)題由組合數(shù)公式知，共有條不同的線段；②從O點(diǎn)出發(fā)的射線一共有11條，它們是OA，OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每?jī)蓷l射線可以形成一個(gè)角，所以，只要看從11條射線中取兩條射線有多少種取法，就有多少個(gè)角.顯然，是組合問(wèn)題，共有C211種不同的取法，所以，可組成C211個(gè)角.由組合數(shù)公式知，共有點(diǎn)評(píng)：在幾何計(jì)數(shù)當(dāng)中也用到了很多排列組合的方法。此題可拓展常用的數(shù)線段，數(shù)三角形，數(shù)正方形、數(shù)長(zhǎng)方形的公式和方法國(guó)家舉行足球賽，共15個(gè)隊(duì)參加.比賽時(shí)，先分成兩個(gè)組，第一組8個(gè)隊(duì)，第二組7個(gè)隊(duì).各組都進(jìn)行單循環(huán)賽（即每個(gè)隊(duì)要同本組的其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)）.然后再由各組的前兩名共4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，決出冠亞軍.問(wèn)：①共需比賽多少場(chǎng)？②如果實(shí)行主客場(chǎng)制（即A、B兩個(gè)隊(duì)比賽時(shí)，既要在A隊(duì)所在的城市比賽一場(chǎng)，也要在B隊(duì)所在的城市比賽一場(chǎng)），共需比賽多少場(chǎng)？解：①實(shí)行單循環(huán)賽，比賽的所有場(chǎng)次包括三類：第一組中比賽的場(chǎng)次，第二組中比賽的場(chǎng)次，決賽時(shí)比賽的場(chǎng)次.總的場(chǎng)次計(jì)算要用加法原理。第一組中8個(gè)隊(duì)，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，8個(gè)隊(duì)里邊選2兩個(gè)隊(duì)，是組合問(wèn)題，所以共比賽C28場(chǎng)；第二組中7個(gè)隊(duì)，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，所以共比賽C27場(chǎng)；決賽中4個(gè)隊(duì)，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，所以共比賽C24場(chǎng).實(shí)行單循環(huán)賽共比賽②由于是實(shí)行主客場(chǎng)制，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間要比賽兩場(chǎng)，比賽場(chǎng)次是①中的2倍.另外，還可以用排列的知識(shí)來(lái)解決.由于主客場(chǎng)制不僅與參賽的隊(duì)有關(guān)，而且與比賽所在的城市（即與順序）有關(guān).所以，第一組共比賽P28場(chǎng)，第二組共比賽P27場(chǎng)，決賽時(shí)共比賽P24場(chǎng).實(shí)行主客場(chǎng)制，共需比賽2×（C28＋C27＋C24）＝110（場(chǎng)）.或解為：P28＋P27＋P24＝8×7＋7×6＋4×3＝56＋42＋12＝110（場(chǎng)）.某班要在42名同學(xué)中選出3名同學(xué)去參加夏令營(yíng)，問(wèn)共有多少種選法？如果在42人中選3人站成一排，有多少種站法？提示1：首先根據(jù)不同情況分清楚看是用排列還是組合，然后再根據(jù)排列組合公式進(jìn)行求解。提示2。要在42人中選3人去參加夏令營(yíng)，那么，所有的選法只與選出的同學(xué)有關(guān)，而與三名同學(xué)被選出的順序無(wú)關(guān).所以，共有C343種不同的選法.要在42人中選出3人站成一排，那么，所有的站法不僅與選出的同學(xué)有關(guān)，而且與三名同學(xué)被選出的順序有關(guān).所以，共有P342種不同的站法.提示3。由組合數(shù)公式，共有種不同的選法由排列數(shù)公式，共有P342＝42×41×40＝68880種不同的站法.從8人的數(shù)學(xué)興趣小組中選2個(gè)（1）分別擔(dān)任正副組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？（2）共同參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？提示1：：注意分清排列問(wèn)題和組合問(wèn)題提示2：（1）選出正副組長(zhǎng)，有正副之分，也就是從8人中選2人后，要進(jìn)一步確認(rèn)正副組長(zhǎng)，因此是個(gè)排列問(wèn)題（2）題選人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽沒(méi)有順序，因此是個(gè)組合問(wèn)題。提示3：（1）利用排列公式，共有=8×7=56種選法。（2）利用組合公式，共有==28種選法。在一個(gè)圓周上有10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫出多少不同的：直線段三角形（3）四邊形？提示1：首先觀察是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，那就要看你取的點(diǎn)是否與順序有關(guān)？提示2：很明顯，你要畫的三個(gè)圖形都與取出點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，所以三個(gè)問(wèn)題都應(yīng)該是組合問(wèn)題。由于10個(gè)點(diǎn)都在圓周上，因此任意三點(diǎn)都不共線，故只要在10個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，就可畫出一條線段；在10個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，就可畫出一個(gè)三角形；在10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)就可畫出一個(gè)四邊形。提示3：由組合數(shù)公式：（1），可畫出45條線段；（2），可畫120個(gè)三角形；（3），畫210個(gè)四邊形。七個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人必須排在一起，有多少種不同的排法？提示1：首先看是排列還是組合？這道題明顯是排列問(wèn)題，然后你再看所要排列的各個(gè)元素之間的關(guān)系，利用排列公式就可以了。提示2：甲乙丙三人必須排在一起，可以用分類的方法，考慮三人在七個(gè)位置中的不同情況，如：甲乙丙此時(shí)甲乙丙占了頭三個(gè)位置，然后再排其他四個(gè)人，最后再考慮甲乙丙三人的順序，這種方法比較復(fù)雜，我們可以換一種方法來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題，由于甲乙丙要拍在一起，因此我們可以先將這三個(gè)人看作一個(gè)元素，將這個(gè)元素與其他四個(gè)元素進(jìn)行排序，最后將這三個(gè)元素排序，用這種方法大大簡(jiǎn)化了思維過(guò)程。第一步：甲、乙、丙看作一個(gè)元素與其他四個(gè)元素排列，即五個(gè)元素進(jìn)行排序：；第二步：甲乙丙三個(gè)元素排序：提示3：不同的排法數(shù)有：×=5×4×3×2×1×3×2×1=720.（1）把八本書排在上下兩格書架上，每格四本，求有多少種不同的排法？（2）把八本書放在書架上，上格一本，中格三本，下格四本，求有多少種排法？提示1：書放在上層和下層是否相同？弄清楚是排列還是組合？提示2：很明顯，書放在上層和下層不相同，應(yīng)該用乘法原理，但每層書的擺放要用排列原理，（1）八本書中先選四本排在第一格，有種排法，再將剩下4本書排在第二格，有種排法（2）八本書選一本放在上格有種排法，再?gòu)氖Ｏ碌?本中選三本放中格，有種排法，最后四本書放下格，有種方法提示3：根據(jù)乘法原理：（1）不同的排法數(shù)是×=8×7×6×5×4×3×2×1=40320種（2）不同的排法是××=8×7×6×5×4×3×2×1=40320種。注意：從上兩小題發(fā)現(xiàn)，無(wú)論放幾層，分幾本放，結(jié)果都是一樣的，都是40320，若分成4層呢？是不是還是40320？學(xué)校乒乓球隊(duì)有10名男生，8名女生，現(xiàn)要選8人參加區(qū)里比賽，在下列的條件下，分別有多少種排法？（1）恰有3名女生入選；（2）至少有2名女生入選；（3）最多有3名女生入選；（4）某2名女生，某2名男生必須入選。提示1：此題是個(gè)典型的組合問(wèn)題，元素之間沒(méi)有順序，第二三小題中涉及至少至多的問(wèn)題，一般可分類來(lái)解決，而至少有2名女生入選的情況有：2名，3名，4名，5名……8名女生入選，情況較多，因此考慮從全部選法中除去沒(méi)有女生的選法和恰有1名女生的選法，這種方法稱為間接法。提示2：（1）先選3名女生，，再?gòu)?0名男生中選5人：（2）從全部選法中除去沒(méi)有女生的選法和恰有1名女生的選法全部選法數(shù)恰有1名女生入選的選法：×沒(méi)有女生入選的選法：分四類，第一類沒(méi)有女生入選，;第二類，恰有一女生入選，；×第三類，恰有二女生入選；第四類，恰有三名女生入選；（4）某2名女生，某2名男生必須入選，說(shuō)明有4人已選定，只須從剩下的14人中再選4人提示3：（1）恰有3名女生入選共有：×=14112種選法（2）至少有2名女生入選的方法：-×-=42753種（3）最多有三名女生入選的選法數(shù)：+×++=45+960+5880+14112=20997從剩下的14人中再選4人，共有選法=1001種。某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車均多于4輛，現(xiàn)從這個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)出10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)一輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？解：在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)一輛車的基礎(chǔ)上，還須抽調(diào)的3輛車可分成三類：從一個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，有＝7種；從兩個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，一個(gè)車隊(duì)抽1輛，另一個(gè)車隊(duì)抽兩輛，有＝42種；從三個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)一輛，有＝35輛.由分類計(jì)數(shù)原理知，共有7＋42＋35＝84種抽調(diào)方法.本題可用檔板法來(lái)解決：由于每個(gè)車隊(duì)的車均多于4輛，只需將10個(gè)份額分成7份.具體來(lái)講，相當(dāng)于將10個(gè)相同的小球，放在7個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子均不空.可將10個(gè)小球排成一排，在相互之間的九個(gè)空檔中插入6個(gè)檔板，即可將小球分成7份，因而有＝84種抽調(diào)方法.補(bǔ)充題目1．某一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、體育、音樂(lè)6節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排法？2.在7名運(yùn)動(dòng)員中選出4人組成接力隊(duì)，參加4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？3．有5雙不同型號(hào)的皮鞋，從中任取4只有多少種不同的取法？所取的4只中沒(méi)有2只是同型號(hào)的取法有多少種？所取的4只中有一雙是同型號(hào)的取法有多少種？4.4名男生5名女生，一共9名實(shí)習(xí)生分配到高一的四個(gè)班級(jí)擔(dān)任見(jiàn)習(xí)班主任，每班至少有男、女實(shí)習(xí)生各1名的不同分配方案共有多少種？5.有6本不同的書，分給甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少種分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少種分法？家庭作業(yè)（1）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法？（2）有4名學(xué)生參加爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？（3）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有多少種不同投法？【解析】：（1）（2）（3）把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同方案.8名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有（）A、B、C、D、【解析】：冠軍不能重復(fù)，但同一個(gè)學(xué)生可獲得多項(xiàng)冠軍，把8名學(xué)生看作8家“店”，3項(xiàng)冠軍看作3個(gè)“客”，他們都可能住進(jìn)任意一家“店”，每個(gè)“客”有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。所以選A有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從1