電動力學(xué)預(yù)備知識

電動力學(xué)預(yù)備知識第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一引言

Introduction

電動力學(xué)的研究對象是電磁場的基本性質(zhì)、運動規(guī)律以及它和帶電物質(zhì)之間的相互作用。電動力學(xué)的研究內(nèi)容是闡述宏觀電磁場理論，主要從實驗定律中總結(jié)電磁場的普遍規(guī)律，建立Maxwell’sequations。討論穩(wěn)恒電磁場、電磁波傳播、電磁波輻射及電動力學(xué)的參考系問題。第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一學(xué)習(xí)電動力學(xué)課程的主要目標(biāo)：

1）掌握電磁場的基本規(guī)律，加深對電磁場性質(zhì)和時空概念的理解；

2）獲得本課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初步能力，為以后解決實際問題打下基礎(chǔ)；

3）通過電磁場運動規(guī)律和狹義相對論的學(xué)習(xí)，更深刻領(lǐng)會電磁場的物質(zhì)性。第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一以電動力學(xué)為基礎(chǔ)的應(yīng)用領(lǐng)域：

在生產(chǎn)實踐和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，存在著大量和電磁場有關(guān)的問題。

例如電力系統(tǒng)、凝聚態(tài)物理、天體物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏觀電磁場的理論問題。在迅變情況下，電磁場以電磁波的形式存在，其應(yīng)用更為廣泛。無線電波、熱輻射、光波、X射線和γ射線等都是在不同波長范圍內(nèi)的電磁波，它們都有共同的規(guī)律。因此，掌握電磁場的基本理論對于生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗都有重大的意義。第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一學(xué)習(xí)參考書：

1、電動力學(xué)郭碩鴻編著

2、電動力學(xué)汪德新編著科學(xué)出版社

3、電動力學(xué)吳壽煌丁士章編西安交通大學(xué)出版社

4、經(jīng)典電動力學(xué)蔡圣善朱耘編著復(fù)旦大學(xué)出版社第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一預(yù)備知識

Preliminarynowledge主要內(nèi)容：一、矢量代數(shù)二、矢量分析基礎(chǔ)（梯度、散度、旋度）三、幾個重要定理及公式第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一一、矢量代數(shù)1.矢量的加、減:矢量的加、減，滿足平行四邊形法則。以兩矢量為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形的對角線就是這兩個矢量的和或差。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個矢量的和(差)的分量等于這兩個矢量對應(yīng)分量的和(差)。設(shè)，，則本書中直角坐標(biāo)的三個單位矢量分別用êx

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表示，通用方法是ê再加上表示坐標(biāo)軸名稱的角標(biāo)。第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一2.矢量的乘法:（1）兩個矢量的點乘兩個矢量的點乘，乘積是一個標(biāo)量，稱為標(biāo)積或內(nèi)積。設(shè)，，則如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個矢量的標(biāo)積等于這兩個矢量對應(yīng)分量的乘積之和。一、矢量代數(shù)第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（2）兩個矢量的叉乘兩個矢量的叉乘，乘積是一個矢量，稱為矢積或外積。其大小等于以兩矢量為鄰邊所作平行四邊形的面積，方向滿足右手螺旋法則。aba×b一、矢量代數(shù)第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一則設(shè)，，由以上計算公式可以得到：一、矢量代數(shù)第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一3.三個矢量的乘積:（1）三個矢量的混合積三個矢量的混合積是一個標(biāo)量，其絕對值等于以這三個矢量為棱的平行六面體的體積。，則三矢量的混合積一定是先叉乘，后點乘。否則無意義。注意:設(shè)，，一、矢量代數(shù)第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一利用行列式的性質(zhì)，可以證明以下結(jié)論：（混合積）（2）三個矢量的叉乘，必定處于a和垂直于矢量b所決定的平面內(nèi)，可以用a和b的線性組合來表示。acba×b一、矢量代數(shù)第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一一、矢量代數(shù)計算公式為：（三個矢量的叉乘）注意：即：三個矢量的叉乘，可以表示為括號內(nèi)兩矢量的線性組合，括號外的矢量與括號內(nèi)距離較遠(yuǎn)的矢量點乘作為系數(shù)的一項為正，與較近的矢量點乘作為系數(shù)的一項為負(fù)?！斑h(yuǎn)交近攻”形象地記做：第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一在自然界中，許多問題是定義在確定空間區(qū)域上的，在任何時刻，該區(qū)域上每一點都有確定的量與之對應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個場。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場，電流在周圍空間激發(fā)的磁場等。二、矢量分析基礎(chǔ)場的概念：（梯度、散度和旋度的概念）撇開物理含義，若一個量是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，則這個量叫做場。

第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一如果某個物理量是標(biāo)量，空間每一點都對應(yīng)著該物理的一個確定數(shù)值，則稱此空間為標(biāo)量場。如電勢場、溫度場等。如果某物理量是矢量，空間每一點都存在著它的大小和方向，則稱此空間為矢量場。如電場、速度場等。若場中各點處的物理量與時間無關(guān)，就稱為恒定場。若物理量與坐標(biāo)無關(guān)，就稱為均勻場。

二、矢量分析基礎(chǔ)第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（1）方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)變化率，它的數(shù)值與所取在一點處沿某方向的方向有關(guān)。在不同的方向上的值是不同的。1.標(biāo)量場的梯度:(GradientofScalarField)的空間由于從一點出發(fā)，有無窮多個方向，即標(biāo)量場在一點處的（2）梯度方向?qū)?shù)有無窮多個。二、矢量分析基礎(chǔ)第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)等勢面的法線方向為，由幾何關(guān)系可知，電勢沿等勢面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，等于。由此引入梯度的概念。記作：注意：梯度是一個矢量，其大小為最大的空間變化率，方向指向標(biāo)量增pp1p2等值面等值面θ加最快的方向。所以說，標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。二、矢量分析基礎(chǔ)第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一增加的方向。它指向（3）任意方向的方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：是等值面上p點法線方向單位矢量。表示過p2點的任一方向。顯見，當(dāng)時，所以pp1p2等值面等值面θ二、矢量分析基礎(chǔ)第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一該式表明：由此不難得到：——這是標(biāo)量場微分的計算公式。即：方向上的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。（4）在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式：二、矢量分析基礎(chǔ)第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一2.矢量場的散度:（DivergenceofVectorField）設(shè)閉合面S所包圍的體積為表示平均單位體積內(nèi)所發(fā)出的場線的條數(shù)。只包圍一點時，上式的極限稱為矢量場f

在該點的散度。，則而可見，散度就是空間某點處單位體積所發(fā)出的場線的條數(shù)。（1）概念：當(dāng)二、矢量分析基礎(chǔ)第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（2）在直角坐標(biāo)系中散度的計算公式：（3）積分變換式——高斯定理（Gauss’sTheorem）它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。二、矢量分析基礎(chǔ)第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一3.矢量場的旋度:設(shè)閉合曲線L所圍面積為，則矢量場f沿有向閉合曲線（1）概念：（RotationofVectorField）L的環(huán)流為，設(shè)想將閉合曲線縮小到空間某一點附近，那么以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小，也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作二、矢量分析基礎(chǔ)第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向，為矢量場f

的旋度。且規(guī)定矢量場的旋度是矢量，其方向與dl的環(huán)繞方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。的方向與dl的環(huán)繞方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。為此定義所以：二、矢量分析基礎(chǔ)第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（2）在直角坐標(biāo)系中旋度的計算公式：（3）積分變換式—斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。二、矢量分析基礎(chǔ)第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一4.▽算符:在直角坐標(biāo)系中，▽算符是一個矢性微分算符，在不同坐標(biāo)系中形式不同。所以，有同樣，二、矢量分析基礎(chǔ)第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一1.定理:三、定理及公式（1）標(biāo)量場的梯度必為無旋場（2）矢量場的旋度必為無散場（梯度的旋度恒等于0）（旋度的散度恒等于0）第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一，則必存在一個矢量場A，（4）無散場可由一個矢量場的旋度來表示。即：成立。（3）無旋場可由一個標(biāo)量場的梯度來表示。即：，則必存在一個標(biāo)量場使成立。如果如果使三、定理及公式第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一2.公式:（附錄P.343）（1）先根據(jù)▽算符的微分特性，依次將它作用到每一個場量上，并標(biāo)上角標(biāo)。即：將表達式寫成幾項微分之和。……三、定理及公式第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一（2）將各項中的▽算符作用到所選定的場量上，將其余場量移到▽算符的作用范圍之外，同時根據(jù)▽算符的矢量特性，檢查每一項的矢量性。（3）將▽算符的角標(biāo)去掉。三、定理及公式第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一再如：三、定理及公式第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一三、定理及公式第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一注意：結(jié)果應(yīng)是矢量，且每一項的方向均與f和g有關(guān)。若簡單地將▽算符作用于f或g上，得到的表達式只與f或