理論力學(xué)修改

理論力學(xué)修改第1頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日課本及內(nèi)容力學(xué)與理論力學(xué)（下冊）中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)國家基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)基地物理學(xué)叢書作者：秦敢，向守平科學(xué)出版社，2008其中，上冊以力學(xué)為主，下冊以分析力學(xué)為主，是理論力學(xué)課程的主要內(nèi)容。第2頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日力學(xué)內(nèi)容質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點的位置、速度、加速度，軌跡質(zhì)點動力學(xué)質(zhì)點的受力，由初始位置和速度確定之后的運動質(zhì)點系力學(xué)多個質(zhì)點體系的守恒量，內(nèi)力和外力非慣性參考系（平動和轉(zhuǎn)動）剛體的平面運動（角速度，角動量，轉(zhuǎn)動動能，一些簡單應(yīng)用（如有心力場，碰撞，振動等）第3頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點運動的描述：位置、速度、加速度隨時間的變化軌跡坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系（x,y,z）柱坐標(biāo)系(r,j,z)（極坐標(biāo)系）(r,q)球坐標(biāo)系(r,q,j)其他正交曲線坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系力學(xué)內(nèi)容第4頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日其他一些應(yīng)用課題有心力場（萬有引力和行星運動，帶電粒子散射）碰撞（兩體碰撞，散射截面）振動（阻尼振動，受迫振動，多維小振動）帶電粒子的運動狹義相對論非線性力學(xué)流體力學(xué)連續(xù)介質(zhì)體系的力學(xué)第5頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日分析力學(xué)內(nèi)容約束與虛功原理拉格朗日力學(xué)達(dá)朗貝爾原理，拉格朗日方程，泛函變分和哈密頓原理，運動積分、對稱性和守恒定律哈密頓力學(xué)正則方程，正則變換，泊松括號，哈密頓-雅克比方程剛體的歐拉運動學(xué)和動力學(xué)第6頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日分析力學(xué)的基礎(chǔ)以牛頓三定律的經(jīng)典力學(xué)為理論基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法建立完整的理論體系得到一些原理性的結(jié)果有些結(jié)果推廣到非經(jīng)典的領(lǐng)域（如相對論和量子力學(xué)）更加自然第7頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日分析力學(xué)與牛頓力學(xué)方法比較分析力學(xué)牛頓力學(xué)優(yōu)點處理方法流程規(guī)范善于復(fù)雜的體系處理約束越多方程數(shù)越少直觀，易于理解解算簡單問題比較方便缺點不夠直觀對于簡單問題的處理顯得麻煩常常需要具體靈活的分析約束越多方程數(shù)越多越繁瑣第8頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日直角坐標(biāo)系坐標(biāo)：(x,y,z)yxzo第9頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日直角坐標(biāo)系中的矢量運算點乘：叉乘：矢量的表示和愛因斯坦求和約定：第10頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日直角坐標(biāo)系的矢量運算舉例證明：其中：可證：第11頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日柱坐標(biāo)系坐標(biāo)：xyzorp第1次課第12頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日球坐標(biāo)系坐標(biāo)：zpxyor坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可用單位并矢點乘：第13頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)的關(guān)系通過求導(dǎo)可得球坐標(biāo)中：zpxyor第14頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日曲線坐標(biāo)系坐標(biāo)：xyzop稱為拉梅系數(shù)。曲線長度滿足第15頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日約束與自由度一個自由質(zhì)點運動的自由度為3在有約束的情況下，運動的自由度有所減少：約束質(zhì)點在平面內(nèi)運動，自由度為2約束質(zhì)點沿軌道運動，自由度為1自由度是描述物體運動所需的獨立變量個數(shù)約束可使變量之間變得不獨立，從而每個約束使系統(tǒng)的自由度減1。第16頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日約束與自由度一般情況下，約束為k個方程假設(shè)約束有k個。對于n個質(zhì)點，3n個坐標(biāo)中，有k個約束，則自由度為s=3n-k，從理論上說，可以用s個獨立變量來描述系統(tǒng)。這些獨立變量描述系統(tǒng)，在分析力學(xué)中對應(yīng)于由這些自變量組成一個函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。第17頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日約束的類型約束方程分類，依照含不含速度，分為：完整約束或幾何約束，非完整約束運動約束或微分約束，如果可以積分，可將微分約束轉(zhuǎn)化為幾何約束；依照是否顯含時間，分為：穩(wěn)定約束，非穩(wěn)定約束；依照是否為等號，分為：不等號時是可解約束，等號是不可解約束。第18頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日約束的類型完整約束（幾何約束）穩(wěn)定的幾何約束不穩(wěn)定的幾何約束不完整約束且不可積分成完整約束，也稱為微分約束。可解約束：或或雙面可解第19頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日可積分的條件非完整約束是否可以通過乘以某個函數(shù)變?yōu)榭煞e分的？若使必須即則反之亦然第20頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日不可解和可解約束x2+y2=l2x2+y2≤l2OO(x,y)(x,y)第21頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日完整約束使得自由度減少，一般的完整約束可寫為方程變分之后，可成為線性變分，形如約束的線性變分第22頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日完整約束使得自由度減少，非完整約束中，一般不可積分，因此不影響?yīng)毩⒆兞康膫€數(shù)，但如果是線性約束，能影響廣義坐標(biāo)變分的獨立性。線性非完整約束形如可導(dǎo)致變分約束（注意到dt=0）可化為線性變分的非完整約束第2次課作業(yè)：1.1，1.2，1.4第23頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日廣義坐標(biāo)用s個獨立坐標(biāo)來描述系統(tǒng)，這些獨立變量稱為廣義坐標(biāo)，而這些坐標(biāo)的數(shù)目即為系統(tǒng)的自由度。對應(yīng)滿足約束條件的質(zhì)點坐標(biāo)位置，有對于可解約束，是將其視為不可解約束來處理，如果發(fā)生離開約束的情況，就放棄約束，增加一個獨立坐標(biāo)，重新處理。第24頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日廣義坐標(biāo)的選用各個質(zhì)點的真實坐標(biāo)可以入選系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。n個質(zhì)點的系統(tǒng)，真實坐標(biāo)有3n個，但廣義坐標(biāo)只有s=3n-k個。由于存在k個約束，廣義坐標(biāo)的個數(shù)較少，需要選擇使用。廣義坐標(biāo)也可以選用其他參數(shù)。選取的原則是：能夠方便地表示系統(tǒng)每個質(zhì)點的幾何位置。即表達(dá)式越簡潔越好第25頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日虛位移

假想系統(tǒng)的各質(zhì)點瞬時發(fā)生了微小的符合約束條件的位移，稱為虛位移。位移發(fā)生在與約束面相切的方向，而約束力是發(fā)生在與約束面垂直的方向。用廣義坐標(biāo)表示了各個質(zhì)點的位置之后，虛位移可以看作當(dāng)廣義坐標(biāo)任意變化之后，各個質(zhì)點位置隨之變動而產(chǎn)生的位移。廣義坐標(biāo)的變化可以任意選取，但真實坐標(biāo)的變化因為有約束存在而不能任意選取。第26頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日理想約束約束力是與約束的切線方向相垂直的，有其中是虛位移習(xí)慣上，將虛位移視為變分，實位移視為微分。分析力學(xué)中處理的約束情況絕大多數(shù)（或者說默認(rèn)為）是理想約束。對于不是理想約束的情況，分析力學(xué)常用的方法是不成立的。第27頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日考慮空間曲面的約束，取3維空間直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，曲面的幾何約束為對于曲面上相鄰的任意點，相距dr，有即與曲面的切面垂直。同時，約束力也與曲面的切面垂直，因而兩者平行，滿足關(guān)系其中c是常數(shù)，R是約束力。理想約束第28頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日理想約束兩質(zhì)點A和B安置在剛性輕桿兩端，桿可繞中央的O點旋轉(zhuǎn)。在質(zhì)點A上施加一個力F，考慮兩質(zhì)點所受到的約束力，是否一定與虛位移方向垂直？是否為理想約束？這個例子，雖然每個質(zhì)點的約束力并不與虛位移垂直，可驗證其仍是理想約束。AOBF第29頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日虛位移和真實的微小位移的差別1.虛位移是瞬時完成的（dt=0），而實位移需要一小段時間（dt≠0）。2.虛位移在滿足約束的條件下可以任意選取，并未真是發(fā)生，而實位移一般與質(zhì)點的真實運動相關(guān)。3.虛位移的方向無論是穩(wěn)定約束還是非穩(wěn)定約束，都是沿著約束的切線方向，而實位移在非穩(wěn)定約束時，不一定沿著約束的切線方向。（例如，在膨脹著的氣球上爬行的小蟲）第30頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日虛功原理系統(tǒng)處于平衡時，每個質(zhì)點所受合力為0考慮虛位移所做的功，有對于理想約束，約束力所作虛功為0。從而在虛位移下主動力做的功總和也為0，即第31頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日虛功原理虛功原理能使我們處理系統(tǒng)的平衡問題。此時，我們只要關(guān)注系統(tǒng)的主動力的虛功為0的事實。而約束力在方程中消失，我們不必去解算。顯然，這是系統(tǒng)處于平衡的必要條件。對于不可解的(穩(wěn)定)約束，這個條件可以證明也是充分條件（約束如果不是穩(wěn)定的，就不會有靜力平衡的情況出現(xiàn)）。第32頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日虛功原理使用廣義坐標(biāo)，方程可以化為：由于廣義坐標(biāo)是獨立變量，因此有必要定義廣義力方程化為第33頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日由于廣義坐標(biāo)的獨立性，可得對于保守力體系，則虛功原理第34頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日對于保守力體系，虛功原理可化為則系統(tǒng)的勢能達(dá)到極值，極小值時平衡是穩(wěn)定的，極大值時平衡是不穩(wěn)定的虛功原理第35頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日雙連桿的平衡問題勻質(zhì)的雙連桿一端固定在頂部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡時兩桿的角度。求約束力時，可將約束力看成主動力，同時解約束，增加自由度，然后求解。（本書29頁。秦家樺，285頁。陳世民，170頁。金尚年，46頁。）虛功原理舉例Fq1q2l1l2第3次課作業(yè)：1.9-1.11第36頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日求解解：第37頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日圓弧中兩球的平衡問題半徑為R的固定圓弧上，有兩個同樣大小但質(zhì)量不同的勻質(zhì)小球，其半徑為R/3，求平衡時兩球的位置。這個問題用虛功原理或勢能最小原理。虛功原理舉例Rq1q2第38頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日求解解：這里三個球心正好構(gòu)成正三角形。平衡時，小球組的質(zhì)心正好在鉛垂線上，是最低的。第39頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日求約束面的形狀一個均質(zhì)桿一端靠在光滑的墻壁，另一端所在的約束面是什么形狀才能使桿在任何位置都能平衡？（本書第10頁）用勢能最小原理，當(dāng)虛位移發(fā)生時，桿的重心高度應(yīng)該不變。虛功原理舉例yqxO第40頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日達(dá)朗貝爾原理考慮動態(tài)情況，這時可以將系統(tǒng)中的每個質(zhì)點的加速運動看成在局部的非慣性參考系下的靜力平衡問題，需要加上慣性力，因此第41頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日達(dá)朗貝爾原理進(jìn)一步深化由于廣義坐標(biāo)的獨立性，從達(dá)朗貝爾原理可進(jìn)一步推出第42頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日方程的由來注意到由同時將廣義速度與廣義坐標(biāo)視為不同的變量，可推得第43頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日方程因此，得到拉格朗日方程其中T是系統(tǒng)質(zhì)點的總動能第44頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日保守力體系的拉格朗日方程對于保守力，由于拉格朗日方程成為其中L=T-V是系統(tǒng)的拉格朗日量。第45頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日方程方法的長處拉格朗日方程依然是從牛頓力學(xué)導(dǎo)出的，其方程與牛頓力學(xué)給出的結(jié)果必然相同。拉格朗日方程方法適合處理具有復(fù)雜約束的系統(tǒng)。廣義坐標(biāo)的優(yōu)選可使得約束的表達(dá)式更加簡單。約束使自由度減少，從而使方程數(shù)減少，未知量減少，自然消去了很多不需要知道的約束力未知數(shù)。拉格朗日方法是使用能量作為分析對象的，而能量是標(biāo)量，處理方便；另外，能量在各種物理過程中普遍存在并相互轉(zhuǎn)化，可方便地推廣應(yīng)用到其他物理領(lǐng)域。而牛頓力學(xué)是使用矢量分析，受坐標(biāo)變換影響大，且矢量有較多的分量，處理較繁瑣。第46頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日方程解法步驟確定系統(tǒng)自由度選擇廣義坐標(biāo)將各個質(zhì)點的位置矢量用廣義坐標(biāo)表達(dá)計算各個質(zhì)點的速度給出系統(tǒng)的總動能如果是保守系，給出勢能，如果不是保守系，給出廣義力相應(yīng)得到拉格朗日方程組結(jié)合初始條件求解第47頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實例rm1m2qOxz連線穿孔兩小球的運動自由度為2廣義坐標(biāo)r，q。r1=rer，r2=(r-L)ez第4次課作業(yè)：1.6，1.8，1.13，1.14第48頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日哈密頓原理作用量的定義體系從時刻t1到時刻t2的運動過程中，定義其作用量為哈密頓原理告訴我們，系統(tǒng)從t1演化到t2的所有可能路徑中，系統(tǒng)將沿著使作用量取極值的那條路徑移動?！翱赡苈窂健笆侵笍V義坐標(biāo)qi關(guān)于時間t的所有連續(xù)可微的函數(shù)關(guān)系qi(t)，且在初始時刻t1和終了時刻t2的位置是已知的確定值。第49頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值哈密頓原理告訴我們，求解真實運動過程（得到坐標(biāo)與時間的函數(shù)關(guān)系）就是尋求作用量函數(shù)達(dá)到極值的問題。對于自變量為“函數(shù)”的函數(shù)極值問題，可以使用變分法。為了求S的極值，使函數(shù)q(t)稍作改變，改變量為l*dq(t)，其中dq(t)在兩端為0且連續(xù)可導(dǎo)，l為系數(shù)參量。第50頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值函數(shù)q(t)變成q(t)+l*d(t)，這時積分值S也可以看成是參數(shù)l的函數(shù)。如果函數(shù)q(t)可以使S取到極值，同樣必須在l=0時，S(l)取極值。即第51頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值積分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在兩端為0且其他點的任意性，從而必須有第52頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值S取極值時，所需滿足的條件正是拉格朗日方程。反之，真實的過程滿足拉格朗日方程，能使作用量函數(shù)S取到極值。以上過程也能直接用變分法進(jìn)行：第53頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值的其他例子最速下降線問題。上下兩端點固定，求哪種曲線的軌道能使質(zhì)點從上端點由靜止在最短時間內(nèi)運動到下端點？第54頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值的其他例子最速下降線問題，解為擺線。令q為曲線上的切線與x軸的夾角，則Xyq第55頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日變分法求極值的其他例子懸鏈線問題，解為雙曲余弦線。Xy第56頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日光線行進(jìn)時間為極值（通常是極小值）的路徑。變分法求極值的其他例子Xy第57頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日單位球面上短程線問題。

a代表切線et與經(jīng)線eq夾角。這說明由于z軸選取的任意性，erxet必須為常矢量。且短程線在與之垂直的平面內(nèi)。變分法求極值的其他例子zp1xyorp2第58頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日事實上，可積分求解球面上短程線問題：是過零點的平面方程，應(yīng)該是同時過始末兩點，且與球面相交所得的圓。變分法求極值的其他例子第5次課作業(yè)：1.16，1.18，1.20，1.21第59頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日條件變分問題積分約束條件下的變分問題舉例：由一條長度為L且始末兩點是x軸上固定點的曲線與x軸圍成最大面積。通用的處理方法：將約束條件乘以參數(shù)l，加到被積函數(shù)之中，使之取極值。參數(shù)的某些取值可以使S取到極值。Xy第60頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日條件變分問題令q為曲線切線與x軸的夾角，則Xy第61頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日與哈密頓原理類似的其他原理莫培督原理。應(yīng)用于保守力體系。等能而不等時的變分為0。由哈密頓原理：上式中的廣義動量p和哈密頓函數(shù)H以后再介紹。為了強(qiáng)調(diào)是等能變分而不是等時的，變分符號用D代替d：第62頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日莫培督原理進(jìn)一步，通過將動能T改寫，有：這即是莫培督原理的變分形式。第63頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日莫培督原理舉例，求拋體運動yxa第64頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日與哈密頓原理類似的其他原理費馬原理應(yīng)用于幾何光學(xué)。光線沿用時最短的路徑前進(jìn)平衡體系能量最?。ㄖ亓菽?，靜電能，磁場能量），如果沒達(dá)到最小，可經(jīng)過一段時間的調(diào)整，最后達(dá)到最小。而哈密頓原理和費馬原理的最小值取得是瞬時的。第65頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的

相加性兩個相互獨立體系組成統(tǒng)一體系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，則L=LA+LB由于兩系統(tǒng)相互獨立，必須兩項都為0第66頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)可以加上任一個函數(shù)f(q,t)的時間全微商，不影響結(jié)果。因為全微分的積分是定值，對作用量的變分沒有貢獻(xiàn)。由于始末端固定，f的變分為0也可以直接驗證滿足拉格朗日方程。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的

非唯一性第67頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日直接驗證：為了簡便，拉格朗日函數(shù)中的時間全微分項可以適當(dāng)去除。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的

非唯一性第68頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日解題實例螺旋線上的珠子軌道方程為已知陳世民，P25例1.5第69頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日解題實例在豎直平面內(nèi)的彈簧擺q第70頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日解題實例在豎直平面內(nèi)的兩個繩連重物第6次課作業(yè)：1.24，1.25，1.26，1.28MMm第71頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)與運動積分一般情況下，拉格朗日方程為s個二階微分方程（s為自由度），求解之后，有2s個積分常數(shù)。這些積分常數(shù)需要初始條件（t=0時的廣義坐標(biāo)和廣義速度）確定，得到有時，某個Ci可以表示為廣義坐標(biāo)和廣義速度的組合，在運動過程中保持守恒，成為運動積分：第72頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)與運動積分廣義動量的定義：拉格朗日方程成為類似牛頓定律的方程循環(huán)坐標(biāo)：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含有某個廣義坐標(biāo)，則此坐標(biāo)成為循環(huán)坐標(biāo)。循環(huán)坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒，是運動積分。第73頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)與廣義能量當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時間時，能夠得到的運動積分是廣義能量H。第74頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)與廣義能量對于幾何約束，可以求速度表達(dá)式為：動能表達(dá)式中所含的廣義速度的第75頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)與廣義能量此時，L不顯含t時，有守恒量對于穩(wěn)定的幾何約束，T=T2，H=T+V是機(jī)械能。這里著重指出的是，如果約束是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒，守恒的是廣義能量H。第76頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日廣義能量舉例求解一個彈簧振子在一個以w角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)的、在xy平面內(nèi)的光滑管中的運動。與機(jī)械能守恒不同qzxy第77頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日相對論中的光速不變性，要求光在運動時的空間和時間的參量變化保持下式不變（都為0）：推而廣之，我們要求在相對論中，質(zhì)點移動產(chǎn)生的ds在不同參考系中也保持不變。同時我們知道在普通三維空間中，兩點之間的間距|dr|在不同參考系中都保持不變，因此，只要將時間變成第4維，運動位移成為4維向量而ds正比于它在4維空間中的間距|dr(4)|，也能保持不變。相對論時的拉格朗日函數(shù)第78頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日如何描述一個自由質(zhì)點的運動，是最基本最簡單的問題。對此，我們希望給出相對論時空中的自由質(zhì)點運動的作用量函數(shù)。因為作用量函數(shù)是標(biāo)量，標(biāo)量不會因選取不同的坐標(biāo)系而變化，而對于自由運動的質(zhì)點，我們能構(gòu)造出的具有這種不變性的量僅僅是它運動時的4維間距，是僅知的標(biāo)量。因此，取為了能在低速情況下回到經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)，必須取恰當(dāng)?shù)南禂?shù)相對論時的拉格朗日函數(shù)第79頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日這樣，我們得到了相對論時的拉格朗日函數(shù)，并能驗證它在低速情況下能回到經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日函數(shù)（僅相差一個常數(shù)）：從而，質(zhì)點的動量為與經(jīng)典情況相比，產(chǎn)生了質(zhì)量增加的效果。相對論時的拉格朗日函數(shù)第80頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日保守場中，質(zhì)點的運動方程為：這即是質(zhì)點的受力方程動能相對論時的拉格朗日函數(shù)第81頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日質(zhì)能公式：這里b是歸一化速度，g是相對論因子。拉格朗日函數(shù)這時并不是動能減勢能。有了拉格朗日函數(shù)，相對論的運動過程都已經(jīng)得到解決。具體運用到各個方面，可以與各個經(jīng)典物理的結(jié)果作比較分析。相對論時的拉格朗日函數(shù)第82頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日4維時空的“位移”：位移的絕對值是4維空間的標(biāo)量，不隨選取不同的坐標(biāo)系而變化。對于另外一個以勻速v0運動的慣性系，經(jīng)典力學(xué)給出伽利略變換：我們需要尋找4維時空的變換，使得在低速時是伽利略變換，且保持4維矢量的模不變。相對論的時空變換第83頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日兩個慣性系之間的4維時空的坐標(biāo)進(jìn)行變換時，由于起始時間和原點重合，因而時空坐標(biāo)原點也重合。因為x'=x-v0t=x+ibict，這里b=v0/c，可看作位置（x，ict）在x'坐標(biāo)軸上的投影（點乘積）。故x'軸的向量平行于(1，ib)，歸一化為(g，igb)，這里g=(1-b2)-1/2相對論的時空變換xict'x'ictx'=x-v0t(x,ict)而時間軸（ict')與空間軸(x')應(yīng)該相“垂直”，才能保證"長度"不變，故時間軸向量為（-igb，g)，從而得到洛侖茲變換：第84頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日因為dt

是4維空間的標(biāo)量，是時空坐標(biāo)變換時的不變量，用它代替dt求速度時，可得

4維空間的速度向量u(4)=(dr,icdt)/dt=g(v,ic)4維向量：動量-能量mu(4)=(p,iE/c)它們都遵從洛侖茲變換。如它們都有不變的模相對論的時空變換第7次課作業(yè)：1.30，1.33，1.36，1.37第85頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)的空間均勻性拉格朗日函數(shù)的空間均勻性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個微小的平移之后，拉格朗日量不改變。由dr的任意性得到動量守恒。第86頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日拉格朗日函數(shù)的空間各向同性拉格朗日函數(shù)的空間各向同性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個微小的轉(zhuǎn)動之后，拉格朗日量不改變。由dw的任意性得到角動量守恒?？臻g均勻性可看作x,y,z是循環(huán)坐標(biāo)，各向同性可看作j是循環(huán)坐標(biāo)。第87頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù)在相對論中，我們?nèi)?維時空的位移向量為空間的電磁場同樣是由4維的電磁場勢能向量描述：描述帶電粒子在電磁場中運動的作用量函數(shù)dS還需要有一個標(biāo)量部分，這個標(biāo)量要有描述粒子運動位移的成份，也要有描述電磁場的成份。此時，dr(4)?(A,ij/c)符合要求。兩個4維向量點乘，得到不隨坐標(biāo)變化的標(biāo)量。另外還要乘以粒子的電荷e。第88頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù)在相對論中，可取作用量函數(shù)為而對于低速情況，可取普通的動能代替拉格朗日函數(shù)的第一項。當(dāng)然也可以不替換。得到拉格朗日函數(shù)拉格朗日方程：第89頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日帶電粒子在電磁場中的拉格朗日方程x分量為拉格朗日方程：利用得到洛侖茲力方程第90頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日粒子在電磁場中運動方程的4維形式用4維向量重新寫拉格朗日函數(shù)和方程：得到Fji是電磁場張量。方程在4維時空坐標(biāo)變換下形式不變。第91頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日粒子在電磁場中運動方程的4維形式矩陣形式：矩陣[Fji]是反對稱的，求本征值方程|Fji-lI|=0時，是關(guān)于l2的一元二次方程。由于本征值在坐標(biāo)變換時的不變性，因而方程系數(shù)也是不變的。第92頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日粒子在電磁場中運動方程的4維形式其中，是標(biāo)量，以后在電磁場的拉格朗日函數(shù)中需要用到。另一個系數(shù)E?B也是不變的，但它是贗標(biāo)量（考慮時間反向的運動，速度反向，電場不變而磁場反向，因而E?B反號，而真標(biāo)量應(yīng)該不變。）第8次課作業(yè)：1.29，1.34，1.38，1.39第93頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日兩體碰撞兩體問題是質(zhì)點相互作用中最簡單最基本的過程。大到太陽和地球的相互作用，小到原子核之間的散射碰撞，都可以簡化為兩體問題。兩體問題可以約化為單質(zhì)點的有心力問題。用兩點的質(zhì)點系的質(zhì)心位置rc和兩點間的位移r代替兩質(zhì)點的位置r1，r2。第94頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日兩體碰撞的拉格朗日函數(shù)定義m=m1m2/(m1+m2)是約化質(zhì)量，可解得從而拉格朗日函數(shù)可寫為rm2m1r1r2rc第95頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日兩體碰撞是有心力作用下的平面運動利用拉格朗日函數(shù)的相加性，分解為一個質(zhì)量為（m1+m2）的自由質(zhì)點，與一個質(zhì)量為m的在勢能V(r)中運動的粒子。牛頓第三定律告訴我們，兩質(zhì)點的相互作用是沿著r

方向的，因此勢能V(r)產(chǎn)生的作用力是有心力。有心力作用時，力矩為0，因而角動量

J=rxmv守恒。以角動量的方向為z軸，因為r垂直于J，質(zhì)點可限制在xy平面內(nèi)運動。第96頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日兩體碰撞的方程約化質(zhì)量質(zhì)點的拉格朗日函數(shù)：相應(yīng)的拉格朗日方程：角動量守恒可寫為b是瞄準(zhǔn)距離，v0是初始速度Jrzxy第97頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日彈性碰撞與非彈性碰撞彈性碰撞時，相互作用力是保守力，機(jī)械能守恒。約化質(zhì)量的質(zhì)點的初速度與末速度相等。這意味著它的速率不變但運動方向可能改變。|v1'-v2'|=|v1-v2|非彈性碰撞時，有耗散作用力將一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)變成熱能，因而其末速率比初速率小，兩者比例為參數(shù)e。e=1是彈性碰撞，而非彈性碰撞時e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|第98頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日彈性碰撞與非彈性碰撞一般來說，碰撞之后的速度表示為v1'=vc+|v1-v2|em2/(m1+m2)v2'=vc-|v1-v2|em1/(m1+m2)其中vc=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)是質(zhì)心的速度，e

是不超過1的向量，代表質(zhì)點在質(zhì)心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢復(fù)率。對于彈性碰撞，其數(shù)值為1，對于非彈性碰撞，其數(shù)值小于1。第99頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日平方反比力的碰撞對于平方反比力，假設(shè)F(r)=k/r2，k的符號決定是斥力或者是引力。對時間積分：從而qeqerAB第100頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日平方反比力碰撞的偏轉(zhuǎn)角代入各個矢量由此得到偏轉(zhuǎn)角這里b是瞄準(zhǔn)距離，

b0是偏轉(zhuǎn)90°的瞄準(zhǔn)距離qABb第101頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微分散射截面通過散射過程，某一小塊立體角dW（可以看作是單位球上的一塊小面積）與某塊入射面積ds對應(yīng)起來，微分散射截面就是指ds/dW。由偏轉(zhuǎn)角和瞄準(zhǔn)距離的關(guān)系就能得到散射截面。盧瑟福散射實驗BqAb第102頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微分散射截面平方反比力的散射截面為剛性球的散射截面qb第103頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日碰撞速度的圖示質(zhì)心系中，m1和m2的初始速度為v1，v2~（m2，m1）碰撞之后速度為v'1，v'2，~（em2,em1）質(zhì)心速度為vc還原到實驗室坐標(biāo)系里，末速度為v'1，v'2v1v2v'1v'2v'2Lv'1LvC第9次課第104頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實驗室參考系的偏轉(zhuǎn)角考慮實驗室參考系中，初始時m2是靜止的。畫出速度v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc長度比例m2，m1，em2,em1,??，??，m1qLq第105頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實驗室參考系的微分散射截面只要求出實驗室參考系與質(zhì)心系的立體角之比，就能利用質(zhì)心系的微分散射截面公式。由得第106頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實驗室參考系的微分散射截面考慮質(zhì)量比a=m1/m2<<1，=1，>>1的三種情況。a<<1a=1a>>1第107頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實驗室參考系的微分散射截面對于盧瑟福散射，考慮a=m1/m2<<1，=1，>>1的三種情況。a<<1第108頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實驗室參考系的微分散射截面a=1a>>1第109頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日實驗室參考系的動能交換碰撞之后m1的動能平均值為（剛性球模型）考慮質(zhì)量比a=m1/m2<<1，=1，>>1的三種情況，a=1時碰撞交換走的動能最大。第110頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日碰撞問題舉例平面上兩個小球的彈性碰撞，m2初始速度為0。證明1、若m1=m2時碰撞之后兩小球的運動方向相互垂直。2、若m1>m2時，偏轉(zhuǎn)角最大為多少？qLqqqL第111頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日相對論高能粒子的碰撞以p1，E1，p'1，E'1和p2，E2，p'2，E'2

分別代表m1和m2

質(zhì)點在碰撞前、后的動量和能量，運用動量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面問題，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，p'2y，四個未知量，最后一個方程給出了能量E的表達(dá)，E視為已知。需求解的方程只有3個（動量2個能量1個）還需要一個條件，如偏轉(zhuǎn)角，或其中一個粒子的末動能等。第112頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日相對論碰撞例題能量為Ei的光子被質(zhì)量為me的靜止電子所散射。散射后光子能量為Ef并偏轉(zhuǎn)q

，證明這幾個量有關(guān)系1-cosq=mec2(1/Ef-1/Ei)證：第113頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日相對論碰撞例題一個靜止的p+介子衰變成m+子和中微子。三者靜止質(zhì)量分別是mp0，mm0和0。求m子和中微子的動能。第10次課第114頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動各個質(zhì)點在平衡位置附近作微振動。廣義坐標(biāo)一般為qi=qi(0)+qi(1)，其中0階量是常量，是平衡時的位置，而1階量是振動的變量。在解微振動的問題時，要重新取廣義坐標(biāo)使得qi(0)=0。因為有平衡位置，因此是穩(wěn)定約束，動能都是廣義速度的二階齊次項：T=T2。第115頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動勢能對勢能V(q)在平衡位置附近進(jìn)行小量展開取V(0)=0，平衡點上又有?V/?qi=0，并記kij=?2V/?qi?qj|0，且保留到2階小量。寫為矩陣二次型形式：由于在平衡點V取極小值0，因此V≥0，是正定的。第116頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動的拉格朗日函數(shù)對動能T同樣記為這里m

的各個分量一般是位置q的函數(shù)，但我們對動能只保留到2階小量，只取平衡點上計算m，因此得到的m

為常量。拉格朗日函數(shù)為第117頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動的拉格朗日方程拉格朗日方程為這是一個線性常微分方程組，即如果q(A)和q(B)

都是方程的解，則q(C)=aq(A)+bq(B)也是方程的解。因此，q的運動盡管可能出現(xiàn)多種頻率的振動，我們可以把每一個頻率的振動單獨分解出來研究。對于頻率為w

的振動（無論sin，cos），得到線性方程組：第118頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動的久期方程q=0顯然是方程的解。若要得到非0解，必須滿足久期方程：對于不滿足這個久期方程的頻率，線性方程組只有0解，意味著該頻率的振動不存在。反之，能夠出現(xiàn)的振動頻率必須滿足久期方程，且能從線性方程組解得一組成比例的非0振幅qw（但總比例待定）。滿足久期方程的頻率叫本征（簡正）頻率，對應(yīng)的qw叫本征（簡正）向量。第119頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動的本征振動用qwT

乘以線性方程，可知：由于m和k

都是正定的實對稱二次型矩陣，w2

也是非負(fù)的。因此，本征頻率都是實數(shù)。事實上，w2

也是矩陣m-1k

的本征值，而qw正是對應(yīng)的本征向量，滿足：由于久期方程是關(guān)于w2

的一元s次方程，應(yīng)該有s個根，前面已經(jīng)說了這些根都是非負(fù)實數(shù)，因此對應(yīng)s個本征頻率的振動。第120頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動的本征坐標(biāo)廣義坐標(biāo)q隨時間的變化是由這s個本征頻率的振動的線性組合。即：其中，常數(shù)Aj

和aj

依初始條件待定。事實上，上式可以改寫為：這里引入了本征坐標(biāo)x，它的每一個坐標(biāo)分量對應(yīng)一個頻率的振動，它與廣義坐標(biāo)q

之間的線性變換是矩陣s，由本征向量排列而成。本征坐標(biāo)x

可由x=s-1q

求得，以x為新的廣義坐標(biāo)則能得到單一頻率的振動。第121頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動的本征坐標(biāo)反之，用新的廣義坐標(biāo)x替換q，可得到關(guān)于本征坐標(biāo)x的方程。首先注意到其中，w2是以s個w2j

構(gòu)成的對角矩陣。因此：這樣關(guān)于本征坐標(biāo)x的方程就是非常簡單的形式了。第11次課第122頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動實例耦合擺問題：q1q2第123頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動實例三原子問題：第124頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動實例三原子問題：w=0相當(dāng)于不動（或勻速運動）。對應(yīng)的解為第125頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日微振動實例雙單擺問題：q1q2第126頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日阻尼振動物體在運動過程中經(jīng)常遇到阻尼。阻尼力與物體運動速度有關(guān)。常見的有：摩擦阻尼（與速度無關(guān)）。粘滯阻尼（與速度v成正比）。尾流阻尼（與速度平方成正比）。波阻尼等與速度關(guān)系復(fù)雜的類型。這里處理與速度v成正比的粘滯阻尼。第127頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日耗散函數(shù)粘滯阻尼力：阻尼的廣義力：這里耗散函數(shù)F定義為第128頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日帶耗散的拉格朗日方程耗散函數(shù)是非負(fù)的。耗散現(xiàn)象使得系統(tǒng)的機(jī)械能喪失。有阻尼時的拉格朗日方程：化為矩陣形式：第12次課第129頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日方程組求解使用試探解elt

能方便的求出本征振動頻率和阻尼率。其中，如果是簡諧振動，l就是純虛數(shù)。若要q有非0解，方程的系數(shù)行列式必須為0。這樣就得到一個關(guān)于l的一元2s次方程。為了研究根l的性質(zhì)，用非0解qT乘以原方程得由于三個系數(shù)都是非負(fù)的，可知：l的實部非負(fù)，與c成正比。l若是復(fù)數(shù)，則與其共軛l*一同出現(xiàn)。此一元二次方程的兩個解具有同一個本征向量。第130頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日本征值和本征坐標(biāo)記每個本征值lj對應(yīng)本征向量為qlj，j=1,2,..,s。同時具有同樣這個本征向量還有另一個本征值lj+s。則最后整體的解為對應(yīng)實根lj的系數(shù)Aj是實數(shù)，對應(yīng)復(fù)根lj的系數(shù)Aj是復(fù)數(shù)，但必須滿足Aj=A*j+s

，lj+s=l*j+s（共軛關(guān)系），使兩者相加之后為實數(shù)。本征坐標(biāo)同樣可以通過線性變換得到第131頁，共149頁，2023年，2月20日，星期日阻尼振動實例被3根彈簧連接