中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義

最新中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義

第1講角平分線

1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理的數(shù)學表示：如圖，已知如是N478的平分線，尸是彼上一點，若于點C,

DF10B于懸D,財CF;DF.

逆定理：到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.

角平分線除了簡單的平分角以外，結(jié)合其它的條件，一般可產(chǎn)生以下三種常見模型!

模型講解

模型1-BD平分NABC,且DCS.BC

理由：角平分線的性質(zhì)

結(jié)論：MDC取XDEB

模型2—BD平分NABC,且CDVBD

理由：等腰三角形三線合一

結(jié)論：XBDgXBDE

模型3-劭平分N/8C,AD//BC

理由：平行線的性質(zhì)

結(jié)論：做為等腰三角形

【例題講解】

例題1、如圖所示，在四邊形力及Q中，DC//AB,NDAB=90°,AC^BC,AC=BC,NABC

【分析】要求一的值，一般來說不會直接把相和&都求出來，所以需要轉(zhuǎn)化一，

EFEF

當過點尸作&?_L四時，即可將好轉(zhuǎn)化為變，又會出現(xiàn)模型1,所以這個輔助線與思路

EFAG

值得一試.

【解答】解：如圖，作廠GL48于點G

Dp

???NDAB-90。,:.FG/AD,「.——=——

EFAG

vACA.BC,/.Z.ACB=90°

火?:BF斗分乙ABC,/.FG=FC

在Rt/XBGF和RtABCF中

[BF=BF

[CF=GF

???XBGFQXBCF(Hl?),「.BC;BG

,:AC=BC,：.NCBA=45°,"AB=叵BC

BFBGBCBC1仄，

EFAGAB-BG-JlBC-BCV2-1

例題2、如圖，。是△48C的8c邊的中點，〃■平分N54aAE_LCE于點E,且48=10,

AC=16,則應(yīng)■的長度為

【分析】有〃?平分N縱C,SLAEX.EC,套用模型2,即可解決該題.

【解答】解：如圖，延長龍，48交于點月

平分N84C,AEVEC

Z.FAE-Z.CAE,^AEF-Z.AEC=90°

在△4T和△46E中

ZEAF=ZEAC

?AE=AE

ZAEF=NAEC

XAFE9ACE(.AS/0

AF=AC=16,EF=EC,

BF=6

又?。是SC的中點，BD-CD

..斯是△斯的中位線

:.DEBF=3

2

故答案為：3.

例題3、如圖所示，在中，BC-6,E、尸分別是48、4c的中點，動點。在射線守

上，BP爻CE干D,NC仍的平分線交在于0,當C0=g庇?時，EP^BP-.

【分析】這里出現(xiàn)角平分線，又有平行，應(yīng)該想到模型3,即可構(gòu)造出等腰三角形，結(jié)合相

似模型，即可解出答案.

【解答】解：如圖，延長80交射線）于點射

???￡、尸分別是48、4C的中點，

EF//BC

：./CBM二二EMB

■：8〃平分NABC,:.乙ABM:乙CBM

:.NEMB=NEBM,：.EB-EM

/.EP+BP=EP+PM=EM

???CO=-CE,?.EQ=2CO

3

由EF//BC將,AEMO^ACBO

EMEO

,——=上=2,EM=2BC=12「.E尸+8尸=12

BCCQ

【鞏固練習】

1、如圖，N4后是一個任意角，在邊。4,必上分別取第=av,移動角尺，使角尺兩邊

相同的刻度分別與〃，〃重合，過角尺頂點C的射線0C便是N/I比的平分線。C,做法用得到

三角形全等的判定定方法是（）

A.SASB.SSSC.ASAD.HL

（第1題）（第3題）（第4題）

2、三角形中到三邊距離相等的點是（）

4、三條邊的垂直平分線的交點B、三條高的交點

C、三條中線的交點D、三條角平分線的交點

3、如圖，四邊形為成沙是平行四邊形,BE平分乙ABC,CF*■分4BCD,BE、C尸交于G.

若使那么平行四邊形》及》應(yīng)滿足的條件是（）

4

A.4ABe=60°B.AB：BC=1:4CAB：BC=5:2D.AB.BC=5:8

4、如圖，△彳比的周長為26,點。，E都在邊8c上，N48c的平分線垂直于芥，垂足

為。，N彳第的平分線垂直于47,垂足為只若8c=10,則國的長為（）

35

A.-B.-C.3〃4

22

5、如圖，在△彳故;中，NC=90°,AC=BC,47平分N84C交8c于點。，DE_LA8于點、

E,若48史的周長是5初，則48的長為.

N

（第5題）（第6題）（第7題）

6、如圖，已知必、0C為△46C的的平分線，DE〃BC爻AB、4;于。、E,的周長

為15,BCK為7,則△48C的周長為.

7、如圖，在△/48C中，點。在8。上，BM至分乙ABD,BMX.AD,/V是4c的中點，連接

MN,若48=5,BC=8,則例=.

8、如圖，△4BC中,力。是中線，力￡是角平分線，CF1AE于F,AB=5,AC=2,則。尸

的長為.

9、如圖，已知N劭C的平分線與直■的垂直平分線相交于點。DEYAB,DF1AC,垂足

分別為仄F,AB=6,AC=3,K'jBE=.

10、如圖所示，在四邊形力&射中，AD///BC,綏是//奧的平分線，且醫(yī)_L48,E為

垂足，BE=2AE,若四邊形的面積為1,則四邊形483的面積為.

11、如圖，在。0的內(nèi)接四邊形中，AB=3,AD=5,NBAD=60°,點C為弧劭

的中點，則4C的長是.

（第11題）（第12題）

12、已知：如圖，AD,能分別是的中線和角平分線，ADYBE,AD=BE=b,則AC

的長等于.

13、將弧8c沿弦8c折疊，交直徑48于點伉若47=8,DBF。,則8c的長是

（第13題）

14、如圖，F(xiàn),G是以上兩點，M,“是如上兩點，且FG=MN,S即:Sg試問點。

是否在N408的平分線上？

15、已知：在△48C中，N8的平分線和外角的平分線相交于。，DG//BC,交.AC

于尸，交忠于G,求證：GF=BG-CF.

16、在四邊形4&M中，NABC是鈍面,^ABC+^ADC=180°對角線AC平分NBAD.

N

BM

ABA

D

ABE

(1)求證：BC二CD：

(2)若48+4?=4?，求N8CZ?的度數(shù):

17、如圖，在中，D、E、尸分別為三邊的中點，G點在邊48上，△&9G與四邊形

的周長相等，設(shè)8C=a、47=6、AB=c.

(1)求線段8G的長；

(2)求證：DG*分4EDF.

B

D

18、如圖，BAYMN,垂足為4分=4,點"是射線M上的一個動點(點。與點力不重

合)，NBPC=4BPA,BC1BP,過點、C作CD工MN,垂足為。，設(shè)北=x.3的長度是否隨著

x的變化而變化？若變化，請用含x的代數(shù)式表示少的長度；若不變化，請求出線段CD的

長度.

19、已知：平面直角坐標系中，四邊形78c的頂點分別為0(0,0)、/1(5,0)、8

(/?,2)、C(m~5,2).

(1)問：是否存在這樣的“使得在邊外上總存在點只使NO%=90°?若存在，求

出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(2)當N/0C與N048的平分線的交點。在邊8c上時，求〃的值.

20、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯

形”。如圖1,四邊形48緲即為“準等腰梯形”。其中

(1)在圖1所示的“準等腰梯形”483中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形

ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形(畫出一種示

意圖即可）；

（2）如圖2,在“準等腰梯形”48切中N后NC,￡為邊比?上一點，美AB"DE,AE/DC,

..ABBE

求1正：=——

DCEC

（3）在由不平行于力的直線47截△陽C所得的四邊形為8CZ?中，NBAD與NADC的平

分線交于點￡。若EFEC,請問當點￡在四邊形483內(nèi)部時（即圖3所示情彩），四邊形

/成?〃是不是“準等腰梯形”，為什么？若點￡不在四邊形483內(nèi)部時，情況又將如何？寫

出你的結(jié)論。（不必說明理由）

參考答案

1.答案：B

2.答案：D

3.答案：D

4.答案：C

5.答案：5cm

6.答案：22

7.答案：1.5

8.答案：1.5

9.答案：1.5

15一

10.答案：7

V

11.答案：3

9/

12.答案：2

"

13.答案：

14.解：過點。分別向以、OB作垂線，

,:S△懺［PG?PE,S*(MN,PH,FG二MN

/.PH=PE

???點戶在的平分線上.

15.證明：?；BD平分NABC,/.Z1=N2,

vDF//BC,..N2=N3,

Z1=Z3,BF=DF.

同理：D&CE.

「EF二DF-DF,

EF=BF-CE.

16.解：⑴如圖，過點C作加力8,交48的延長線于點肥作加4?,垂足為花

???丁兒?平分：.CM=CN

文???N4BC+NAOC=180°,N"8C+N40C=18O°

ZNDC=NMBC,在△仞C與XMBC中

NDNC=NBMC

<ZNDC=ZMBC

CN=CM

，BlDC

(2)如圖，延長彳8至［8,使88=AD

vAB^AD=ACy：.AB=AC

由⑴知AADO=ZBBC；在△4?C與△88。中

DC=BC

???<NADC=NEBC

AD=BE

：.AADC94EBC,故AMEC

又????!￡=47,：.AE=AC=EC

故△48。為等邊三角形，：.^CAB=6Q°;

???/班。=120°,N8緲=360°-180°-120°=60°

即/腦=60°

17.解：(1)???△80G與四邊形力切6的周長相等，

???BD^BG^DG=A&CD^DG^AG

???。是8C的中點

：.BD=CD

：.BG=AC+AG

???BG+(AC+40=AB+ACy

**.BG二一(AB+40二一(從c)

22

⑵證明：???點〃下分別是BC、48的中點

/.DF———b,BF^—AB^—c

2222

義yFG=BG-BF=>(/H-c)--c=-b

222

DF^FG

：./FDG=/FGD

???點ZZ￡分別是BC、AC的中點，

二DB//AB,ZEDG=ZFGD,：.NFDG=ZBDG,即OG平分NEDF

18.M：a的長度不變

理由如下:

如圖，延長C8和以，記交點為點。

???NBPC=Z.BPA,BCLBP

?,?"=&?(等腰三角形“三合一"的性質(zhì))

?；BA1MN,CDLMM

：.AB//CD,

：./\QABs△△①。

AB/CDMB/QB/2

：.CD=2AB=2X4=B

即CD=8;

19.M：(1)存在.

???0(0,0)、4(5,0)、B(m,2)、C(/?r5,2).

：.OA=BC=5fBG//OA,

以04為直徑作。與直線比分別交于點￡尸

則/咐=/的=90°,如圖1

作DG工EF于G,連DB,則仍=勿=2.5,DG=2,EG=GF

DFylDE2-DG2=1.5

；.￡(1,2),尸(4,2),

[zw-5<4

???當〈一,即辰9時，邊比上總存在這樣的點只使N0〃=9O°;

⑵如圖2,

?：BC=OA=5,BC//0A

.??四邊形048c是平行四邊形

OC"AB,

：.ZAOC+ZOAB=^80°,

???0。平分N/OC,42平分N〃48,

：.ZAOO=0.5ZAOC,40AQ=b.3/0AB,

：.ZA00+Z0AQ=9Q°

：.ZAOO=90°,

以以為直徑作。與直線8C分別交于點上月，

購N0EA=N0FA=9G,

?,?點。只能是點E或點F,

當。在尸點時，,：OF、4尸分別是N47C與048的平分線，BC//0A

:./CFg/FOA=Z.FOC、ZBFA=Z.FAO=Z.FAB,:?CF=OC、BF=AB

而00=AB,

:,CF=BF,即尸是箔的中點。

而尸點為(4,2),

此時力的值為6.5,

當在E點時，同理可求得此時勿的值為3.5,

綜上所述，m的值為3.5或6.5.

20.解：(1)如圖，過點。作DE//BC交PB干黑E,則四邊形4及M分割成一個等腰梯形BCDE

和一個三角形ADE\

(2)vAB||D￡,:.ZB=ZDEC:\'AE\\DC,:.ZAEB=ZC;\=:.ZB=ZAEB;

ZB=NDECBE_AE

.\AB=AE.-：^./XABE和△〃&;中，.\AABE-ADECf

NAEB=ZC~EC~~DC

AB_BE

DC-EC

(3)作日」于月，EG工4。于G,BHLCD于H,:./BFE=/CHE=9G

A

,:AE平分4BAD,DE平分ZADC,EF^EG^EH,

在Rt/\EFB知Rt/XEHC中,BFCE,EF=EH,

Rt/\EFB^Rt/\EHCWZ3=Z4.

,:BE^CE,Z1=Z2.

/.N1+N3=N2+N4,

即NABXNDCB,

?.?四邊形ABCD為力。裁某三角形所得，且A9不平行8C,

二四邊形48Q）是“準等腰梯形”。

當點￡不在四邊形48CZ?的內(nèi)部時，有兩種情況：

如圖，當點F在外邊上時，

同理可以證明△仔儂NANC,四邊形力8切是“準等腰梯形”

當點8在四邊形力腦的外部時，四邊形ABCD不一'定是“準等腰梯形”。

分兩種情況：

情況一：當N眄的角平分線與線段燈?的垂直平分線重合時，四邊形483為“準等腰梯形”;

情況二：當N畫的角平分線與線段8c的垂直平分線相交時，四邊形48而不是“準等腰梯

物

第2講垂直平分線

1.垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

陽為線段48的垂直平分線，必然需要連接以、PB,構(gòu)造出等腰△218,進而求解.

逆定理：先P歸PB,則點戶在48的垂直平分線上.

【例題講解】

例題1、如圖，在中，點。、E、尸分別在8C、AB.AC上.B1CF,B片CD,〃G_L￡F于點

G,且￡合必求證：A^AC.

【分析】可知GO為4的垂直平分線，遇見垂直平分線，必然要將垂直平分線上的點與線段

兩端點連接

【解答】解：連接。￡、，尸如右圖所示

?;DGLEF,EG=FG

:.DE=DF

BD=CF

在△8%■和△CQ9中，BE=CD

DE=DF

:.ABDEwACFD

;.NB=NC

:.AB=AC.

例題2、如圖，在生△48C中，NR90°，點、D在BC上，點、E在AB上,旦DE〃AC,4良5,

DF2,。33,動點戶從點4出發(fā)，沿邊4?以每秒2個單位長的速度向終點C運動，設(shè)運動

時間為大秒。

(1)線段4C的長=;

(2)在線段日上有一點0,滿足吩&?,連接。。、PE,當在，加時，求出土的值.

【解答】

(1)妗6;

(2)當上JL。。時，由于ED=EQ,易證展垂直平分。。，

所以連接外、P0,只需使冷囤即可

可知力片2G所以小6-21：3=3,￡<2=2,所以/小3,

41239

所以AF=gAQ=M，QF=^AQ=-

12

所以尸尸=2,-匕

5

在色△外〃中，P"+(6-21)2；

在雙△夕。尸中，儂=(2?葭)+(2)

所以3?+(6-2t)z=(2f-[)+[!)'解得'="|.

【總結(jié)】遇見垂直平分線，連接垂直平分線上的點與線段兩端點是必然的！

【最好方法】

當戶時，易證PE平分ZDEA,由【角平分線模型三】可知，平行+角平分線=等腰三角

形，所以△｛中為等腰三角形，所以4片/斤5,即2/5,十*.

2

【鞏固練習】

1、三角形三條邊的垂直平分線的交點是三角形的()

A.重心8內(nèi)心G.外心D.中心

2、在△408的內(nèi)部有一點只點戶與A關(guān)于以對稱，點戶與只關(guān)于80對稱，①則△華月

是()

4等邊三角形8等腰三角形C直角三角形〃鈍角三南形

②當N4必滿足什么條件時，△加月是等邊三角形？

3、如圖，△/8C中，AB,4?的垂直平分線交8c于。、E,

(1)若NA46MOO°,則:

(2)若/外080°,則N%斤：

(3)若N以片10°,則：

(4)若△48C的周長為20,的周長為12,則/研/0

(5)當4代4C,且N分0120°,則△/?巫為何種特殊三角形？

4、如圖，等邊△48C的邊長為3,BO、CO分刖為NABC、N4?8的角平分線，BO、C0的垂直

平分線交8c于￡F,則爐的長為.

5、如圖，已知等腰△/成7,4代酢5,AOM,在仇?邊上存在一點只恰好在線段48的垂

直平分線上，則m的長為.

6、如圖所示，已知4?是△48C的角平分線，DE1.AB,DF1.AC,垂足分別是￡E求證：AD

垂直平分EF.

7、△/瓦;中，。為8C中點，DE^BC,交N歷IC的平分線于點￡EFLAB于F,EGLAC于G.

求證：BF^CG.

.4

8、如圖，△為8c中，點。在燈?上，且4。的垂直平分線中交8c延長線于點尸，若NQIU

NB,求證：4。平分N外C

9、如圖，在△45C中，A&^AC,〃為三角形內(nèi)一點，且為等邊三角形.

(1)求證：直線4。垂直平分8C；

(2)以48為一邊，在48的右側(cè)畫等邊△4%；連接0E,試判斷以"、DB、在三條線段是

否能構(gòu)成直角三角形？請說明理由.

10、已知二次函數(shù).a/+2aA+c的圖象與x軸分別交于48兩點(點4在點8的左側(cè))，

與V軸交于點C,頂點為只若C(0,2),8c的垂直平分線過點力,求這個二次函數(shù)的關(guān)

系式.

4

11＞如圖，在平面直角坐標系中，直線片-一/4與x軸交于點力，與V軸交于點區(qū)點戶

3

從點0出發(fā)沿勿以每秒1個單位長的速度向點/I勻速運動，到達點后立刻以原來的速度

沿47返回；點。從4出發(fā)沿力8以每秒1個單位長的速度向點8勻速運動，當點P、0運動

時，保持垂直平分圖，且交&2于點伉交折線于點￡點只。同時出發(fā)，當點

。到達點8時停止運動，點戶也隨之停止，設(shè)點20運動的時間為2秒(方＞0).

(1)點。的坐標是(,)(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當t為何值時，直線如經(jīng)過點0.

12、如圖1,在矩形ABCD中，45=4,BO3,點￡是射線刃上的一個動點，把綏沿BE

折疊，點。的對應(yīng)點為E

(1)若點尸剛好落在線段4。的垂直平分線上時，求線段CE的長；

(2)若點尸剛好落在線段48的垂直平分線上時，求線段您的長；

(3)當射線4尸交線段切于點G時，請直接寫出3的最大值.

13、如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A(-3,0)、8(T,0),與y軸相交于點C

(0,3),點戶是該圖象上的動點，點。的坐標為(4,0).

(1)求該二次函數(shù)的表達式；

(2)當OP//CQ臉,求點。的坐標；

(3)點”，”分別在線段4?、CO上，點〃以每秒3個單位長度的速度從點4向點。運動，

同時，點/V以每秒1個單位長度的速度從點C向點。運動，當點〃兒中有一點到達。點時，

兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為十秒，當直線打?垂直平分線段解/時，請求出此時t的值

及點。的坐標.

14、已知拋物線y^ax+bx^c(水0)與x軸交于點/(8,0)和B(-12,0),與y軸交于

點C(0,6).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點〃在線段48上且AD=AC,若動點的從4出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度

勻速運動，同時另一動點〃以某一速度從8出發(fā)沿線段8。勻速運動，問是否存在某一時刻

t(秒)，使線段的V被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間力和點”的運動速度；

若不存在，請說明理由；

參考答案

1.答案：B

2.答案：①)8:②N428W0。

3.答案：(1)20°：(2)20°：(3)95°;(4)8：(5)等邊三角形.

4.答案：1

5.答案：—

8

6.證明：?.?/1。是44及7的角平分線，DEA.AB,DFLAC,:.D&DF

在Rt/\ADE知Rt4,ADF中，AD=AD,DFDF,

Rt4ADEQR/\ADF(HD,

AE=AF,大DE=DF,

.?J。垂直平分)(到線段兩端點的距離相等的點一定在線段的垂直平分線上)

7.證明：如圖，連接BC,

?：EDI.BC,D為BC中點

:.BFEC

?：EFLAB,EGLAG,且48平分N7G

FE=EG

在ABFE和Rt/XCGE中,BE=CE,EGEG,

RtABFE空RtACGElHL),

BF^CG.

8.證明：■.?爐是4?的垂直平分線，

AF^DF

NEAF=4EDF,

?：/EAF=/FA8/CAD,乙EDF=LBA步乙B,

又：AFAC=LB

NBAD=NCAD,

即47平分N歷IC

9.答案：(1)為等邊三角形，；.除以,在仇?的垂直平分線上

-：AB=AC,.?./在8c的垂直平分線上，

二直線4。垂直平分BC-.

(2)以"I,DB,三條線段能構(gòu)成直角三角形;

理由：連接CE,

■;NABD=NABE-ZDBEWO°-NDBE=ZDBC-ZDBE=4EBC,

在△皈和劭中，AB=EB,ZABD^ZEBC,DB=CB,

:.△EBC^XABD{SAS）,

:.NBCE=/ADB,AD=CE.

在和△4?C中，AD^AD,AB^AC,D良DC,

:.XAD曜XADC<SSS）,

ZADB=NADC,

^ADB=-（360°-4BCG=150°

2

.?.N8%=N砌=150°,

ZDCE=ZBCE-Z.BCDA500-60°二90°

?:CE=DA,DC=DB,

以%,DB,莊三條線段能構(gòu)成直角三角形.

10.解：?.?8C的垂直平分線過點4.\AB=AC,

二次函數(shù)y=ax+2ax^c的對稱軸為%=--=-],

2a

設(shè)AB=AC=2/%,則AO=m+l,3O=n7—l,

vC（0,2）,,\CO=2

?.?在生△47C中，AO?+CO?=AC?,即（,"+1）2+22=（2,"解得利=_1或g,

當〃?=一1時，A（0,0）,B（2,0）,C（0,2）（舍去）;

當機時，A[.0）,嗚,0）,C（0,2）,此時二次函數(shù)解析式為y=-#一%+2-

11.答案：（1）13-3,￡）;

(2)四邊形能成為直角梯形。

①當0<儀3時，:.AQ=OP=t,AP=3-t,

如圖2,當巫〃08時，-：DES.PQ,:.PQS-QB,四邊形08%是直角梯形.

此時N40「9O°.

由XAPgXAB0得強=絲.

AOAB

解得?=2:

358

如圖3,當。。〃80時，DEA.PQ,:.DELB0,四邊形。呵是直角梯形.

此時N4Q/Z=90°.

也XAQP?XAB0、彳導絲=絲.

ABAO

即工=±1,解得3"；

538

②當3V2V5時，AQ=t,AP=t-3,

如圖2,當。8〃08時，DEI.P0,P01.OB,四邊形。膽?是直角梯形。

此時工人火=90°.

由4APQ?XAB0,得強=".

AOAB

.t」一3

35

解得r=-2(舍去)；

2

如圖3,當月0〃80時，,:DE'PQ,:.DELB0,四邊形。膽?是直角梯形。

此時N/R2=90°?

過XAQP?XAB0,得絲=絲.

ABAO

即￡=上口.解得f=">5(舍去)：

532

綜上所述：t=2或"；

88

(3)當t=9或竺時，經(jīng)過點0.

214

理由：①如圖4,當座經(jīng)過點0B寸,

?.?〃8垂直平分尸。，:.EkEgt,

由于夕與0運動的時間和速度相同，

AQ=EQ=EP=t,

NAEQ=NEAO,

NAE>NBEQ=9G°,N￡4仆/10=90°,

NBEQ=NEBQ,B與BQ,ECA午B?！籄B,

2

5

2

②如圖5,當。從4向0運動時，過點0作QFLOB于F,

-.■EP=6-t,:.EQ=EP=6-3

vAQ=t,B45-t,sinZABO=—=-,cos=—=-,

AB5AB5

3344

,-.F（2=j（5-r）=3-1r,BF=-（5-r）=4--z,

4

：.EF=4-BF=-t

5f

0

?/EF2+FQ2=EQ2,即（3_|f「+（6-7）2,

解得：.=3.

14

545

.?.當經(jīng)過點0時，2或無.

214

12.解：（1）如圖，椒是線段4?的中垂線，作FH1CD于H.

在RtABFH中,?:BF=BC=3,BM=-,BF2=BM2+CH2

2

FM=CH=-V3,

2

設(shè)CE=EF=x,在Rt/\EFH中，因為EF?=FH?+HE?,

：.X2=(3>+(￡1T)2,

22

x=V3,即CE—V3.

(2)如圖，掰V是線段48的中垂線，諛EU,

在RtABFM中,因為N必以=90°,BM=2,Bf^BC=3,

：.MF=dBF?-BM?=V5,

■：MN^BC=-3

:.F作3-M,EN=2-x,

在RtXEFN中，EF-=FN2+NE2,

9-3V5

2

(3)如圖，欲求CG的最大值，只要求出。G的最小值即可,

DG=ADtanZ.GAD,所以NQO最小時，的值最小,

?：BF=BC,8尸是定值，

...當8￡L4G時，N84廠的值最大，即的值最小,

當用」47時，易知點8與點G共點，

設(shè)CG=GF=x,

在生△48尸中，NAFB=9G,AB=4,BEBO3.

：.AF2+32=42,即46V7.

在RtAABF中,A￡>2+￡>G2=AG?,即3?+(4-x)2=(夕+x>,Ax=4-V7.

的最大值為4-V7.

13.解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a/+b/c,

?.?拋物線經(jīng)過點C(0,3),

：.C=3

把4(-3,0)、8(-1,0)代入y=aV+6A+3中9a-3/3=0,a-加3=0,

解得產(chǎn)1,H4.

，拋物線的解析式為：y=x+4A+3

(2)設(shè)C0的直線方程為將C(0,3)和。(4,0)帶入解得C0的直線方程為y=-

3o

—x+3,

4

OP//CQ,

3

直線OP的方程為y=--%,

4

333

聯(lián)立y=-二X+3和y=一二X,解得玉=一二，X,=-4,

444

39

二戶的坐標為.(-4,3);

416

(3)過點作ND、軸于點D,則ND//OC,

?.?直線戶。能夠垂直平分線段楸則有。/=0乂且PQLMN,PQ牛分乙AQC.

由QM=QN,得：7-31=5-1,解得t=1.

設(shè)0(x,*2+4/3),巖直線PQLMN,則：過戶作直線分__Lx軸，垂足為￡必APEQ?叢MDN,

.PE_MD

??---------,

EQND

4

.x2+4x+3_5-_-13±J109

4-x126

5

.o<-13-V10937+7109,...-13+V10937-V109,

618618

14,解:(1)/拋物線y=a-+bx+c(aV0)與x軸交于點4(8,0)和8(-12,0),

???可設(shè)拋物線的解析式為尸8)(/12),

又?.,拋物線過點C(0,6),A6=-96a,解得

16

1121

??拋物線的解析式為尸-------(尸8)(/12)二-------x—x+6,

16164

121

即該拋物線的解析式為尸------廠—x+6.

164

(2)A(8,0),C(0,6),AAO782+62=10,

.?"廬4M0,.?.點。的坐標是(-2,0)

v5(-12,0),二8廬AD.

若垂直平分網(wǎng)則DN=DM,4NDC=4MDC=乙ACD,

：.DN//AC,

：.BN^GN

AC

.?.ZW是△48C的中位線，DN=—=5,

2

：.AM=t=5,

R/s

而8酢=54=3逐，點力的運動速度是土貯：

5

(3)S^.PCA=S^PCB,

：.A,8到外的距離相等，

：.PC//AB

1,1

:.P、C關(guān)于拋物線y=-----x'——x+6的對稱軸x=-2對稱,

164

???C(0,6),

。(-4,6)

tanNPBQ=—,tanZ.CBA==—=—,

2OB122

ZPBO=ZCBA,

：.NPBQ-NGBQ=4CBA-/CBQ,即ZPBQ=NCBQ

作PGS-BC于G,OH±AB于H.

PCOC

PG==±6=475CG=」PC?-PG?="（至》=述

BC6亞5V55

BG=BC-CG=6氐晅=

55'

4A/5

:.tanNPBC=—=—=—.

BG22A/5H

5

設(shè)點。的坐標為（x,--x2-—x+6）

164

tanZ.QBA=tan乙PBC,

--x2-—x+6

.164_2

x+12if

56

解得x=元或-12（舍去）

56376、

故點。的坐標是（一?--）.

第3講幾何模型之雙子型

模型講解

【雙等邊類型】

△BC哈XACE4AB洛叢ACE△BOE-XCOF

【雙等腰直角類型】

AADA

△BC酌XACE4BCE94DCFXABD^XACE

【一般情況】

基本條件：△4?C's△必C,連接?）￡BD后，有AAEX叢BDC,相似比為4c邊與勿邊之比。

可見，上面幾種有圖形中有全等情況出現(xiàn)，只因圖形中有邊長相等。

【例題講解】

例題1、（直接用雙子）如圖，直角坐標系中，點4的坐標為（1,0）,以線段）為邊在第四象

限內(nèi)作等邊△力。氏點C為x正半軸上一動點（0O1）,連接8C,以線段宓為邊在第四象限內(nèi)

作等邊△第。直線DA交y軸于點E.

（1）△08C與4ABD全等嗎？判斷并證明你的結(jié)論：

⑵著點。位置的變化，點￡的位置是否會發(fā)生變化？若沒有變化，求出點￡的坐標；若有

變化，請說明理由.

解：①全等.

理由：,:4AOB和LCBD是等邊三篇形,

：.OB=AB,40BA=/0AB=60°,BC=BD,NCBD=6Q°,

ZOBA+NABC=NCBD+NABC,即NOBC=NABD,

在△08C和△力劭中，

fOB=AB

NOBC=/ABD，

BC=BD

：.l\OBC^/\ABD(%S).

②不變.

理由：*：/\0B曜/\ABD,

:.NBARNBOX60°,

又045=60°,

AZCM￡=180°-NOAB-NBAg60°,

:.Rt/\0EA*,AE=2OA=2,

■,?如=5，

.?.點￡的位置不會發(fā)生變化，￡的坐標為￡(0,V3).

例題2、如圖，△力外和△力如都是等腰直角三角形，Nfi4/?=N%f=90°"8=4?=2,0為

47中點，若點。在直線8c上運動，連接如，則在點。運動過程中，線段處的最小值是為

()

4；B.當C.1。.也

解：設(shè)。是48的中點，連接

■:NBAX/DAE=9G,

ABAC-ZDAX2DAE-ADAC,

即N班gNOIE

'：AB=AC=2,0為47中點,

：.AQ=A0,

在△42。和△47￡中,

'AQ=AO

<NQAD=/OAE,

AD=AC

：./\AOD^/\AOE(5/15),

：.OD=OE,

?.,點。在直線8c上運動，

.?.當0D_L8C時，仇?最小，

?.?△/8C是等腰直角三角形，

NQ45°,

ODA.BC,

△08。是等腰直角三角形，

：,OD=^OB,

2

?.?必=2/8=1,

2

返，

2_

線段的最小值是為返.

2

故選：B.

5

例題3、如圖1,在中，：點。、E分別是邊仇?、4?的中點，連

Rt4ABeNB=90cosC=oz

AF

接?！陮⒗@點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為8.當0°W8V360。時，左的大

DD

小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

（圖1）（圖2）

當0°a<360°時，鯉■的大小沒有變化,

DB

,//ECD=/ACB,

：.NECA=/DCB,

5..EC_AC=45

'DCBC-T，

/.XECAsXDCB,

?_^=EC=V5.

，-DBDCV

【鞏固練習】

1.如圖所示，已知△/48C和48班均為等邊三角形，連接4?、CE,若N仍Z7=39°,那么N

ACE=

2.如圖，為等邊三角形，為8=2,點〃為8c邊上的動點，連接他以47為一邊向右作等邊

△ADE,連接GE

(1)在點。從點8運動到點C的過程中，點F運動的路徑長為;

2)在點。的運動過程中，是否存在N〃》60°,若存在，求出BD的長,若不存在，請說明理由.

⑶取AC中點P,連接PE,在點。的運動過程中，求我?的最小值.

3.在銳角