離散型隨機變量與其分布律

定義1若隨機變量X的全部可能取值是有限個或可列無限多個,則稱這種隨機變量為離散型隨機變量。一、離散型隨機變量的分布律定義2第一頁，共42頁。離散型隨機變量的分布律也可表示為或其中第二頁，共42頁。分布函數(shù)分布律離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量分布函數(shù)演示離散型隨機變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系第三頁，共42頁。例

1拋擲均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數(shù).解第四頁，共42頁。第五頁，共42頁。二、常見離散型隨機變量的概率分布

設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為2.兩點分布1.退化分布若隨機變量X取常數(shù)值C的概率為1,即則稱X服從退化分布.第六頁，共42頁。實例1“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.隨機變量X服從(0-1)分布.其分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.記為X~b(1,p)第七頁，共42頁。

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明第八頁，共42頁。3.均勻分布如果隨機變量X的分布律為實例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機變量X,則有均勻分布隨機數(shù)演示第九頁，共42頁。4.二項分布若X的分布律為：稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記為,其中q＝1－p二項分布兩點分布第十頁，共42頁。二項分布的圖形圖形演示第十一頁，共42頁。例如在相同條件下相互獨立地進行5次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從B(5,0.6)的二項分布.二項分布隨機數(shù)演示第十二頁，共42頁。4.泊松分布

泊松資料圖形演示第十三頁，共42頁。泊松分布的圖形泊松分布隨機數(shù)演示第十四頁，共42頁。泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.第十五頁，共42頁。地震

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水第十六頁，共42頁。電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.第十七頁，共42頁。泊松定理證明第十八頁，共42頁。第十九頁，共42頁。第二十頁，共42頁。二項分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出第二十一頁，共42頁。

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計算所求概率為解例2有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?第二十二頁，共42頁。6.幾何分布

若隨機變量X的分布律為則稱X服從幾何分布.實例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目X是一個隨機變量,求X的分布律.幾何分布隨機數(shù)演示圖形演示第二十三頁，共42頁。所以X服從幾何分布.說明

幾何分布可作為描述某個試驗“首次成功”的概率模型.解第二十四頁，共42頁。7.超幾何分布設(shè)X的分布律為

超幾何分布在關(guān)于廢品率的計件檢驗中常用到.說明圖形演示第二十五頁，共42頁。離散型隨機變量的分布兩點分布均勻分布二項分布泊松分布幾何分布二項分布泊松分布兩點分布三、小結(jié)超幾何分布退化分布幾種分布比較演示第二十六頁，共42頁。第二十七頁，共42頁。第二十八頁，共42頁。例從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件、一件地取產(chǎn)品.設(shè)每次抽取時,所面對的各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等.在下列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律.(1)每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢定后又放回這批產(chǎn)品中去在取下一件產(chǎn)品;(2)每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中;(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.備份題第二十九頁，共42頁。故X的分布律為解(1)X所取的可能值是第三十頁，共42頁。(2)若每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中時,故X的分布律為X所取的可能值是第三十一頁，共42頁。(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.故X的分布律為X所取的可能值是第三十二頁，共42頁。例為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費,配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題第三十三頁，共42頁。由泊松定理得故有即個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.故至少需配備8第三十四頁，共42頁。例6(人壽保險問題)在保險公司里有2500個同年齡同社會階層的人參加了人壽保險,在每一年里每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日付12元保險費,而在死亡時,家屬可在公司里領(lǐng)取200元.問(1)保險公司虧本的概率是多少?(2)保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少?保險公司在1月1日的收入是250012=30000元解設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則第三十五頁，共42頁。保險公司這一年里付出200X元.假定200X30000,即X15人時公司虧本.于是,P{公司虧本}=P{X15}=1-P{X<14}由泊松定理得P{公司虧本}(2)獲利不少于一萬元,即30000-200X10000即X10P{獲利不少于一萬元}=P{X10}第三十六頁，共42頁。分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例2第三十七頁，共42頁。解第三十八頁，共42頁。圖示概率分布第三十九頁，共42頁。解因此例3第四十頁，共42頁。JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBasel,Switzerland

Died:16