高中數(shù)學-1.1.2導數(shù)的概念數(shù)學高中教學設計學情分析教材分析課后反思

《導數(shù)的概念》教學設計（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）教學環(huán)節(jié)內(nèi)容師生活動設計意圖復習引入提出問題【回顧1】當運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進入水面的過程中，不同時刻的速度是不同的.假設t秒后運動員相對地面的高度為：，問在2秒時運動員的瞬時速度為多少？【回顧2】已知曲線C是函數(shù)的圖象,求曲線上點P處的切線斜率.【思考】對瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處？學生相互交流探討瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處.針對新概念創(chuàng)設相應的學生熟悉的問題情景，讓學生從概念的現(xiàn)實原型，體驗、感受直觀背景和概念間的關系，為學生主動建構新知提供自然的生長點.類比探索形成概念①歸納共性揭示本質(zhì)研究對象求解問題求解方法本質(zhì)思想具體例子物體運動規(guī)律H=h(t)物體在時的瞬時速度求時間增量求位移增量求平均速度求瞬時速度平均速度的極限極限思想曲線y=f(x)曲線上P點處切線的斜率求橫坐標增量求縱坐標增量求割線的斜率求切線的斜率割線斜率的極限極限思想一般情形函數(shù)y=f(x)函數(shù)在處的變化率？？？？？？【師生活動】將學生分成若干學習小組，以表格為載體為師生、生生互動搭起積極交流的探究平臺.教師巡視，鼓勵學生參與，對個別學有困難的小組加以指導.探究后，共同歸納得出：兩個問題的解決在方法、本質(zhì)、思想上都有相同之處.一個是“位移改變量與時間改變量之比”的極限，一個是“縱坐標改變量與橫坐標改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限.【設計意圖】給學生創(chuàng)設探究的平臺，分析瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，討論解決這兩個問題的方法、本質(zhì)、思想上有什么共同之處，引導學生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質(zhì)的思維通道.教學環(huán)節(jié)內(nèi)容師生活動設計意圖類比探索形成概念②類比遷移形成概念【思考】考慮求一般函數(shù)y=f(x)在點到+之間的平均變化率的極限問題，也就是怎樣計算函數(shù)在點處的變化率？引出導數(shù)定義后，回歸問題情景，反思概念的“原型”解釋“切線的斜率”、“物體的瞬時速度”的本質(zhì).引導學生利用求瞬時速度的方法和思想類比探究，猜想得出函數(shù)在點處的變化率=,并對猜想的合理性進行分析后，引出定義1：（函數(shù)在一點處可導及其導數(shù)）用具體到抽象，特殊到一般的思維方式，利用瞬時速度進行類比遷移，自然引出函數(shù)在一點處可導和導數(shù)的概念.由具體到抽象再回到具體的過程，感知上升到了理性，強化了對概念的理解.類比探索形成概念=3\*GB3③剖析概念加深理解【探討1】怎樣判斷函數(shù)在一點是否可導？判斷函數(shù)在點處是否可導轉化判斷極限是否存在轉化【探討2】導數(shù)是什么？描述角度本質(zhì)文字語言瞬時變化率符號語言圖形語言（切線斜率）組織學生閱讀“導數(shù)”定義，抓住定義中的關鍵詞“可導”與“導數(shù)”交流探討，然后通過師生互動挖掘這些概念之間的深層含義.分析導數(shù)的本質(zhì)后，同時簡單提及導數(shù)產(chǎn)生的時代背景.引導學生以數(shù)學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的理解、把握、運用為切入點去揭示概念的內(nèi)涵與外延，提高學生數(shù)學閱讀和自主學習的能力.讓學生感受數(shù)學文化的熏陶，了解導數(shù)的文化價值、科學價值和應用價值.教學環(huán)節(jié)內(nèi)容師生活動設計意圖類比探索形成概念【探討3】求導數(shù)的方法是什么？【例1】將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.讓學生類比瞬時速度的問題，根據(jù)導數(shù)定義歸納出求函數(shù)在點處導數(shù)的方法步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù).學生動手解答，老師強調(diào)符號語言的規(guī)范使用，對諸如忘寫括號的現(xiàn)象加以糾正.用定義法求導數(shù)是本課的重點之一.有了可導這個邏輯基礎，導數(shù)成為可導的自然結果，求導數(shù)的方法則是對導數(shù)概念的理解與應用.讓學生積極主動參與，進行有意義的建構，有利于重點知識的掌握.本題是教材上的一道例題.在學生建立起導數(shù)概念，明確用定義求導數(shù)的方法之后,進行強化訓練,滲透算法思想，加深對導數(shù)概念的理解，強化對重點知識的鞏固.引申拓展發(fā)展概念利用例1繼續(xù)設問，函數(shù)在處可導，那么，，這些點也可導嗎？從而引申拓展出定義2：（函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導）【探討1】函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，那么對于每一個確定的值,都有唯一確定的導數(shù)值與之相對應，這樣在開區(qū)間內(nèi)存在一個映射嗎？【探討2】存在的這個映射是否構成一個新的函數(shù)呢？若能，新函數(shù)的定義域和對應法則分別是什么呢？師生互動，共同探討歸納函數(shù)在開區(qū)間的每一點可導，每一點就有確定的唯一的導數(shù).這樣在開區(qū)間內(nèi)構成一個特殊的映射，這里的映射是數(shù)集到數(shù)集的映射，就是函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)。它的定義域是通過層層展開的探討，激活學生知識思維的“最近發(fā)展區(qū)”，引導學生主動將新問題與原認知結構中函數(shù)的相關知識相聯(lián)系，自然引入導函數(shù)概念，從而完成從函數(shù)在一點可導函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)的兩次拓展.教學環(huán)節(jié)內(nèi)容師生活動設計意圖引申拓展發(fā)展概念【探討3】怎樣求新函數(shù)的解析式？探討后引出定義3：（函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)）【例2】意圖：導數(shù)的實質(zhì)解釋開區(qū)間，對應法則是對開區(qū)間內(nèi)每一點求導.運用函數(shù)思想，只要把求一點處的導數(shù)替換成，就可以求出導函數(shù)的解析式.分學習小組讓學生動腦思考，動手“操作”，相互交流。書面總結出兩小問的區(qū)別與聯(lián)系，選出代表作品用投影儀全班交流.完善后，屏幕顯示形成共識：【區(qū)別】（1）函數(shù)在點處的導數(shù)，是在點處的變化率，是一個常數(shù)；（2）函數(shù)的導數(shù)是對開區(qū)間內(nèi)任意點而言，是在開區(qū)間內(nèi)任意點的變化率，是一個函數(shù).【聯(lián)系】一般而言，在處的導數(shù)就是導函數(shù)在=處的函數(shù)值，表示為，這也是求的一種方法.本例共兩個小問，第(1)小問是教材上的一道例題,第(2)小問是補充題.兩問都是求導數(shù)，但它們有本質(zhì)上的區(qū)別！學生容易產(chǎn)生混淆.通過此題讓學生辨清“函數(shù)在一點處的導數(shù)”、“函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)”與“導數(shù)”三者的關系.教學環(huán)節(jié)內(nèi)容設計意圖練習反饋鞏固概念練習：1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.2．設函數(shù)f(x)在x0處可導，則等于A.f′(x0) B.0C.2f′(x0)D.－2f′(x0)3．已知一個物體運動的位移S（m）與時間t（s）滿足關系S（t）＝-2t2+5t（1）求物體第5秒和第6秒的瞬時速度；（2）求物體在t時刻的瞬時速度；（3）求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？設計練習1，鞏固求導方法；設計練習2，通過適當?shù)淖兪接柧?，揭示概念的?nèi)涵，提高學生的模式識別的能力，培養(yǎng)學生思維的深刻性和靈活性；設計練習3，體驗實際應用，展示概念的外延，讓學生認識到數(shù)學來源于生活并應用于生活.通過練習，反饋學生對知識技能的掌握情況，以便及時調(diào)節(jié)教學，更好的達成教學目標.小結整理形成系統(tǒng)①知識層面：=2\*GB3②方法層面：用定義求導數(shù)的三個步驟=3\*GB3③思想層面：極限思想、函數(shù)思想、類比思想、轉化思想=4\*GB3④應用層面：舉出生活中與導數(shù)有關的實例（涉及變化率問題的問題可以考慮用導數(shù)解決）.引導學生從知識、方法、思想和應用四個層面進行小結，理清知識結構，提煉數(shù)學方法和領悟數(shù)學思想，培養(yǎng)應用意識.分層作業(yè)深化概念必做題：1.教材習題3.11、2、3、4、52.已知f(3)=2，則的值為（）（A）0 （B）－4（C）8 （D）不存在3.已知曲線C是函數(shù)的圖象（1）求點A(1,3)處的切線的斜率（2）求函數(shù)在x=1處的導數(shù)選做題：1.有條件的同學上網(wǎng)查閱有關微積分產(chǎn)生的時代背景和歷史意義的資料并交流討論.2.函數(shù)=|x|在x=0處是否可導？3.函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導是它在x=x0處連續(xù)的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條D.既不充分也不必要條件彈性的分層作業(yè)，照顧到各種層次的學生.補充的必做3，為下節(jié)課研究導數(shù)的幾何意義打下伏筆.可導與連續(xù)的關系，設計成選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發(fā)展.利用網(wǎng)絡，便于學生開展自主學習，拓展學習方式和平臺.（三）板書設計（板書附后）【設計意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識發(fā)展的主要線索，呈現(xiàn)完整的知識結構體系，用彩色粉筆突出重點，強化學生對新信息的納入，同時對新學的符號語言的規(guī)范使用進行示范.板書設計：辨析：f′(x0)與f′(x辨析：f′(x0)與f′(x)課堂小結函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)導數(shù)定義1定義2定義3函數(shù)在點x可導及導數(shù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導例1．。。。。。。。電子屏幕例2.。。。。。。。。。。課堂練習導數(shù)的概念（第三課時）布置作業(yè)布置作業(yè)《導數(shù)的概念》學情分析（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）學生已較好地掌握了函數(shù)的平均變化率及高一物理學中的平均速度、瞬時速度，并積累了大量的關于函數(shù)變化率的經(jīng)驗；另外，高二年級的學生思維較活躍，并具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力；對導數(shù)這一新鮮的概念，具有強烈求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度，這為本課的學習奠定了基礎．由于瞬時變化率就是導數(shù)，又是用平均變化率“無限接近”進行研究，而“無限”是非常抽象的，是學生首次接觸，要求學生既要具備一定的直觀感悟能力，又要具有較高的抽象思維能力，這是本節(jié)學習必備的認知基礎．從平均速度、瞬時速度到平均變化率、瞬時變化率，是將實例抽象為數(shù)學模型，是本節(jié)認識的第一次飛躍；由平均變化率用極限的思想方法刻劃瞬時變化率是本節(jié)思維與認識的第二次飛躍．第一次飛躍學生可完成，第二次飛躍借助幾何畫板的動態(tài)演示學生能初步感悟，但是對“是無限趨近于0，但始終不能為0”，學生不能自主或合作順利完成，需要教師在此充分發(fā)揮主導作用進行點撥．綜上分析確定本節(jié)的難點是：對極限思想的感悟及用平均變化率的極限刻劃瞬時變化率的科學性．突破策略為：用幾何畫板動態(tài)直觀演示以降低思維難度；多利用實例以降低抽象程度，強化對過程的感悟；給足時間讓學生充分合作交流；教師恰當精講點撥，用“動”來看“靜”．《導數(shù)的概念》效果分析（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）教學中充分發(fā)揮學生的主體和教師的主導作用。用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，以恰當?shù)膯栴}為紐帶，給學生創(chuàng)設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數(shù)概念，引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識再發(fā)現(xiàn)的過程。因此采用了引導發(fā)現(xiàn)式教學法。（1）教學設計上，把數(shù)學知識的“學術形態(tài)”轉化為數(shù)學課堂的“教學形態(tài)”，返璞歸真，從兩個反應概念現(xiàn)實原型的具體問題出發(fā)，讓學生像數(shù)學家那樣去“想數(shù)學”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程，體現(xiàn)了以學生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教。（2）在概念的教學過程中，與一般設想不同。如一般設想是“重結果，輕過程”，常常是直接給出一個定義，幾項注意后，就是大量變式訓練。本課的設計上注重過程教學，提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經(jīng)歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹?shù)闹R再發(fā)現(xiàn)過程，引導學生經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學概念發(fā)生、發(fā)展的探究過程，讓學生在參與中獲取知識，發(fā)展思維，感悟數(shù)學。（3）教學過程中，以三種不同數(shù)學語言的識別、理解、組織、轉換為切入點，組織學生進行數(shù)學閱讀，培養(yǎng)自主學習的能力。借助于多媒體，直觀顯示而引起平均速度的系列變化，讓學生從“數(shù)”的角度領悟極限思想，通過割線變切線的動態(tài)過程，讓學生從“形”的角度領悟極限思想。從而，更好地揭示導數(shù)的本質(zhì)。（4）教學中，對不同層次的學生，提出不同的教學要求，采取不同的教學方法進行情感激勵。對學有困難的學生更多地給予幫助和肯定，以激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣和信心。根據(jù)不同學情，把可導與連續(xù)的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發(fā)展，尊重了學生的個體差異，讓每位學生的數(shù)學才能都能獲得較好的發(fā)展。（5）教學中，努力以數(shù)學文化滋養(yǎng)課堂。讓學生了解導數(shù)的科學價值、文化價值和基本思想，體會到數(shù)學的理性與嚴謹，激發(fā)起對數(shù)學知識的熱愛，養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度。同時，培養(yǎng)學生正確認識量變與質(zhì)變、運動與靜止等辯證唯物主義觀點，形成正確的數(shù)學觀。以上的教學設計，符合學生認知規(guī)律，促進了個性化學習，有利于教學目標的落實。《導數(shù)的概念》教學反思（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）本節(jié)課在教學方法的選擇上，充分尊重學生認知事物的基本規(guī)律，強調(diào)教師的啟發(fā)與學生的參與度，給學生操作感知、觀察發(fā)現(xiàn)的時間充分．由于技術的介入，大大方便了學生獲得導數(shù)概念的表象，因此學生通過表象抽象出導數(shù)概念的過程自然到位，并且能幫助學生更準確地理解導數(shù)的本質(zhì)．一個概念的形成是螺旋式上升的，對新概念的抽象不僅是對結果的抽象，更是對方法和過程的抽象.本課設計上，把數(shù)學知識的“學術形態(tài)”轉化為數(shù)學課堂的“教學形態(tài)”，返璞歸真，從兩個反應概念現(xiàn)實原型的具體問題出發(fā)，引出函數(shù)在一點處的導數(shù)再到開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，引導學生經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學概念發(fā)生、發(fā)展的探究過程.提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經(jīng)歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹?shù)闹R再發(fā)現(xiàn)過程，教師作為學生學習的組織者、引導者、合作者創(chuàng)設機會和空間，激活學生思維的最近發(fā)展區(qū)，倡導學生積極參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識，培養(yǎng)能力.把可導與連續(xù)的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構,《導數(shù)的概念》教材分析（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）1.本節(jié)內(nèi)容：《導數(shù)的概念》這一小節(jié)分“曲線的切線”，“瞬時速度與瞬時加速度”，“導數(shù)的概念”，“導數(shù)的幾何意義”四個部分展開，大約需要4個課時．第一、二課時學習“曲線的切線”，“瞬時速度”，今天說的是第三課時的內(nèi)容導數(shù)概念的形成.2.導數(shù)在高中數(shù)學中的地位與作用：“導數(shù)的概念”是全章核心.不僅在于它自身具有非常嚴謹?shù)慕Y構，更重要的是，導數(shù)運算是一種高明的數(shù)學思維，用導數(shù)的運算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數(shù)上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數(shù)學中的不少問題；導數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經(jīng)濟學等其它學科和生產(chǎn)、生活的各個領域都有廣泛的應用.導數(shù)的出現(xiàn)推動了人類事業(yè)向前發(fā)展.3.導數(shù)學習的必要性導數(shù)是微積分學的核心概念之一，導數(shù)是導函數(shù)的簡稱，本質(zhì)仍是函數(shù)，其實也就是微商．導數(shù)不僅是數(shù)學知識，也是一種數(shù)學思想，也蘊含著函數(shù)思想和極限的思想方法，本節(jié)內(nèi)容的核心是用平均變化率的極限來刻劃瞬時變化率，從課標要求與教材的編寫看，淡化了極限的形式化定義，不把導數(shù)作為一種特殊的極限來處理，而是直接通過實例來反映導數(shù)的思想和本質(zhì)，因此，讓學生充分體驗“極限的過程及研究的思想方法”為本節(jié)課的重點．導數(shù)屬于事實型知識——函數(shù)的瞬時變化率是客觀存在的，用平均變化率的極限來刻劃，并用形式化的極限符號表示只是我們研究導數(shù)的方法．導數(shù)為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段，具有將復雜問題歸納為簡單規(guī)則和步驟的非凡能力，不僅是研究初等函數(shù)最有效的工具，還是研究微積分學的必備基礎，也是研究各種科學的工具，黎曼曾說過“只有在微積分發(fā)明之后，物理學才成為一門科學”．變量和函數(shù)在自然界和社會中有著幾乎地處不在的實際背景，所以高中學生不論他將來是否進入高校學習，都應學習導數(shù)及其應用的內(nèi)容，并應用它考察和理解實際現(xiàn)象中的變化．毫不夸張地說，不學或未學懂微積分，學生思維難以達到較高的水平，從某種意義上看，對導數(shù)所蘊含的數(shù)學思想方法的研究價值，遠高于對其知識的學習．通過本課導數(shù)概念的形成過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟“逼近”思想、數(shù)形結合思想和函數(shù)思想，進一步體會數(shù)學的本質(zhì)．《導數(shù)的概念》評測練習（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1，2)及鄰近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則為A．Δx＋＋2B．Δx－－2C．Δx＋2D．2＋Δx－2．物體自由落體運動方程為s(t)＝gt2，g＝9．8m/s2，若＝g＝9．8m/s，那么下面說法正確的是A．9．8m/s是0～1s這段時間內(nèi)的平均速度B．9．8m/s是從1s到1＋Δs這段時間內(nèi)的速度C．9．8m/s是物體在t＝1這一時刻的速度D．9．8m/s是物體從1s到1＋Δs這段時間內(nèi)的平均速度3．已知曲線y＝x＋，則y′|x＝1＝________．4．已知函數(shù)f(x)在x＝a處可導，且f′(a)＝A，求．思考：請你根據(jù)對導數(shù)概念的理解，命制2-3道類似題目。5．動點沿x軸運動，運動規(guī)律由x＝10t＋5t2給出，式中t表示時間(單位s)，x表示距離(單位m)，(1)當Δt＝1，Δt＝0．1，Δt＝0．01時，分別求在20≤t≤20＋Δt時間段內(nèi)動點的平均速度．(2)當t＝20時，運動的瞬時