高中數(shù)學(xué)-三角函數(shù)的定義教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE3PAGE教學(xué)設(shè)計(jì)分三個(gè)層次：銳角任意角靜態(tài)動(dòng)態(tài)平面圖形平面直角坐標(biāo)系環(huán)節(jié)一、溫故知新，創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)1：任意角的概念？象限角的概念？設(shè)計(jì)意圖：對(duì)任意角的概念的理解和掌握是本課的一個(gè)基礎(chǔ)。而象限角則是在直角坐標(biāo)系中研究角的基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)2：這種角生活中常見嗎？你能舉幾個(gè)實(shí)例嗎？學(xué)生舉例：摩天輪、水車、表設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，找到生活中數(shù)學(xué)的影子，創(chuàng)設(shè)情境。環(huán)節(jié)二、問題導(dǎo)引，概念形成問題：能否建立合適的數(shù)學(xué)模型來刻畫這種運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象呢？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的思維意識(shí)，也體現(xiàn)了生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。分解問題1：如何在直角三角形中定義銳角三角函數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：通過提問的方式進(jìn)行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生明確角的正弦值、余弦值和正切值分別等于三角形的各邊長之比。分解問題2：你能借助直角坐標(biāo)系研究銳角三角函數(shù)定義嗎？師生活動(dòng)：教師提問，找一位同學(xué)回答。學(xué)生通過在角終邊上取一點(diǎn)P（x,y），從點(diǎn)P向x軸引垂線，構(gòu)造直角三角形發(fā)現(xiàn)，銳角的三角函數(shù)值可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)之比來表示，即設(shè)計(jì)意圖：將銳角三角函數(shù)放到坐標(biāo)系中討論，其目的是完成從三角形到坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，為后面在直角坐標(biāo)系中定義任意角的三角函數(shù)搭建平臺(tái)。同時(shí)讓學(xué)生初步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。分解問題3：銳角的三角函數(shù)值與所選的點(diǎn)在終邊上的位置有關(guān)嗎？分解問題4：為銳角時(shí)，能否說是關(guān)于的函數(shù)？師生活動(dòng)：這兩個(gè)問題，讓學(xué)生分組討論，然后分小組展示成果，同時(shí)教師借助多媒體給出結(jié)論:當(dāng)確定后，比值也是唯一確定的，與點(diǎn)P在角終邊上的位置無關(guān),同時(shí)明確這是一種函數(shù).設(shè)計(jì)意圖：通過小組討論,學(xué)生會(huì)意識(shí)到個(gè)人目標(biāo)與小組目標(biāo)之間是相互依賴關(guān)系，使學(xué)生領(lǐng)悟事物之間是相互依存的，同時(shí)也學(xué)會(huì)更加尊重他人、傾聽他人，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)合作意識(shí)。分解問題5：你能否借助銳角三角函數(shù)的定義將其推廣到任意角的三角函數(shù)？直接給出三角函數(shù)定義，完成從銳角到任意角的轉(zhuǎn)化。師生活動(dòng)：從定義的形式上引導(dǎo)讓學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)中的比例美。思考1：你能將任意角的三角函數(shù)定義與銳角三角函數(shù)定義做一下比較嗎？設(shè)計(jì)意圖：定義可以由教師明確給出，關(guān)鍵是讓學(xué)生理解其合理性，理解概念的背景和生成過程。師生活動(dòng)：讓學(xué)生帶著問題分組討論，加強(qiáng)對(duì)定義合理性的理解。教師再以多媒體展示，角的終邊分別落在二、三、四象限時(shí)，角的三角函數(shù)值也可以用點(diǎn)的坐標(biāo)之比來表示。展示一下數(shù)學(xué)史素材：三角函數(shù)的探索發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷史時(shí)期，我國的許多數(shù)學(xué)家做出了卓越貢獻(xiàn)，其中清代民族大團(tuán)結(jié)時(shí)期著名蒙古族數(shù)學(xué)家明安圖耗盡30年心血，撰成《割圓密率捷法》初稿，創(chuàng)造性地采用“割圓速比例法”，完整地證明了三個(gè)有關(guān)三角函數(shù)的解析公式，把中國數(shù)學(xué)研究推到了一個(gè)新的高度。思考2：你能確定這些函數(shù)的定義域嗎？師生活動(dòng)：通過提問，由學(xué)生給出結(jié)論。環(huán)節(jié)三、鞏固應(yīng)用，能力提升例1已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2、-3），求六個(gè)三角函數(shù)值。師生活動(dòng)：學(xué)生到黑板板書，教師進(jìn)行規(guī)范性指導(dǎo).設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這道例題有兩層目的，第一層讓學(xué)生通過求解鞏固定義，第二層讓學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的符號(hào)問題。提出思考：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)是什么？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)規(guī)律：由學(xué)生總結(jié)成形象的識(shí)記口訣“一全正，二正弦，三為切，四余弦”。設(shè)計(jì)意圖：通過這種方式，可以讓學(xué)生快速記清三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律。例2：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)(1,0)出發(fā)在單位圓上按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若經(jīng)過的弧長為x，試用x表示質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)。如果你坐在摩天輪上，是否也能算出你所處位置的坐標(biāo)？師生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生思考后回答設(shè)計(jì)意圖：這一例題的設(shè)置，既是對(duì)定義的逆運(yùn)用，又回扣情境設(shè)置,再次體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活,服務(wù)于生活。環(huán)節(jié)四、反思小結(jié)，知識(shí)升華這節(jié)課你有哪些收獲：1.知識(shí)內(nèi)容2.思想方法環(huán)節(jié)五、分層作業(yè)，自主學(xué)習(xí)必做題：練習(xí)A3、4；選做題：練習(xí)B4、5；探索與研究：三角函數(shù)值相同的角一定相等嗎？這些角的終邊是什么關(guān)系？角又是什么關(guān)系？你能利用三角函數(shù)定義探究三角函數(shù)的性質(zhì)嗎？六、設(shè)計(jì)說明板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的定義一、溫故知新二、概念形成三角函數(shù)定義三、鞏固應(yīng)用四、反思小結(jié)五、分層作業(yè)時(shí)間安排教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)間分配復(fù)習(xí)引入5分鐘概念形成20分鐘能力形成15分鐘反思小結(jié)4分鐘布置作業(yè)1分鐘本節(jié)課設(shè)計(jì)緊湊，通過問題串環(huán)環(huán)相扣突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)了于生活中提煉，在抽象中思考，從數(shù)學(xué)中感悟，到生活中應(yīng)用。任意角的三角函數(shù)評(píng)測(cè)練習(xí)1.(1)已知角a終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，）求角a的六個(gè)三角函數(shù)值。(2)已知角α的終邊過點(diǎn)P(2a，-3a),求α的正弦、余弦、正切.(3)已知角600°的終邊上有一點(diǎn)P(-4，a)，求a的值.2.求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值：（1）；（2）；（3）．3.判斷下列各三角函數(shù)的符號(hào)：（1）4.已知5.已知角終邊落在y=-x上，求各三角函數(shù)值。從學(xué)生做的評(píng)測(cè)練習(xí)情況來看，學(xué)生這節(jié)課的聽課效果還不錯(cuò)，定義掌握的挺扎實(shí)，基本應(yīng)用都沒問題。但涉及到分象限的問題就有同學(xué)開始考慮不周全，這四份卷子中就有一位同學(xué)在第5題中沒有意識(shí)到要分象限，而是依然按照定義任取一點(diǎn)，說明他對(duì)角的定義其實(shí)并沒有掌握扎實(shí)，角是由射線構(gòu)成的圖形，而不是直線，這也是為什么這節(jié)課一開始我首先設(shè)置復(fù)習(xí)一這一環(huán)節(jié)的目的，因?yàn)檫@節(jié)的基礎(chǔ)就是角的概念和象限角的概念，如果概念不清，那么很多問題也就搞不清楚了。再一個(gè)普遍性的問題，就是含參討論問題。在第2題的第2小問中，點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參變量a，而a的符號(hào)并不明確，但學(xué)生都想當(dāng)然的認(rèn)為它是正的，沒有進(jìn)行分類討論因而導(dǎo)致錯(cuò)誤。說明學(xué)生的含參討論意識(shí)還不強(qiáng)，當(dāng)然這是任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，還沒涉及更深的內(nèi)容，這道題也是我有意加上的，就想看看在我還沒講這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生能不能把在函數(shù)中類似的應(yīng)用潛移默化拿過來用，因?yàn)榈览硎窍嗤ǖ?，函?shù)中做過這方面的訓(xùn)練。但事實(shí)證明，學(xué)生的這種能力還需強(qiáng)化訓(xùn)練，自覺的遷移能力還不具備，這也是下節(jié)課需要重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容之一。還有一位同學(xué)出現(xiàn)了0做分母時(shí)用無窮來表示的情況，在高中數(shù)學(xué)階段，0是不能做分母的，0做分母無意義，此時(shí)我們都說是無意義的。當(dāng)然在極限中會(huì)有0/0型，那個(gè)以后會(huì)講到，這里就不再展開了。教材分析任意角的三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的延襲和擴(kuò)張，是函數(shù)的下位概念，也是刻畫圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，是其他所有知識(shí)的出發(fā)點(diǎn),有著重要地位。三角函數(shù)的定義是在初中對(duì)銳角三角函數(shù)的定義以及剛學(xué)過的“角的概念的推廣”的基礎(chǔ)上討論和研究的，定義對(duì)象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù)；定義媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系，使學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上發(fā)生了很大變化。課后反思本節(jié)課為概念新授課，新課標(biāo)要求，概念教學(xué)要努力揭示概念的發(fā)生、發(fā)展過程，因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，我給出了一系列“問題串”，導(dǎo)引學(xué)生由淺入深逐步探究。當(dāng)然，如果問題太多也容易造成層次感不強(qiáng)，為了避免這種情況發(fā)生，我對(duì)問題進(jìn)行了分類：首先是復(fù)習(xí)引入類的，第一個(gè)問題的目的是為本節(jié)課內(nèi)容的順利進(jìn)行做好鋪墊，而第二個(gè)問題則一方面可以讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，體會(huì)“數(shù)學(xué)源于生活”，同時(shí)也可以引出本節(jié)的主要問題“能否建立合適的數(shù)學(xué)模型來刻畫這種運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象呢？”。其次是核心問題類。為了突出層次，我把問題分成主問題和分解小問題，由主問題“能否建立合適的數(shù)學(xué)模型來刻畫這種運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象呢？”提綱挈領(lǐng)，而五個(gè)分解問題則是圍繞主問題服務(wù)，這樣層次分明，學(xué)生不容易思維混亂。通過前四個(gè)分解問題將銳角三角函數(shù)中存在的問題一一解決，并能從中感受到初高中定義的區(qū)別與聯(lián)系，從而為問題五的解決鋪平了道路。這樣一個(gè)過程，讓學(xué)生充分參與分析和討論，可以讓學(xué)生體會(huì)到一個(gè)概念可能是如何形成的，在生成的過程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思，有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解。再次是定義加深型。在分解問題五之后分別給出兩個(gè)問題：第一個(gè)問題“你能將任意角的三角函數(shù)定義與銳角三角函數(shù)定義做一下比較嗎？”是為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)定義的理解，理解其合理性，理解概念的背景和生成過程，理解概念的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和一般性。第二個(gè)問題則引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用定義解決問題。最后是例題升華型。針對(duì)例一的問題將例一的作用從單一的鞏固定義上升到了鞏固定義加引出三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律雙重作用，可謂“一箭雙雕”。另外，兩道例題貌似簡(jiǎn)單，其實(shí)既符合初學(xué)者的狀態(tài)，又從正用逆用兩個(gè)方面對(duì)定義加以鞏固，效果良好。而且例二也很好的呼應(yīng)了上課之初學(xué)生提到的摩天輪的例子，將課堂的每一個(gè)例子都用到實(shí)處。在鞏固練習(xí)之前加的簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)史，既調(diào)節(jié)了課堂氣氛，又增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為更加努力的學(xué)習(xí)三角學(xué)知識(shí)提供了動(dòng)力。通過鞏固練習(xí)，可以看出學(xué)生這堂課掌握的情況，利用投影儀可以高效地指出學(xué)生做題過程中出現(xiàn)的優(yōu)缺點(diǎn)。本節(jié)課設(shè)計(jì)緊湊，通過問題串環(huán)環(huán)相扣突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。實(shí)現(xiàn)了于生活中提煉，在抽象中思考，從數(shù)學(xué)中感悟，到生活中應(yīng)用。課標(biāo)分析依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，制定課程目標(biāo)如下：1、知識(shí)與技能目標(biāo)：理解任意角的三角函數(shù)定義的合理性，了解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，掌握三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義域及在各象限的