linear3 2行列式的性質(zhì)及應(yīng)用

第三章3.1行列式的3.2行列式的性質(zhì)及 （Cramer）3.4行列式的3.5應(yīng)用實(shí)3.63.1行列式的定 二、三階行列式的：1 號(hào) 式： 其值規(guī)定 a

把a(bǔ)11,a22的連線稱為二階行列式的主例 在平面上有一個(gè)平行四邊形A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別b1a2b2，如3.1所示，求平行四邊形OACB圖3.1 SOEDBSCDBSAEOSAEDC SOEDB

a1b2（3-根據(jù)二階行列式的定義，該平行四積剛好是以A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)所構(gòu)成的二式： a 例3.3求下面三元線性方程a11x1a12

a13x3 x aa

x

解：利用消元法可以得a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32b1a22a33a12a23b3a13b2a32a13a22b3a12b2a33b1a23（3- 的定義，我們

是一個(gè)三階行

（3-圖3.2給出了它的圖示計(jì)算規(guī)則（稱為法）圖3.2有了三階行列式的定義，我們可以把式3）寫(xiě)為

x1

當(dāng)方程組（3-2）的系數(shù)行 D

n階行列式的把三階行列式定義式（3-4）改寫(xiě)為如

則有

a23a32a12

a23a31a13

a22a31

aa aa

（3-

23a

23 a a

定義3.1在n階行列式中，劃去元素aij所在的構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的式記作Mij，稱為元素aij的代數(shù)式。根據(jù)定義3.1，可以把式（3-5）

a11A11a12A12a13定義 由n2個(gè)數(shù)組成的n階行列 D

是一個(gè)算式，當(dāng)n1 an D ；當(dāng)n2nDa11

a12

a1n

a1kA1k（3-定義

行列式定義的進(jìn)一步由n個(gè)自然數(shù)1、2、3、…、n的一個(gè)有序數(shù)組，稱為一個(gè)n元排列（或自然排列定義3.4一個(gè)排列中任排列的逆序數(shù)記i1i2Linn2個(gè)數(shù)組成n階行列式： a12

ppL

p1p2Lp

1 a1pa2 L

an 1 2 n其中p 是一個(gè)元排列，1 2 np1p2 p所有n元排列（n！個(gè)）求和例 寫(xiě)出四階行列式中含有a11a32的項(xiàng)a11a32項(xiàng)a11a2xa32a4y列有 和 種情況，1324逆序數(shù)為1，1423逆序數(shù)為則四階行列式中含有a11a32的項(xiàng)為a11a23a32a44和a11a24a32a43 矩陣與行列式的當(dāng)討論的矩陣A是方陣時(shí)，把A的一對(duì)記作 或detA例證明n階下三角矩陣

aa

an

nn a11a22Lann時(shí)，結(jié)論顯然成detA

11

納假設(shè)得：detAna11a22L ann同理可證，n階對(duì)角矩陣的行列式（也稱n對(duì)角行列式）O

a11a22La3.1.5行列式按行（列）定理3.1n階行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式乘積之和，Dai1Da1j

ai2Aia2jA2

LainLanj

aiknknnakjnk

i1,2,L,j1,2,L,210632002351210632002351100D

0

2 行列式的性質(zhì)及應(yīng)性質(zhì)

行列式的行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列DT行列式的轉(zhuǎn)置和矩陣的轉(zhuǎn)置概念相 2

n n

ina1iA1ja2iA2jLaniAnjakiAkjn

i例3.7已知四階行列 的代 式） 構(gòu)造行列 ，行列式D1按第01001060000201234A412A423A434A44D1＝

＝2

（列）的所有元素同乘以數(shù)k下列行列式的第一行和第三行所有26822762682276397910具體拆分方法用4階行列式說(shuō)明如性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的各元素乘 方陣行列式的A kAkn

A=AA 方陣可逆的充要定義3.6

,

式為Aij，則稱矩 為A的伴隨矩陣。記為adj(A)，或A*。伴隨矩陣的重要性質(zhì)：Aadj(Aadj(AAA定理3.2n階方陣A為可逆矩陣的充要條件是A0。當(dāng)A可逆時(shí)，A11adj(A) A證：充分性A0 AAadj(AAadj(AA

故結(jié)論成 必要性，設(shè)A可逆，有AA1I，兩邊同取行列式A A1I1，故A0推論若A和B為同階方陣，且滿ABI，則BA=I，即矩陣A和矩陣B互逆。 6例3.8判斷三階方陣A

2，是否可若可逆A

解：

A1280，所可逆。

中各素的代 式分別

A11A13

12

A21

A31 A32

則：A11adj(A

6 20 128

例3.9設(shè)A為n階可逆方（1adj(A)（2）adj(A)

A證：（1）因?yàn)榫仃嘇為可逆方陣，則 又根據(jù)伴隨矩陣Aadj(A)=adj(A)A=AA Aadj(Aadj(AAA adj(A)

1A Aadj(A) A O

AnIAA又因?yàn)榫仃嘇為可逆方陣，則 故 adj(A)A（Cramer）法討論用行列式來(lái)求解含有n個(gè)方程n個(gè)變線性方程

a11x1a12

La1nxn x

L

（3-

L

Lannxn方程組（3-7）也可以寫(xiě)成矩陣Ax

（3-

a1n

b1

x1

b

xA

2n

b2

x2 L

b

x

nn

n n

A，稱為方程組（3-7）的系數(shù)法則）（3-7）x1D

，…x

D

（3-其中Djj12L,nDj列的元素用第j把常 稱為齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組推論1對(duì)于n×n齊次線性方程Ax0，當(dāng)系數(shù)行列式A0時(shí)x0只有一個(gè)零解。推論2若n×n齊次線性方程Ax0，有非零解，則必A0。(2)x14x22x1例3.10已知齊次線性方4x1(2)x22x32x2x(1)x有非零解，問(wèn)應(yīng)取何值

42c3

按r2展開(kāi)223)202-2+7得：＝2行列式的計(jì)3.4.1行列式的筆算其他還有加邊法、法、遞推法、數(shù)學(xué)歸6665693666569321124D 4r2 Dr1r4 3r2(1) 12r4 24r3 2411240163r4100163004 2411240163r410016300400400000r3r4

例3.13

aaaaaaaaaaa a a a a

證：利用行列式性質(zhì)及行列式按列展開(kāi)（質(zhì)法、展開(kāi)法 a a3 aaaaa a3 2aa aa a

a2a a

a a a a 2r3a2r2 a a a 2 a

aaaa a按第一列展開(kāi)a

并提取公因子

a2

a2 a2a1a3a1a4a1a3a2a4a2a4a3此例中的四階行列式，稱為四階（VanderMonde）行列式,n階 行

a a

a aiaj aaL aaL

1jiaa

1Dn

NNnn 列（n-1,n-2,…,2,1,n）的逆序數(shù)確定該

Dn

(n1)(n2 n例計(jì)算5階行列0000120300D500456780009000解：由分塊矩陣行列 O

O1

1mnA 0

85

D

0 0 0按c1展開(kāi)

4D44D5D43D4

D3

2 25345 5345

D D5D435

32333435例3.17AB均為n階方陣，A求

B解：

kn

ABAA

A*

A則有3A*B

3nA*B

3n An1B532n 0例3.18設(shè)矩陣A

2B A*BAAA的伴隨矩陣，求 解：

A兩邊取行列式，有：33I B而IA

2

則B B(a13a2,a22a3,a3a1)，求 解：根據(jù)分塊矩陣的乘法概B(a13a2,a22a3,a30 0(a1,a2,a3)

1A 5(5) 3.4.2 計(jì)算行列的行列式等于-1。det(E1)=-1 的行列式等于k。det(E2)=k (3-12） E3iA=

(3-由于初等變換矩陣都是可逆的，其乘積也A=L*

(3-det(A)=det(L)*det(U)=其調(diào)用格式[L,U]=lu(A)為方另一種調(diào)用格式能同時(shí)給出真正的陣L和交換矩陣P,[L,U,P]=此時(shí)，它滿 P*A= （3-三．求出上三角方陣的行由(3-15）式知道，det(U)決定了det(A)的絕n在不計(jì)正負(fù)號(hào)的時(shí)候，可以n =det(U)=uiii= 語(yǔ)句表示 其調(diào)用格式為：D=det(A)這個(gè)函數(shù)要求輸入變?cè)仨殤?yīng)用實(shí)的行

22A55

解：列出程

dU

分解為上三角矩陣U和準(zhǔn)下三角矩陣取上三角矩陣U 程序運(yùn)行的結(jié)果 L= 0

10.0000 1.0000 7.4000U 000000000

12.8750

9.04171.1235dU D5.9720e003如下 如下 A 1/101/11

2 2 ,b1 ,b2 2

2 解： 寫(xiě)出程序ea344如下x1=inv(A)*b1,x2=inv(A)*b2dx=x2-x1,db=b2-b1程序運(yùn)行的結(jié)果

21

,db

為了定量地分析解的誤差和可信度，應(yīng)//dx/

cond(A)db/

cond(A)

（3- 6例3.16設(shè)A 9，求其逆陣V 9A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],運(yùn)行后得到警告Warning:MatrixisclosetosingularorbadlyResultsmaybeinaccurate.RCOND V1.0e15 1.6888det(A)=0，故它是一個(gè)奇異矩陣，其逆不存 3.5.3用逆陣進(jìn) 編譯[5,8,10,21,7,2,10,8,3]。5代表S，8E，…等等用矩陣乘法來(lái)對(duì)這個(gè)消息進(jìn)一步加

1

A

A1

也組成一個(gè)

B

8 8 3AB

215378

3

所以發(fā)出的消通過(guò)以下的變換可以解出原來(lái)的消 1 29