《1.1.1 正弦定理》教學設計

PAGEPAGE11附件1-4第二屆湘西州中小學青年教師教學競賽教學設計表學：高中 科：數(shù)學 編： （委會寫）標題1.1.1正弦定理學情分析此前，學生已經(jīng)有了有關三角形邊角關系的感性認識，即任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，并且在初中比較深刻地研究了直角三角形中邊與邊的關系，即勾股定理，但對三角形中邊與角的關系的準確量化還缺乏認識.雖然學生有一定的觀察分析、解決問題的能力，但對他們來說前后知識間的聯(lián)系、理解、應用有一定難度，尤其是學生對一般三角形中的邊與角的關系由直觀表象上升到抽象公式有相當大的難度.因此，根據(jù)以上特點，本節(jié)教學應讓學生經(jīng)歷“觀察—類比—猜想—證明—應用”的過程，讓學生充分領會從特殊到一般，從直觀到抽象的知識形成過程，增強學生的數(shù)學思維能力，形成實事求是的科學態(tài)度.教學目標知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、推導、比較、由特殊到一般歸納出正弦定理；在探究學習的過程中，認識到正弦定理可以解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題，幫助學生提高運用有關知識解決實際問題的能力.情感、態(tài)度與價值觀：通過對三角形邊角關系的探究學習，經(jīng)歷數(shù)學探究活動的過程，培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新意識；通過本節(jié)的學習和實踐，體會數(shù)學的科學價值、應用價值，進而領會數(shù)學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化素養(yǎng).教學重難點教學重點：正弦定理的猜想與證明；正弦定理的簡單應用.教學難點：正弦定理的探索及證明.教學過程（一）創(chuàng)設情境，提出問題在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想，不禁會問，遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？其實，早在1671年，法國著名天文學家拉朗德和他的學生拉卡伊就測出了地球與月球之間的距離.他們當時利用幾乎位于同一子午線的柏林與好望角,與月球上的一點，在當時的科學技術條件下，只能測出之間的距離以及和的大小.兩位天文學家就僅僅用這三個條件就計算出了地球與月球之間的距離.問題1：兩位天文學家是怎么計算出地球與月球的距離？問題2：同學們觀察圖1，你們可以抽象出一個數(shù)學問題嗎？已知有哪些？要求解什么？圖1學情預設：已知在中，已知邊的長，以及和的大小，求或的長．問題3：我們由實際問題轉化成了數(shù)學問題，抽象得到了圖2的三角形，這個三角形我們直接求解不出來，該怎么辦？圖2問題4：很明顯在這個問題中涉及到三角形的邊角關系.三角形的邊角關系有哪些？這樣的定性結論已經(jīng)不能滿足要求，所以要探究其定量關系.學情預設：在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角設計意圖：創(chuàng)設地月距離的問題情景，提出相應的問題串，引導學生從天文學的應用角度，初步感知新知所蘊含的強大應用價值和科學價值．設置探索三角形邊角關系的環(huán)節(jié)，為本節(jié)課的任務挖掘出“正弦定理”作鋪墊.另一方面，引導學生從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學問題，調(diào)動學生的數(shù)學興趣，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).（二）問題初探，提出猜想問題1：三角形以角來劃分，有哪些類型的三角形？學情預設：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形問題2：直角三角形中存在哪些邊角數(shù)量關系？學情預設：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半，三角函數(shù)等.教師活動：展示,由學生對問題2的回答引導其發(fā)現(xiàn)在中有這一美妙的邊角數(shù)量關系，帶領學生共同感受所得關系的簡潔、對稱、統(tǒng)一之美.問題3：上述結論在一般三角形中是否也成立？學情預設：在銳角三角形和鈍角三角形中也成立.設計意圖：以學生已有的知識經(jīng)驗為基礎,引導學生建立新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系,便于學生完成對新知識的遷移.帶領學生感受數(shù)學美是一項潛移默化的長期任務，應借此培養(yǎng)他們主動感受和挖掘更多數(shù)學美的習慣，并鼓勵學生發(fā)散思維，從而引入下一環(huán)節(jié).教師活動：將研究對象由特殊延伸到一般、由直角三角形推廣至一般三角形,引導學生通過觀察幾何畫板所展示的任意構造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角形所對應的每組邊與所對應角的正弦值比值的特點.設計意圖：由三角形有成千上萬來初步凸現(xiàn)分類討論的必要性；并利用幾何畫板展示素材的直觀性、任意性、可測性等優(yōu)點,通過直觀的“形變神不變”和分情況演示證實關系可能在一般三角形中成立,從而加強學生的猜想.（三）深入思考，證明猜想問題1：要確認結論是否成立單靠猜想還不夠，應該證明.如何證明?如何將銳角和鈍角三角形跟直角三角形聯(lián)系起來?學情預設：作高設計意圖：引導學生利用化歸的思想，通過作輔助線的方法，把非直角三角形轉化成直角三角形.注意引導學生準確地判斷出“作高”，“作高”是衡量其能否將一般情形轉化為前面已得證的特殊情形的關鍵.通過設置問題滲透分類討論的思想，體驗定理的探究、證明以及定理的應用的聯(lián)系，從而形成數(shù)學定理．問題2：作高后如何將高與三角形的邊和角聯(lián)系起來?需要作多少條高便可證明出結論?學生活動：1、2組嘗試銳角三角形的證明,3、4組嘗試鈍角三角形的證明,帶著提供的思考問題和提示,共同探討并證明銳角和鈍角三角形的情況.教師活動：教師巡視,必要時給予啟發(fā)指導,尋找能夠證明出來的同學,請兩位同學分別代表小組分享證明思路,由學生展示證明情況,由教師詳細板演,強調(diào)思路的關鍵點.設計意圖：作高法是學生從認知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法,符合學生的認知水平發(fā)展.分組讓學生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況,可提高學生課堂的參與度,確保學生的主體地位.由于此方法與教科書所涉及的方法大同小異,是面向全體學生的證明過程，且為了讓學生更好地體會數(shù)學證明的邏輯演繹過程,采用學生表述、教師板演,以更好地讓大多數(shù)學生理解掌握.（四）歸納概括，得到定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.解三角形：一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.教師活動：簡單介紹與正弦定理相關的數(shù)學文化關于正弦定理的發(fā)現(xiàn)歷史，一般認為是中世紀阿拉伯數(shù)學家、天文學家阿布瓦法（Abul-Wefa，940-998）提出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的證明最先是納綏爾丁-圖西（Nasiral-Dinal-Tusi,1201-1274）給出的．我國清代數(shù)學家梅文鼎（1633-1721）在他的著作《平三角舉要》中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整形式．設計意圖：通過滲透數(shù)學史的內(nèi)容，激發(fā)學生學習科學文化知識的熱情，體會到數(shù)學的發(fā)展歷程中，所有的數(shù)學人，不分國界，不分時代，共同推動著數(shù)學不斷向前．（五）強化理解，簡單應用教師活動：回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問題，教師與學生共同探討解題思路，尋找隱含條件，應用定理解決問題。設計意圖：通過解決課前提出的實際問題，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識，而且課堂整體前后呼應，渾然一體．例1：在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=30°,B=45°,a=6cm，解三角形.例2：在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=30°，a=1，b=cm，解三角形.注意：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，注意解的情況有時有一解，有時有兩解，有時無解.問題：正弦定理在解三角形問題中能解決哪幾類問題？學情預設：(1)已知三角形兩個角和一條邊,求其它邊和角；(2)已知三角形兩條邊和其中一邊的對角,求其它邊和角.設計意圖：通過例題的分析與講解，進一步深化對正弦定理的認識和理解，并通過教師的板演進一步加強學生解題的規(guī)范性.（六）練習反饋，鞏固提高1、在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=30°,C=45°,b=10cm，解三角形.2、在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知C=60°,a=2,c=cm，解三角形.設計意圖：加深體會正弦定理的應用，反饋矯正解三角形中的問題.（七）歸納總結，明確要點教師引導學生從知識收獲、方法收獲等方面進行本節(jié)課的小結（八）布置作業(yè)，能力提升作業(yè)本：課本第10頁習題1.1A組第1,2題．自主探究題：向量法、坐標法等如何證明正弦定理.設計意圖：課本習題，通過它來反饋知識掌握效果，鞏固所學知識，強化基本技能的訓練，培養(yǎng)學生良好的學習習慣和品質(zhì)；自主探究題是為了給學有余力的學生留出自由發(fā)展的空間，符合因材施教的新課標的思想，培養(yǎng)了學生數(shù)學抽