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矩陣的概念與基本運(yùn)算第1頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一稱為方程組的增廣矩陣稱為方程組的系數(shù)矩陣設(shè)有線性方程組線性方程組與矩陣之間可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系第2頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一
定義1由m×n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)稱為m×n矩陣.排成的m行n列數(shù)表,記成第3頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一某學(xué)校印刷廠印制甲、乙、丙三種類型的作業(yè)本,一、二月份的生產(chǎn)與銷售情況如下表:第4頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一第5頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一的第一個(gè)下標(biāo)稱為行標(biāo),第二個(gè)下標(biāo)稱為列標(biāo)。稱作矩陣的元素。矩陣,●矩陣的概念第6頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●行矩陣(行向量)——只有一行的矩陣。等……●列矩陣(列向量)——只有一列的矩陣。等……幾種特殊形式的矩陣第7頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一等……●零矩陣——所有元素都為零的矩陣,簡(jiǎn)記作。
●方陣——行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如:等……二階方陣三階方陣n階方陣如第8頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一等……●對(duì)角形矩陣——主對(duì)角線上的元素不全為零,其它的
元素都為0的方陣,簡(jiǎn)記作。第9頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●單位矩陣——主對(duì)角線上的元素都是1的對(duì)角形矩陣,
簡(jiǎn)記作。如:等……第10頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●上三角形矩陣——主對(duì)角線下方元素全為零、上方的
元素不全為0的方陣。如:等……第11頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●下三角形矩陣——主對(duì)角線上方的元素全為零,下方
的元素不全為0的方陣。第12頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●同型矩陣:有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的兩個(gè)矩陣,稱為同型矩陣。如:只有矩陣與矩陣同型第13頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一注意:同型是相等的必要條件?!裣嗟染仃嚕喝?/p>
兩矩陣同型且對(duì)應(yīng)位置上
的元素相等,則稱相等,記
作。如:第14頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一且,例題:已知求的值。,,關(guān)系式第15頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)+,-×(有兩種),/第16頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一一矩陣的加法
定義2設(shè)A=(aij
),B=(bij
)都是m×n矩陣,矩陣A與B的和例1記成A+B,規(guī)定為第17頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一兩個(gè)印刷廠:第18頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一矩陣的加法運(yùn)算滿足規(guī)律2.(A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律)3.A+0=A4.設(shè)A=(aij
),記–A=(?aij
),規(guī)定A?B=A+(?
B)二數(shù)與矩陣的乘法
定義3
規(guī)定為稱–A為A的負(fù)矩陣,1.A+B=B+A(交換律)易知
A+(?A)=0第19頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一例2若那么3A=A3第20頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一數(shù)乘矩陣的運(yùn)算滿足規(guī)律:A,B為矩陣.三矩陣與矩陣的乘法
定義4設(shè)A=(aij)是一個(gè)m×s矩陣,B=(bij
)是一個(gè)
s×nA與B的乘積記成AB,即C=AB.規(guī)定A與B的積為一個(gè)m×n
矩陣C=(cij
),其中
AB=ABm×ss×nm×n
矩陣,第21頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一例3
例4第22頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一例5
例6第23頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一一般來(lái)說(shuō),AB≠BA,若矩陣A、B滿足AB=0,n階矩陣稱為單位矩陣.如果A為m×n矩陣,那么即矩陣的乘法不滿足交換律.未必有A=0或B=0的結(jié)論.第24頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一
n階矩陣稱為對(duì)角矩陣.兩個(gè)對(duì)角矩陣的和是對(duì)角矩陣,兩個(gè)對(duì)角矩陣的積也是對(duì)角矩陣.矩陣的乘法滿足下述運(yùn)算規(guī)律第25頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)(1)交換律A+B=B+A(2)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)●矩陣的加法矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律:注意:只有同型矩陣才能相加。例顯然成立第26頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●矩陣的減法設(shè),則稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作。若A、B為同型矩陣,則規(guī)定即,第27頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●數(shù)乘矩陣如:若,則注意:數(shù)乘矩陣時(shí),矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。等……數(shù)量矩陣第28頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律:第29頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一●矩陣的乘法設(shè)則其中行列左矩陣右矩陣A的列數(shù)B的行數(shù)第30頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一例如:無(wú)意義!左邊矩陣右邊矩陣的列數(shù)的行數(shù)注意:AB存在,BA無(wú)意義,第31頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一例題:計(jì)算下列各題(1)(2)AB與BA不同型第32頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一同型但不相等。(3)(4)(5)(6)特殊AB=BA第33頁(yè),共36頁(yè),2023年,2月20日,星期一(1)一般地,,即乘法不滿足交換律。(2)當(dāng)AB=BA時(shí),稱A、B為可交換矩陣,或稱A、B可交換。此時(shí),A、B必為同階方陣。小結(jié)與特別地,有:,即可交換。(8)(7)或矩陣的乘法運(yùn)算不滿足消去律第34頁(yè),共36頁(yè),20
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