初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽專題講座(幾何部分)

初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽專題講座幾何一、競(jìng)賽大綱要求:1．三角形中的邊角之間的不等關(guān)系。2．面積及等積變換。3．三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心）及其性質(zhì)。4．相似形的概念和性質(zhì)。5．圓，四點(diǎn)共圓，圓冪定理。6．四種命題及其關(guān)系。二、歷屆聯(lián)賽幾何試題情況分析：2008年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2007年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2006年，選擇題1個(gè)，填空題1個(gè)，解答題2個(gè)。2005年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2004年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2003年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2002年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2001年，選擇題2個(gè)，填空題1個(gè)，解答題1個(gè)。2000年，選擇題2個(gè)，填空題0個(gè)，解答題1個(gè)。三、例題分析例1(08)如圖，設(shè)AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB=6，BC=5，EF=3，則線段BE的長(zhǎng)為（）（A）（B）4（C）（D）【解】因?yàn)锳D，BE，CF為△ABC的三條高，易知B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=。在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=；例2(08)在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分別是這兩個(gè)角的外角平分線，且點(diǎn)M，N分別在直線AC和直線AB上，則（）（A）BM>CN（B）BM=CN（C）BM<CN（D）BM和CN的大小關(guān)系不確定【解】∵∠ABC=12°，BM為∠ABC的外角平分線，∴∠MBC=(180°–12°)=84°，又∠BCM=180°–∠ACB=180°–132°=48°，∴∠BCM=180°–84°–48°=48°，∴BM=BC，又∠ACN=(180°–∠ACB)=(180°–132°)=24°，∴∠BNC=180°–∠ABC–∠BCN=180°–12°–(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC，∴CN=CB，因此，BM=BC=CN；例3(08)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M，N為BD所在直線上的兩點(diǎn)，且AM=，∠MAN=135°，則四邊形AMCN的面積為。【解】設(shè)BD中點(diǎn)為O，連AO，則AO⊥BD，AO=OB=，MO==，∴MB=MO–OB=。又∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN-∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故=，從而DN=?BA=×1=，根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形AMCN的面積S=2S△MAN=2××MN×AO=2××(++)×=；例4(08)如圖，圓O與圓D相交于A，B兩點(diǎn)，BC為圓D的切線，點(diǎn)C在圓O上，且AB=BC。（1）證明：點(diǎn)O在圓D的圓周上；（2）設(shè)△ABC的面積為S，求圓D的的半徑r的最小值?！窘狻浚?）連OA，OB，OC，AC，因?yàn)镺為圓心，AB=BC，所以△OBA∽△OBC，從而∠OBA=∠OBC，因?yàn)镺D⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB=90°–∠OBA=90°–∠OBC=∠DBO，所以DB=DO，因此點(diǎn)O在圓D的圓周上；（2）設(shè)圓O的半徑為a，BO的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E，易知BE⊥AC。設(shè)AC=2y（0<y≤a），OE=x，AB=l，則a2=x2+y2，S=y(a+x)，l2=y2+(a+x)2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a(a+因?yàn)椤螦BC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，所以△BDO∽△ABC，AECBDOH所以=，即=，故r=，所以r2==?=?()3≥，即r≥，其中等號(hào)當(dāng)a=y時(shí)成立，這時(shí)AC是圓O的直徑.所以圓D的的半徑r的最小值為。AECBDOH例5(07)已知銳角△的頂點(diǎn)到垂心的距離等于它的外接圓的半徑，則∠的度數(shù)是（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°.【解】銳角△的垂心在三角形內(nèi)部，如圖，設(shè)△的外心為，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn)，連、，則//，//，則，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故選（C）.例6(07)設(shè)是△內(nèi)任意一點(diǎn)，△、△、△的重心分別為、、，則的值為（）（A）.（B）.（C）.（D）.【解】分別延長(zhǎng)、、，與△的三邊、、交于點(diǎn)、、，由于、、分別為△、△、△的重心，易知、、分別為、、的中點(diǎn)，所以.易證△∽△，且相似比為，所以.所以.故選（A）.例8(07)已知直角梯形的四條邊長(zhǎng)分別為，過(guò)、兩點(diǎn)作圓,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的值為____4_____.ABCDEFGMN【解】延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)分別為點(diǎn)，則易知.因?yàn)?，由割線定理，易證，所以.ABCDEFGMN例9(07)如圖，四邊形是梯形，點(diǎn)是上底邊上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn).證明：∠=∠.【解】設(shè)與交于點(diǎn)，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，∴△∽△，∴,∴.∴,故又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵M(jìn)E//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.例10（06）如圖，正方形內(nèi)接于⊙，點(diǎn)在劣弧上，連結(jié)，交于點(diǎn)．若，則的值為（）（A）（B）（C）（D）【解】如圖，設(shè)⊙的半徑為，，則，，．在⊙中，根據(jù)相交弦定理，得．（第5題答案圖）即，（第5題答案圖）所以．連結(jié)DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故選D．例11(06)如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于.【解】設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為m，則．由△ADG∽△ABC，可得解得．于是，由題意，a＝28，b＝3,c＝48，所以.例12(06)已知△中，是銳角．從頂點(diǎn)向邊或其延長(zhǎng)線作垂線，垂足為；從頂點(diǎn)向邊或其延長(zhǎng)線作垂線，垂足為．當(dāng)和均為正整數(shù)時(shí)，△是什么三角形？并證明你的結(jié)論．【解】設(shè)，均為正整數(shù)，則，所以，mn＝1，2，3．（1）當(dāng)mn＝1時(shí)，，，此時(shí)．所以垂直平分，垂直平分，于是△是等邊三角形．（2）當(dāng)mn＝2時(shí)，，，此時(shí)，或，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，或點(diǎn)與點(diǎn)重合．故，或，于是△是等腰直角三角形．（3）mn＝3時(shí)，，，此時(shí)，或．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是△是頂角為的等腰三角形．例13(06)如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線．分別過(guò)點(diǎn)B，C作⊙O的切線，兩條切線相交于點(diǎn)X，連結(jié)AX．求證：．【解】設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)，連結(jié)OB，OC，．又M為BC的中點(diǎn)，所以，連結(jié)OX，它過(guò)點(diǎn)M．因?yàn)?，所以．①又由切割線定理得．②由①，②得，于是△XMA∽△，所以．又，所以，于是．例14(05)、圓內(nèi)接四條邊長(zhǎng)順次為5、10、11、14；則這個(gè)四邊形的面積為()。A、78.5B、97.5C、90【解】由題意得：52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)∴221－140cosα＝221＋220cosα∴cosα＝0∴α＝90°∴四邊形的面積為：5×7＋5×11＝90∴選C例15(05)圖中的三塊陰影部分由兩個(gè)半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)是()。A、B、C、D、【解】由圖形割補(bǔ)知圓面積等于矩形ABCD的面積∴由垂徑定理得公共弦為∴選D例16(05)已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，則a的最大值為＿＿＿?！窘狻坷?7(05)、銳角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，過(guò)D作BC的垂線交BE于F，交CA的延長(zhǎng)線于P，過(guò)E作BC的垂線，交CD于G，交BA的延長(zhǎng)線于Q，證明：BC、DE、FG、PQ四條直線相交于一點(diǎn)。【解】證法1：設(shè)過(guò)D、E的垂線分別交BC于M、N，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由射影定理得：CE2＝CN·CB，BD2＝BM·BC∴又Rt△CNG∽R(shí)t△DCB，Rt△BMF∽R(shí)t△BEC，∴∴在Rt△BEC與Rt△BDC中，由面積關(guān)系得：BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BC∴由(1)(2)得：證法2：設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)H，則H為△ABC的垂心，記DF、EG、AH與BC的交點(diǎn)分別為M、N、R∵DM∥AR∥EN∴由合比定理得：證法3：在△ABC中，直線DET分別交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅勞斯定理得：設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)H，則H為△ABC的垂心，AH⊥BC∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG∴由梅涅勞斯定理的逆定理得：F、G、T三點(diǎn)共線.證法4：連結(jié)FT交EN于G’，易知為了證明F、G、T三點(diǎn)共線，只需證明即可∵又∴∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四點(diǎn)共圓∴∠ABE＝∠ACD(2)又(3)將(2)(3)代入（1）得：，故F、G、T三點(diǎn)共線.四、專題訓(xùn)練:1、(04)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為a,a,b，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為b,b,a，其中a>b，若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則的值等于（）(A)(B)(C)(D)2、(04)如圖，在2×3矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為（）(A)24(B)38(C)46(D)503、(04)如圖ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交于另一點(diǎn)P，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)N，則=.4、(04)已知如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,以兩腰AB,CD為一邊分別向兩邊作正方形ABGE和DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線l交線段EF于點(diǎn)M，EP⊥l于P，F(xiàn)Q⊥l于Q。求證：EP=FQ.5、(03)設(shè)△ABC的面積為1，D是邊AB上一點(diǎn)，且．若在邊AC上取一點(diǎn)E，使四邊形DECB的面積為，則的值為（）A.B.C.D.5、(03)如圖，在□ABCD中，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓交AD于E，且與CD相切．若AB=4，BE=5，則DE的長(zhǎng)為（）**B.4C.D.6、(03)如圖，，分別是∠EAB，∠DBC的平分線．若，則∠BAC的度數(shù)為_____________．7、(03)在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=DF；過(guò)E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P．設(shè)線段PA，PB的中點(diǎn)分別為M，N．求證：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．8、(02)直角三角形ＡBC的面積為120，且∠BAC=90o，AD是斜邊上的中線，過(guò)D作DE⊥AB于E，連CE交AD于F，則△AFE的面積為（）(A)18 (B)20 (C)22(D)249、(02)圓O1與O2圓外切于點(diǎn)A，兩圓的一條外公切線與圓O1相切于點(diǎn)B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則圓O1與圓O2的半徑之比為（）(A)2：5 (B)1：2(C)1：3(D)2：3BBAO1O210、(02)如圖，7根圓形筷子的橫截面圓的半徑均為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子和長(zhǎng)度為11、(02)如圖，等腰三角形ABC中，P為底邊BC上任意點(diǎn)，過(guò)P作兩腰的平行線分別與AB，AC相交于Q，R兩點(diǎn)，又P`的對(duì)稱點(diǎn)，證明：P'在△ABC的外接圓上。AAQRPBCP'12、(01)已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，則AC的長(zhǎng)為（）（A）（B）（C）