微積分課件及其答案

1第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)介值定理(intermediatevaluetheorem)小結(jié)思考題作業(yè)最大值(maximum)和最小值(minimum)定理

在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些重要的性質(zhì),這些性質(zhì)主要應(yīng)用于分析和論證某些問題時作為理論的根據(jù).這些性質(zhì)的幾何意義很明顯.第一章函數(shù)與極限2定義例設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義,使得當(dāng)恒有若存在點為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值,記為則稱(大)一、最大值和最小值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3在閉區(qū)間上連續(xù)的注

(1)定理1中的條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)性”定理1(最大值和最小值定理)函數(shù)一定有最大值和最小值.是不可少的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4在開區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),在(0,1)內(nèi)又如:在閉區(qū)間[0,2]上有函數(shù)f(x)在[0,2]上既沒有最大值,如:函數(shù)沒有最大值或最小值.也沒有最小值.間斷點函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)5(2)“閉區(qū)間”和“連續(xù)性”在開區(qū)間取得最小值函數(shù)處取得最大值1.而不是必要條件.如函數(shù)內(nèi)連續(xù),但它在處取得最大值1;又如在閉區(qū)間上有間斷點取得最小值但它在僅是定理的充分條件,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)6證由定理1(最值定理),定理2(有界性定理)有取則有閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)7的零點.定理3(方程實根的存在定理)使得

零點定理幾何意義:如圖所示.二、介值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)8定理4(介值定理)使得證零點定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

輔助函數(shù)9幾何意義:至少有一個交點.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)10幾何意義:之間的任何值(不會有任何遺漏).推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)11注閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)常用于:證明某些等式或不等式;判斷某些方程根的存在性或?qū)嵏姆秶?閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)12例證由零點定理,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)13閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例證明:任何實系數(shù)奇數(shù)次代數(shù)方程必有實根.證設(shè)實系數(shù)奇數(shù)次代數(shù)方程為設(shè)且不妨設(shè)由于故故由零點定理,即方程有實根.因為在閉區(qū)間上連續(xù),使得14例證由零點定理,使

輔助函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)15

證

例證明:令閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

介值定理使即得16練習(xí)證則零點定理且閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)17注意條件

1.閉區(qū)間;2.連續(xù)函數(shù)．這兩點不滿足上述定理不一定成立．三、小結(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理;有界性定理;零點定理;介值定理.四個定理18思考題(是非題)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)非例如:則至少存在一點19作業(yè)習(xí)題1-10(73頁)

1.2.3.

4.5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一個登山運(yùn)動員從早上7:00開始攀登某座山峰,在下午7:00到達(dá)山頂,第二天早上7:0