第三部分?jǐn)?shù)值積分代數(shù)精度與誤差

第三部分?jǐn)?shù)值積分代數(shù)精度與誤差第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一插值型求積公式：其中第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一插值型求積公式：余項(xiàng)第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求積公式的代數(shù)精度定義如果求積公式對(duì)一切不高于m次的多項(xiàng)式都恒成立，而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一代數(shù)精度的判別方法求積公式的代數(shù)精度

定理：求積公式具有次m代數(shù)精度的充要條件是為時(shí)求積公式精確成立，而為時(shí)求積公式不能成為等式。第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梯形公式1次代數(shù)精度第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梯形公式第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一積分第一中值定理如果函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積,且g(x)在[a,b]上不變號(hào),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ,使下式成立:第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梯形公式第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3次代數(shù)精度Simpson公式第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Simpson公式構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)3次的多項(xiàng)式，滿足：其中設(shè)連續(xù)第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Cotes公式設(shè)連續(xù)第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（補(bǔ)充：Newton—Cotes求積公式的誤差估計(jì)）（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果，則其中（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，如果，則其中第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理：形如的求積公式至少有n次代數(shù)精度的充要條件是它是插值型求積公式。證明：充分性設(shè)它是插值型求積公式當(dāng)時(shí)，即它對(duì)所有不超過(guò)n次的多項(xiàng)式精確成立，故至少有n次代數(shù)精度。第15頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則對(duì)所有不超過(guò)n次的多項(xiàng)式求積公式精確成立取因此求積公式