第二部分相關(guān)分析功率譜白噪聲

第二部分相關(guān)分析功率譜白噪聲第1頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.周期過(guò)程

，則

非周期過(guò)程

4.:整個(gè)相關(guān)成分

:總功率:交流相關(guān)成分:交流功率:直流功率2023/4/152第2頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/153第3頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例:求和解:2023/4/154第4頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例:是否可能為相關(guān)函數(shù)?(1)(2)2023/4/155第5頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一自相關(guān)系數(shù)也有類似性質(zhì):1.2.2023/4/156第6頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義自相關(guān)時(shí)間：1.2.(等效矩形)相關(guān)系數(shù)函數(shù)下降越快，越小，隨機(jī)過(guò)程的起伏越快

2023/4/157第7頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/158第8頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一過(guò)程Ｘ比過(guò)程Ｙ起伏快2023/4/159第9頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.注意不是偶函數(shù)2.（小于幾何平均）

3.（小于算術(shù)平均）

2023/4/1510第10頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2:證明3:證明2023/4/1511第11頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例1:噪聲為零均值與不相關(guān)求:的～2023/4/1512第12頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2:為常數(shù),

證明聯(lián)合平穩(wěn)性.

和平穩(wěn)2023/4/1513第13頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1514第14頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜從這里開始都講平穩(wěn)過(guò)程。且進(jìn)行頻域分析.采用變換的方法使其信息在頻域顯露出來(lái)。2023/4/1515第15頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本小節(jié)要解決的問(wèn)題

隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法?傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系功率譜的應(yīng)用白噪聲的定義2023/4/1516第16頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析

一預(yù)備知識(shí)1付氏變換設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t)

滿足

在范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件

絕對(duì)可積，即

信號(hào)的總能量有限，即有限個(gè)極值有限個(gè)斷點(diǎn)斷點(diǎn)為有限值2023/4/1517第17頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則的傅里葉變換為：

其反變換為：

稱為的頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。包含：振幅譜相位譜2023/4/1518第18頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2帕塞瓦等式即能量譜密度功率2023/4/1519第19頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程頻譜分析的特殊性1.隨機(jī)過(guò)程為非能量有限信號(hào)，不滿足狄氏條件，不能直接對(duì)隨機(jī)信號(hào)的表達(dá)式求傅里葉變換；2.隨機(jī)信號(hào)頻域特性也要求統(tǒng)計(jì)平均。辦法：借用傅里葉變換理論，按隨機(jī)信號(hào)性質(zhì)進(jìn)行修正，使之符合隨機(jī)信號(hào)的特性2023/4/1520第20頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度

應(yīng)用截取函數(shù)

1.對(duì)隨機(jī)信號(hào)的任一個(gè)樣本取截?cái)嗪瘮?shù)（特點(diǎn)：確定性，可進(jìn)行傅里葉變換）2023/4/1521第21頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)為有限值時(shí)，的傅里葉變換存在

應(yīng)用帕塞瓦等式

除以2T取集合平均2023/4/1522第22頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一令，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序

功率Q

非負(fù)存在（1）Q為確定性值，不是隨機(jī)變量（2）為確定性實(shí)函數(shù)。注意：功率譜密度喲?。?！2023/4/1523第23頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一兩個(gè)結(jié)論：

1表示時(shí)間平均

若平穩(wěn)22023/4/1524第24頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一功率譜密度：描述了隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率在各個(gè)不同頻率上的分布——

稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度。對(duì)在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有：功率譜的物理意義2023/4/1525第25頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中皆是實(shí)常數(shù)，是服從上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程的平均功率。

解：不是寬平穩(wěn)的2023/4/1526第26頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1527第27頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系

確定信號(hào)：1維納—辛欽定理

若隨機(jī)過(guò)程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：自相關(guān)函數(shù)功率譜密度傅立葉變換對(duì)2023/4/1528第28頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.證明：

2023/4/1529第29頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)則所以：2023/4/1530第30頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一則

(注意，且，。因此，通常情況下，第二項(xiàng)為0)

2023/4/1531第31頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一推論：對(duì)于一般的隨機(jī)過(guò)程X(t)，有：

平均功率為：

利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納—辛欽定理表示成：

2023/4/1532第32頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3．單邊功率譜

由于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程x(t)的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。

2023/4/1533第33頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為，A>0，，求過(guò)程的功率譜密度。

解：應(yīng)將積分按＋和－分成兩部分進(jìn)行

2023/4/1534第34頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)為隨機(jī)相位隨機(jī)過(guò)程其中，為實(shí)常數(shù)為隨機(jī)相位，在均勻分布。可以推導(dǎo)出這個(gè)過(guò)程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)為求的功率譜密度。2023/4/1535第35頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：注意此時(shí)不是有限值，即不可積，因此的付氏變換不存在，需要引入函數(shù)。2023/4/1536第36頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中皆為常數(shù)，為具有功率譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。求過(guò)程的功率譜密度。

解：

2023/4/1537第37頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一四平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)

一功率譜密度的性質(zhì)

1功率譜密度為非負(fù)的,即

證明：2功率譜密度是的實(shí)函數(shù)

2023/4/1538第38頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3

對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是的偶函數(shù)，即證明：是實(shí)函數(shù)又2023/4/1539第39頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4

功率譜密度可積，即

證明：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有：

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值有限2023/4/1540第40頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二譜分解定理

1譜分解

在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中有一大類過(guò)程，它們的功率譜密度為的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來(lái)逼近。這時(shí)可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即

2023/4/1541第41頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

（1）

為實(shí)數(shù)。(2)分母不能進(jìn)行因式分解，分母不能有實(shí)根。

（3）M＜N。

2023/4/1542第42頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度一、互譜密度

考慮兩個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個(gè)截取函數(shù)、為：2023/4/1543第43頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

因?yàn)?、都滿足絕對(duì)可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時(shí)間范圍(-T，T)內(nèi)，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互功率為:（注意、為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時(shí)間平均）

由于、的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即:2023/4/1544第44頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

注意到上式中，和是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令得：

2023/4/1545第45頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

定義互功率譜密度為：則2023/4/1546第46頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理，有：且2023/4/1547第47頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

F互相關(guān)函數(shù)互譜密度

F

定義：對(duì)于兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為

即2023/4/1548第48頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過(guò)程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。2023/4/1549第49頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：證明：

＝

（令）2023/4/1550第50頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)2：

證明：

（令）

同理可證2023/4/1551第51頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)3：

證明：類似性質(zhì)2證明。性質(zhì)4：

若X(t)與Y(t)正交，則有

證明：若X(t)與Y(t)正交，則所以2023/4/1552第52頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)5：

若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和，則

證明：

因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）2023/4/1553第53頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)6：

例：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為:

求互譜密度，。2023/4/1554第54頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：

2023/4/1555第55頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.4高斯過(guò)程和白噪聲2.4.1高斯過(guò)程（正態(tài)過(guò)程）定義：若隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維（n=1,2,…）概率分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。一維高斯：2023/4/1556第56頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二維高斯分布例：P902.102023/4/1557第57頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一N維高斯分布2023/4/1558第58頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高斯分布隨機(jī)信號(hào)性質(zhì)廣義平穩(wěn)和嚴(yán)格平穩(wěn)等價(jià)；不相關(guān)和獨(dú)立等價(jià)；高斯過(guò)程通過(guò)線性變換后仍然是高斯分布；相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)過(guò)程（變量）之和仍為高斯分布。2023/4/1559第59頁(yè)，共66頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.4白噪聲一、理想白噪聲定義：若N(t)為一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其功率譜密度均勻分布在的整個(gè)頻率區(qū)間，即

其中為一正實(shí)常