理工類專業(yè)課復(fù)習(xí)資料-《復(fù)變函數(shù)與積分變換》(蘇變萍-陳東立)答案

??2???2?1.1.教學(xué)要求第一篇裏變函數(shù)第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1內(nèi)容要點(diǎn)復(fù)數(shù)的各種表示法代數(shù)表示法；z=e+iy.三角表力'法;2=r（cos^+isin。）.指數(shù)表7K法：z=re吃復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何意義復(fù)數(shù)的加減法：勺土&=（応1士邊）+i（*i士形）?復(fù)數(shù)的乘法:幻癸二（丸i%2-yi，2）+\（又】，2+如，1）?復(fù)數(shù)的除法：￡1=沖半心件孝 （咨乂0）.定理1兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們輻角的和.定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角差.擴(kuò)充復(fù)平面、平面點(diǎn)集復(fù)變函數(shù)的概念及其幾何意義定義1設(shè)〃是一個(gè)給定的復(fù)數(shù)集，如果有一法則f,對(duì)于每一個(gè)數(shù)WD,總有確定的復(fù)數(shù)w和它對(duì)應(yīng).則稱f是D上確定的復(fù)變數(shù)函數(shù)（簡稱復(fù)變函數(shù)），記作U）.數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域.初等函數(shù)的定義及性質(zhì)1.2教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點(diǎn)牢固掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算，了解區(qū)域的概念，理解復(fù)變函數(shù)的槪念，了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)和三角函數(shù)的定義及它們的主要性質(zhì).重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)變函數(shù)的概念.難點(diǎn)：初等函數(shù)中的多值函數(shù)的理解.學(xué)習(xí)注意點(diǎn)下面的證明過程錯(cuò)在何處？題目：證明若Z|Z2Z3=0,則Z1，Z2，Z3中至少有一個(gè)為零.證：設(shè)勲=(1=1,2,3),則2jZ2Z3=n「2「3。"勺+%+叩=0.rlfr2,r3中至少有一個(gè)為零，旳，，2"3中至少有一個(gè)為零.答：證明過程的設(shè)是錯(cuò)誤的，當(dāng)Z=0時(shí)，Z不具有指數(shù)表達(dá)式.正確的證明為：若Z3磚0,則ZiZ2=由弛(j=0,若死誕0,則Z]=M類號(hào))=0,故Zi，Z2，Z3中至少有一個(gè)為0.下面的解題過程錯(cuò)在何處？1題目：求脂的全部單根.解：8*=(23*=2*=漬3=*心1，2偵)=評(píng)七尸=±V2.答：此解題過程在第二步到第三步的推導(dǎo)時(shí)出錯(cuò)了，正確的是:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)⑵特=(2%2隊(duì))§=7^爭(Jt=0,1,2).在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)c 1 1(23)?=22.下面的解題過程錯(cuò)在何處？題目：設(shè)旳=T+V3i,Z2=亠1+i.求argzjZj.解：Arg2]Z2=Ai^Z[+Argz2K+2klt??4?答：-h<a探Z[Z2WK,/.aigzj社=是錯(cuò)誤的?7 ?正確答案：由ArgZ]Z2=-位汗+2如，礙7(4)證明：(a)Ln(i2)=:(&+})日=土Lni(k=0,±1,±2,(4)證明：(a)Ln(i2)=:(&+})日=土Lni(k=0,±1,±2,…);(b)Lni2^2Ui.11證:(a) Ln(i2)=iai^(P)+2knf(2An+旨)，，（2切-苧）iu(如+^)i,(y+2如)\=(Iiri,1..17^1=211Ln(i，)=萬Lni(A=0,±l,±2,…).(b)Lni2=Ln(-1)=(2A+1)m,2Lm"(專+2")i=(4fc+1)?ri,Lni22Lni.1.3釋疑解難復(fù)方程az2+6z+c=0（a#0）的求根公式z=—'+/ 中朋-2a4qc為什么要求不等于0.答：因?yàn)殛P(guān)于復(fù)數(shù)方根糾=〈（即必=z）的定義中要求w^O,若2=0必有糾=0.而丿T匸志為復(fù)數(shù)方根的形式，因此公式中b2-4ac^0.事實(shí)上，因?yàn)镺22+bz+C=0?所以1若62-4ae=0,則

證明：(a)若lnN=lnr+i6(r>O，V<0<，那么Ini2=21ni;(b)若Inz二Inr+i°(r>0,-^-k<d<芬兀)，月&么In/乂21hj.證:(a),/Ini2=ln(-1)=ici?21ni=2(InIiI+言i)二疝;二Ini2=21ni.(b)yIni2=ln(-1)=7ti,21ni=2^InIiI+^TriInF產(chǎn)21ni.由(a).(b)可知，輻角主值的定義范圍可由復(fù)平面上原點(diǎn)引出的任一條射線為起始邊、終邊來劃分，隨之相關(guān)的性質(zhì)也可能發(fā)生變化，證明：對(duì)任何非零復(fù)數(shù)硏和冬ln(z\z2)=Inzj+lni2+2km(厶=0,±1).證：因?yàn)楫?dāng)Re(^i)>0,Re(z2)>。時(shí)，ln(2)^2)=Ini】+ln^2+2km(i=0).當(dāng)Re(旳)>0或Re(z2)>0時(shí)，arg(zlz2)='argzi+盹死，largzj+arg(zlz2)=.argzj+argz2±2it,Iargzi+ai^z2I>兀.InIZ]矣I=InIZ[I+InIz21>in(zxz2)=Ini]+In??+2Airi(/c=0,±1).當(dāng)Re(zD<0且Re(電)<0時(shí)，a建(Z]Z2)-4aigzi+argZ2，a建(Z]Z2)-4argZj+arg2^2±2tt,Iargzj+ai^22I>〃?InIZ[死I=In丨Z]1+inI^21,ln(zjz2)=Ini】+Inz?+2*iri(A=0,±1).綜上所述，對(duì)任何非零復(fù)數(shù)Z]和死都有l(wèi)n(zjZ2)=Inzj+lnz2+2Aid(左=0,±1).求證：三個(gè)復(fù)數(shù)旳，矣，Z3成為等邊三角形頂點(diǎn)的必要與充分條件是：Z：+ =石1^2+々2后3+之3幻.證：三角形z}z2z3是等邊三角形的必要與充分條件為；向量有云繞勺旋轉(zhuǎn)于或-于得向量有M，即初-zi=J-Z[)e*—或列-173.Z3~Z11 .V3. =成士r=> 3=± ，ZZ 212乙兩邊平方化簡得結(jié)論?1.4典型例題例1將復(fù)數(shù)峭—化為三角表示式和指數(shù)表示式.-1+1解：=*-i?11-il=V2,ai^g(l-i)=-二早3的二角表示式為：以[-奇j+詢-號(hào))]，的指數(shù)表示式為：Me-如-1+1例2若(l+i)J(l-i)>試求幾的值.解:由(l+i)"=(1-滬可得：22(cos胃+isin舉)=2^(cos號(hào)+isin二:代),即nn.一nnnn TITtsin.-sin.4 4n =- +2kn.4 4則得a=(Jt為整數(shù)).例3判斷l(xiāng)m(z)=1是否為區(qū)域？答：點(diǎn)集Ullm(z)=l|不是區(qū)域.因?yàn)榇它c(diǎn)集的每一個(gè)點(diǎn)都不是內(nèi)點(diǎn)，依照區(qū)域的定義知其不是區(qū)域.例4判斷0是開區(qū)域還是閉區(qū)域，有界否？答：依平面點(diǎn)集部分有關(guān)開區(qū)域、閉區(qū)域、有界集和無界集的概念,Im(z)>0為無界的開區(qū)域,Im(z)=0為Im(z)>0的邊界，故Im(z)N0為無界的閉區(qū)域.例5如果復(fù)數(shù)a+it是實(shí)系數(shù)方程+aizB_1+ +a?_]z+%=0的根，那么a-i6也是它的根.證：因?yàn)?lt;!。(乏)"+a1(z)n-1+…+云+an=a0(z°)+aj(z"~I)+…+L-i歹+ct*=aozn+aizn_l+ +an_tz+a?=a()zn+a1*1+ +%_]z+an=0,?7??7??7??7?整數(shù).整數(shù).?6?所以，若Z=u+ib為上述方程的根,則其共輒復(fù)數(shù)也為方程的根.例6為什么在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)Icosz丨w1，EinzIW1未必總成立？答：設(shè)z=8+iy,則cosz=cosjtchy-isinxshy,Icos2I=VTcosxchy)2+(sinxshy)2=：V(1+sh2y)cos2x+sin2xsh2y=Vcos2jc+sh2y.當(dāng)shy>]時(shí)，有丨COSZI>1；當(dāng)了一8時(shí)，IcoszI—8.所以，IcomIW1未必總成立.同理Isin?IW1也未必總成立.例7證明：若z在圓周IzI=2上，那么-廠^2~□芒z-4z+3 3證：lz4-422+31Iz4-4z2I-3二lz4l-14?I-3=3,]'*■ 24-4?+3例8求（-72+72i）l的所有的根、單根，并說明幾何意義?解:所有的方根：（-龍+改寸=（2齊'+心）4=T+4）w（A：=0,±1,±2,…）.單根:—貞，葩e腎，扼e賢.幾何意義：半徑為抜的圓內(nèi)接等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).1.5習(xí)題選解1.1.4證明：(a)—^―=：—?—(Z]尹0,名2尹。)；冬空=登?竺(23產(chǎn)0,初。0).Z3N4z3釦vr ZZiZi1zHe:I—=——,2*—=一,^2 Z]Z\:.⑴丄=丄?億?丄)=生?丄=丄?丄；Z]Z2之1，2' ^2/Z[Z2^2 ^2(b)冬=(z&(L丄)=登,竺.勺福 \^3^4/Z3Z41.1.5證明：(幻+z2y= ，其中zi/2為任意的復(fù)數(shù)，幾為正1=0證：當(dāng)e=1時(shí)，等式顯然成立.設(shè)〃=m時(shí)，(zj+zQm=云;以科-七*成立，則當(dāng)&=m+1時(shí)，F(xiàn)7!(ZI+弛)m=hi+矣)力褻?-吆i-0=^徐阡-財(cái)+Sc^rM41k=0 丄0=珥*'+貝C邱廠火+另召-四+技+'is0 A?0=利+0cF+房)zLz擴(kuò)+貯*=0=彳+|+勇 +z尸'*=0=z"+關(guān)雋'+逐1緖'+bV=1m-+1—丿,L?n千12】 Z.?k-0故結(jié)論成立.1,1.7證明:(a)z+3i=2-3i;(b)ii=-iz;(c)(2+i)2=3-4i;(d)((2z+5)(72-i)l=7312z+5I.證：(a)萬+3i=云+3i=z-3i;iz=i-z=-iz;(2+i)J(司)2=(2-i)2=3-4i；l(2z+5)(72-i)l=l72-HI2z+5l"|2萬+51=^l2z+5{.1.1.8應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)a=2,3，…時(shí)，(a)Z]+段+…+Zn=Z]+敦+…+布；(b)旳賣…？"=ZiZ2…z^.證：(a)Z1+Z2=Z1+Z2-設(shè)Zi+死+…+Zm=勺+Z2+…+Zfl,，而Z1+乾+…+Z<?+Zm+1=Zi+Z2+…+ 1=Zi+如+…+Zm+Zg+J?.I結(jié)論成立.(b)?.,Z]炎=Z],Z/.設(shè)32…玲=Z]Z2~Zm，而ZlZ2"'Z?/Zm+i=2]Z2"Nm?Zm+i-Zj如""~端+1??9??9??9??9?''8結(jié)論成立.1.1.9證明：以lzlmlRe(z)l+llm(z)l.證：x2+y2>21%IIyI,2(x2+y2)x2+21xIIyI+y2,2lil2^(l%l+lyl)2,V2IxI>IRe(z)I+IIm(z)I.1.1.10證明：當(dāng)Z2，Z3為非零復(fù)數(shù)時(shí)，(b)Z1癸(b)Z1癸列Z1Z2'IZ\I1.1.11證明：當(dāng)IZ3I1.1.11證明：當(dāng)IZ3I尹IZ4I時(shí)，不等式旳+弛了3+Z4成立.證:IZ|+^2IIZ[I+IZ2I一IZ3+Z4I*證:1.1.12證明：當(dāng)！zl<l時(shí)，|lm(l-方+/)|<3.證:IIm(1-z+z2)I=IIm(1-x+iyfx2-y2+2xyi)|=Iy+2xyl^lyl+2lxllyl^3(IzI<1)?1,1.15證明：以如為中心，H為半徑的圓的方程lz-Zol=R可以寫成:Iz12-2Re(枝°)+I12二択2.證：丨z-列卩=(Z-Z0)(z-z°)=(Z-Zo)G-歹0)=亙一2qZ—ZZq+ZqZq=IZI2-(zqZ+23o)+II2=\zl2-2Re(玄o)+Izq12,以％為心，夫?yàn)榘霃降膱A的方程可以寫為:IzI2-2Re(亙°)+Iz012=R2,1.1.)6證明：雙曲線x2-y2=1可以寫成z2"2=2.

證：...宀/=停）2一（宇）2z2+/，+2云+Z.2+萬2-2疚=-?+z2

=2 '/.雙曲線x2-y2=l可以寫為：z2+z2=2.1.1.18就以下各種情況，分別求argz.(a)-2z二 —-:l+73i(a)-2z二 —-:l+73i(b)Z=^2i;(c)z=(73-i)6.解：(b)(c)r、 -2 173.1+V3i 2 22k二argz=—;iX1?J-2-2廣-4"7I,argz=4=(V3-i)6=26e6(^，*H?n)/.argz=it.1.1.19利用復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式或指數(shù)表達(dá)式證明；(-l+i)7=-8(l+i);(b)(l+73i)-10=2-n(-l+V3i).證：(a)(-1+3)7邊，e修+2加)=皿7礦知=-8(l+i);(1+V3i)-,o=2-lOe(號(hào)+2如)頃o)=2-】％釵=2-"(-I+731).1.1.20證明：(a)le誦1=1； (b)Z=e-ltf;e,? /“=/%+??+，)(幾=2,3,…).證：(a)Ie1,?I=Icosd+isin^l=1;e'3=cosO一isin。=cos(-9)+isin(一。)= ；e?eQ=eW+&).設(shè)熱??…e婦=eS 則e】％?.甘《=(/i??…e1S"-i)e,fl?=eS+?)e《=e,<ei+,e's M=M++叩(幾=2,3,…).,,10.,,10.1.1.21當(dāng)zi尹0時(shí)，求Argz.z=z"(n=1,2, ； (b)z=”‘.解：(a)z=z"=()n=r"einfli,「?Argz=nArgjj;'/z=zf1=(r!el^i)*1=rf1e~?/.Argz=-Argzi.LI>22證明：若Re(zi)>O,Re(z2)>0,那么a唔(旳如)=argZ|+argz2.證：、Re(>0,Re(z2)>0,7C 7C7T K??. -y<arg2(<y,-y<argz2<y，-穴<arg2：］+日建契<兀,?》.a建(Z］Z2)=argZ］+arg22-1.1.23若z“2尹0,證明：氏(習(xí)無2)=丨，1丨1癸I當(dāng)且僅當(dāng)。［一02=2A?r(A=0,±1,±2,***)>這里。1=ArgZi,82=Argz?、證：設(shè)勺=,z2=rg%，則Re(Z］頊2)=Re(「1「招?婦)=■r2cos(S-打)，IziII孩丨=m?二當(dāng)Re(Z］方2)=IKII%I時(shí),cos(^|-02)=1,即。1-。2=2如(&=0,±l,±2,…).反之，當(dāng)們-&=2膈時(shí)，Re(Z］方2)=IZ［I丨炎I?.??結(jié)論成立.1.2.1求下面各復(fù)數(shù)的所有的方根、單根，并說明幾何意義.(a)(2i)l; (b) (c)(-1)3;(-16)1; (e)展； (f)(-4V2+4V2i)l.解：(a)所有的方根：(2i)*=(2e*sm)g=履*+加0=0,±1,±2,…).單根:V2ei',V2e^.幾何意義：半徑為再的圓的直徑的兩端點(diǎn).(h)所有的，方根:(1-^3i)I=72(e~<,+nw)l,,12.,,12..11..11.=J2e(*4)m(A:=0,±l,士2,…).單根:V2e-t,,V2e6r,.幾何意義：半徑為〃的圓的直徑的兩端點(diǎn).（c）所有的方根：（?1傳=満=e扣,喝（SO,±1,±2,…）.單根：苔璀”璀凱幾何意義：單位圓內(nèi)接等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（＜1）所有的方根：（-16）§=2eK+2成=2e沁**眼3=0,±1,±2,…）.VJ, 7T3tt 7靠單根：2e礦，2ek,2e「，2er.幾何意義：半徑為2的圓內(nèi)接正四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).（e）所有的方根：86=（8e2im）i=V2eT*（&=0,±1,土2,…），單根：42,V2ef'姬31，睥'』2e爭/e爭.幾何意義：半徑為心的圓內(nèi)接正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn).⑴所有的方根：（-4龍+4再i）!=2*^+2板）=2e（T*4）~ 3=0,士1,土2,…）.單根：2點(diǎn),2e將幾何意義：半徑為2的圓內(nèi)接等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).1-2.2(a)令a為實(shí)數(shù)，證明：a+i的二次方根為±多，這里A=a2+1且a=arg(q+i).(b)由(a)及a).1+C08tt.2a). 3 ,sin證明:證：(a) (6+沖=(侖71)丄會(huì)=土”諄,(A=\/a2+1,a=arg(a+i))’結(jié)論成寸.(b)±y/~A=±a/^4(cos3+isin-yj,

(b)COS—COS—-±1+cosa.a/1—cose

Sln萬=±4一廠/. ±7^62*二±-戸(JA+q+i-a).V21.2.3(a)證明：二次方程a?+農(nóng)+<?=0(g/0)當(dāng)a.b.c為復(fù)常數(shù)時(shí)的求根公式是-b+/b，_4皿2a這里fe2-4ac#0,(b)試用(a)的結(jié)果求方程z2+2z+(1-i)=0的根.證：(a)cu2+ftz+c=0,4a2/+4abz+4ac-0,(2az+b)2=b2-4ac,-B+JV_4ac-B+JV_4ac2a(62-4ac#0).(h)方程z24-2z+(1i)=0的根為z=二2七/4「4(1二1)= 1+農(nóng)-1+e(*4)f(ft=0,1).1,2.4設(shè)z為非零復(fù)數(shù),m=?n(n為負(fù)整數(shù))，利用z=r/SE明:

(/)-】=(廠1)氣證：(zm)T=[(誓尸]T=[(酒)-']、=(心)'=r%2=(*)5=(點(diǎn)「=--￥.[ n4-11.2.5建立恒等式l+z+z2+,??+z"= —(z=l),并導(dǎo)出1—Zsin(n+*)91+cos。+cos20+…+cos洶=K+ 7 (0<0<2ti).2sinI提?。宏P(guān)于第一個(gè)等式可記S=1+z+z2+ +/,并考慮S-zS.關(guān)于第二個(gè)等式可在第一個(gè)等式中令z=/.證：設(shè)S=1+z+z：+…+z",則S-zS=1-z**I,，，14.，，14...13.1 1(n+I)0若記z=e七則1+e"+e'291 1(n+I)0若記z=e七則1+e"+e'29+…+@功=1-e [1-cos(■+1)1-isin( cos?+isin])(1-cos9)2+sin2dd ^r， a1一COS0-COS(口+1)。+COS湖.?. 1+COS。+COSZP+…+COSMO= 2-2cos51cos泌一coscos0+sin渺sin。=7+4sin2§2cos洶sir?%+2sin^sin—cds§4sin2g1"n+*)8=萬+一；.。一2sin~1.3,2畫出以下各種情形相應(yīng)的閉區(qū)域的草圖.(a)-7r<argz<K(z=0); (b)IRe(z)l<lzl;(c)Re(wf； (d)Re(z2)>0.解：(a)帶截痕z=%(x《0)的復(fù)平面(圖1.1.1); (b)整個(gè)復(fù)平面(圖1.1.2);(c)(x-l)2+/>l(圖1.1.3)；(d)Ixl>[yl(圖1.1.4)；1.3.3設(shè)S為由⑵<1和lz-21<1兩點(diǎn)集構(gòu)成的開集，請(qǐng)說明為什么S不是連通的.解：因?yàn)閺膠=0到2=2的任何一條折線都不完全屬于S,由“連通”的定義知，S不是連通的.1.4.2求函數(shù)g(z)=；+注習(xí)(z=x+iy)的定義域.并證明當(dāng)?>0,Iyl<1吋，g(z)=/(z),這里/(?)=ye-wdt+iS/-」° r?=0解：函數(shù)g(z)的定義域?yàn)椋呵襶尹1..? /(z)= +i^y"=y—+X+1limJo M-Xo…1-y=上+宀(x>0,lyl<1),x1-y.?.當(dāng)x>0JS.IyI<1時(shí)J〈z)=g(z).寫出函數(shù)/(z)=z，+z+1的/(z)=”(％,y)+iv(jcty)形式?解：/(z)=(x+iy)3+x+iy+l-%3-3xy2+x+1+i(y+3/y一設(shè)f(z)=%2-y2-2y+i(2x+2xy)，寫出/(z)關(guān)于z的表達(dá)式.解:/(^)=x2-y2+2xyi+2xi-2y=(x+iy)2+2i(x+iy)—z2+2iz?1.5.2求z的值(a)e，=-2；(b)ez=l+73i; (c)e2,-l=l.解：(a)???e'F=2e(2E)氣「?x=ln2,y=(2k+1)z,z=Jn2+(2fc+1)?ri(A=0,±1,±2,???)；..?U2e時(shí)偵,x=ln2, /=(2^++)心z=ln2+^2k+ (&=0,±1,土2,?、?)；*.*2z-t=Lnl=Ini+24拓，.16..16..16..16.?15.?15.?Lz二｝+ (K=0,±l,±2,"')?證明:le，lwe"‘.2 2 2- 2 2 ..2 2 2證：?/lezI=心r"叫=e*r,elzl=ex+r,， 2.?.le2l^e121.證明：le-2，lv1當(dāng)且僅當(dāng)Re(z)>0.證：le_2rl=e"z,當(dāng)Re(z)=*>。時(shí),le'2ll<1.反之，要想le-2il<1,需非=Re(z)>0./.Ie-2rl<1當(dāng)且僅當(dāng)Re(z)>0.證明:(a)ez=e*;(b)4'=￡"當(dāng)且僅當(dāng)2=kn(k-Q,±1,±2,…).證：(湛)e'=e'-偵=e'(cosy亠isiny)=e"(cosy+isin/)=e'.(b)???e'^77,e】￡=戸,.?. -z=z+2左兀,z=kn(人=0,土1,±2, ,反之，當(dāng)z二如時(shí).eu=e^1=(-1)\事=評(píng)=(-I)*,二此2,.，?e"=e"當(dāng)且僅當(dāng)z-kn(SO,±1,±2,一).(a)若b為純虛數(shù)次有什么限制？(b)證明:若L為實(shí)數(shù)八則Im(2)=kn(Ar=O,±1,±2,…).證：3)當(dāng)eJ=e*(cosy+isiny)為純虛數(shù)時(shí)，cosy=0,Im(z)=Air+-y(A=0,土1,±2,???).(b)設(shè)z=x+iy,則當(dāng)e*=eT(cosy+isiny)為實(shí)數(shù)時(shí),siny=0,二Im(z)二膈(人=0,±1,±2,…).1*5.7證明：(a)]n(l-i)=*hi2■于i;(b)Ln(-1+731)=ln2+2(L+：)iri(&=0,±1,±2,,??).證：(a)ln(1-i)=：InV^-奇1=§】n2—號(hào)i；(b)Ln(-1+扼i)=Jn2+ +2km=ln2+2(A+§)7ri(ft=0,±1.±2,***)-1.5.11證明:若Re(zj)>0,Re(z2)>0,那么ln(z"2)=In%+lnz2.證：由1.1.22知Re(^)>0,Re(z2)>。時(shí)，arg(ziz2)=arg^j+argz2,InIZiz2I二InI硏I+InI名21,/.lnZ]Z2=InIZ[I?I+ia能(Ziz?)=IniZiI+InIZ21+i(argzi+arg*)=InZ]+lnz2?應(yīng)用A』?)=Arg*〕-Ai^z2，證明：Ln(?)=偵旳一Ln^a證：Ln(于)=In；+iArg(?)=InII-InI契I+iArgZ]-iAj^z2二Lnzj一Ljizr,結(jié)論成立.證明：當(dāng)n=0,土1,±2,“?時(shí)，(1+i)]=e〈-如an%加；(b)(-況=e先丄.證：(a)(1+i)，=號(hào)頓1+。=e'“的+*+25=?(驀+2痢諄成；(-1)i=eiLn(-°=e柵小扃=e號(hào)f("』=。,±1,±2,…).求值：(a)(1-i)4'； (b)[-~(-1-?/3i)].解:(a)(1■I)%=?4和。-，)=e4心頌=eM-8Se，s；(b)[y(-1-V3i)]3m=e3*￥-i-鳳)___e(2-6*)/1.5.16由/=e?；蜃C明：(-1+再。號(hào)=士2皿.證：(-1+屈)言=云項(xiàng)-】，功=云3+爭+2知)=迎3如°花=±2^2.等式成立.1.5.17證明：若z/O,a為實(shí)數(shù)，那么Ml=e*頃=J—_gOrLni_^a(Inlil+iargr+2^m).78..78..78..78.1717/.Iz，l=enw=Izl".1.5.18令c,d和z(eO)為復(fù)數(shù)，若所有的幕均取主值,證明:~-=z"c； (b)zczJ—zcd.z證：(a)zJz-c=eg'e-°M=e°=l,1-c.L~=Z,Zz財(cái)二e"d?edL口=證明：e"=cosz+isinz,證：?.?右邊=+芽一=e“=左邊，.*.等式成立.(f)證明：2&in(zj+初帰収跖-如)=cos2z2一cos2z[.證：2sin(zi+矣)$匝(名1-切)=cos2z2一cos2zi「?等式成立.1.5.20中的(a)-(e),(g)可類似證之.證明:Isinz12=sin2x+sh2y,并進(jìn)而推出IsinzlNIsinxI.證:sinz=sinxcosiy+cosxsiniy=sinxchy+icosxshy,「■IsinzI2=(sinxchy)2+(cosxshy)2=sin2x+sh2y,IsinzINIsinxI.證明；IshyIWIsiuz丨wchy;IshyIIudszIehy.證：由上題sin2x+sh2y=Isinz12=ch2y-cos2x,/. IshyIwIsinzIwchy?同理IshyIwIcoszlwchy.1,5.23證明:cosz=0當(dāng)且僅當(dāng)z=(土+.)而其中&為整數(shù).證：cosz=cosxchy-isinxshy0t二cosx=0且shy=0,z=式+iy=(土+土)兀(k=0,±1,±2.以上過程可逆，故結(jié)論成立.

1.5.24根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念解方程.sinz=ch4;(b)sinz=V2; (c)coS2=2<解：(a)丁sinz=sinxchy+icosxshy=ch4,x-2fcrc+y-±4,或8inx=ch4,y=0(無解，舍去).z二（24+土）丸±屯（上=0,±1,士2,…）.(b)(c),.?1.5.27證：.??(b)(c),.?1.5.27證：.??x=2如+與」y=-In(再+1),或sinx=a/^,y=0(無解，舍去).z=(2左+ —iln(&+1)(心二0,±1,土2,…).cosz=cosxchy-isinxshy=2,x=2Attt y=—1ii(2+a/3),或cosx=2,y=0(無解，舍去).2=2fc7r-iln(2+V3) (A-0,±1,±2,…).證明:shz二shzcosy+ichxsiny>sinix. ..石辺=-;—cosy+icosixsiny—i(cosixsiny一sini?cosy)=isin(y-i用)=isin(-i)(x+iy)2 1.e'-e". =12i =-2=血’等式成立.1.5.29證：?.推導(dǎo)公式:Arthz二吉Ln!+1.5.29證：?.推導(dǎo)公式:Arthz二吉Ln!+I2 1-2>shzez-e~2w=tnz=~7一chziz1+we_1 ，1-wArthw=-yLne、+e"T1+wz=5頊！ ，1-w1+tv1-妒1.5.30Arthz=-^-Ln2 1-z計(jì)算:(a)Arctan(2i)；(b)Arctan(1+i);.19..19..19..19.Arch(-1); (d)Arth(O)-解：(a)Arctan(2i)=-土Ln芒備=(A+j7T+~2^ (k=0,土1,土2,…)；Arctan(l+i)=一 :=(上+土)江一-^-arctan2+^ln5(上二。，土1,±2,???)；Arch(-1)二Ln[ 1+ {-1)2-1]=(2&+l)ni(左=0,±l,±2,???)；Arth(O)=[tn尹頂=如i(&=0,±1,±2,…).Z1—u第2章導(dǎo)數(shù)24內(nèi)容要點(diǎn)瘻變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算法則定義1設(shè)r（z）在包含.勺的某區(qū)域D內(nèi)有定義，如果].了（￡）-/（邇）11m fn-如存在，那么我們說函數(shù)/（z）在軻可導(dǎo)（或可微），并稱這個(gè)極限為函數(shù)W=f（s）在為處的導(dǎo)數(shù)，記為/-（z0）.即廣（如）=命3也.L噸若記2=20+厶丄則得到f'（勁）的另一種表達(dá)式廣 ■也’Am W定理1函數(shù)/（芯）=,y）+iv（x,y）在定義域內(nèi)一點(diǎn)z=x+\y可導(dǎo)的必要與充分條件是：U（x,y）和v（x,y）在點(diǎn)（my）可微，并且在該點(diǎn)滿足柯西-黎曼方程du_業(yè)3iz亠也dx3y't）y dx'解析函數(shù)的概念、函數(shù)解析的必要與充分條件定義2如果函數(shù)六待）不僅在毎處可導(dǎo)，而且在逖的某個(gè)鄰域內(nèi)的任?點(diǎn)可導(dǎo)，則稱/（z）在初解析.如果函數(shù)/（z）在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)解析，則稱六上）在區(qū)域D內(nèi)解析.定理2函數(shù)_/U）=Hx,y）+i”（*,y）在其定義域D內(nèi)解析的必要與充分條件是：以八了）與認(rèn)*,y）在D內(nèi)可微，并且滿足柯西-黎曼方程ah_也3u3心3xa了*dydx■解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，由解析函數(shù)的實(shí)部求其虛部和由虛部求其實(shí)部的方法定理3設(shè)f（2）=以*/）+切伝顔）是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么u（x,y）-20.??#.還有一些函數(shù)如/?)=丄JJ)=IZI在整個(gè)復(fù)平面上是處處不解析的，它們沒有孤立奇點(diǎn).原點(diǎn)及負(fù)半軸上的點(diǎn)是函數(shù)/■(￡)=L"的奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn).第二步：判斷］imf(z)是否等于常數(shù)，如果是常數(shù)，則蹌為f(z)的可去奇點(diǎn).宀口例如：因?yàn)閘im曇=1,所以z=0為函數(shù)/(z)=業(yè)的可去奇點(diǎn).f—^02r E第三步：如果lim/(z)不等于常數(shù)，看它是否屬于下面兩種類型：「j①若lim(2-z0)y(j)=Me為不等于0的常數(shù))，則穌為了(z)的k階極點(diǎn).f例如：因.^IimCz-0)2 1~=-1尹。，所以z=。為/(z)的二階極點(diǎn). (2-1)①若f(z)為分母含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)情形，則通過分母的零點(diǎn)來判斷孤立奇點(diǎn)是否為極點(diǎn).例如：函數(shù)= 7的分母有零點(diǎn)Z=2如，由于(COS2T-1)'例如：函數(shù)COSZ-1二0j(cnsz-1)N=-1#0,從而z=2&jt二0j(cnsz-1)N因?yàn)閦=2kn不是分子e*的零點(diǎn)，所以￡=為f(z)的二階極點(diǎn),例如；函數(shù)/J)=(寸:］)衛(wèi)的分母有零點(diǎn)寥=2km(k=0f±1,±2*…)，由于［(b-1)'］， =0,［(eJ- #0*從而2=2kni為分母的二￡=2kxi 2=2ilcin階零點(diǎn).又因?yàn)閆=財(cái)朮當(dāng)化產(chǎn)。時(shí)不是分子的零點(diǎn)，故Z=2虹i靜尹0)為f(z)的二階極點(diǎn).當(dāng)在=0時(shí)z=0為分子的一階零點(diǎn)，故z=0為六z)的一階極點(diǎn).第四步：=S|\-1，故捧=。為/(z)■0小*￡如果第三步不易做到，此時(shí)只好將在孤立奇點(diǎn)知的解析鄰域內(nèi)展為羅朗級(jí)數(shù)，依孤立奇點(diǎn)分類的定義來判斷其類型.若級(jí)數(shù)中有無窮多項(xiàng)J-=S|\-1，故捧=。為/(z)■0小*￡例如：因?yàn)楹瘮?shù)人￡)=ze7=~rn=0 *的本性奇點(diǎn).2!-ft— +——_?2!-ft例如：因?yàn)楹瘮?shù)0)=L=~=—七尹——(m為整數(shù)),所以當(dāng)m*2時(shí),z=。為f(z)的可去奇點(diǎn)；當(dāng)m>3時(shí)3=。為六z)的階極點(diǎn).

在這一為里奏求對(duì)常用函數(shù)的羅期展式校為熟悉.2.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為孤立奇點(diǎn)的分類方法與步驟第一步；判斷l(xiāng)im/（z）是否等于常數(shù)，若為常數(shù)，則z=s為/J）的可去奇J—■-8點(diǎn).例如：lim%!、=°，則纟=00為六2）的可去奇點(diǎn).LEZ-L）第二步：令耕=+逐（關(guān)）=■/（￡■），判斷W=。作為函數(shù)夙切）的孤立奇點(diǎn)的類型（方法步驟同上面5.3中1所述），依據(jù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為孤立奇點(diǎn)的分類的定義下結(jié)論.例如：判斷函數(shù)/*）=*法的孤立奇點(diǎn)峯=?的類型.解：設(shè)#-*,甲（甘）=/（：）,則甲（卻）=—r丁 Wlim^p(w)=limw*——=1?Hl—。 *fo w故叫=0為,p（w）的一階極點(diǎn)，即z=8為/（/=ze7的一階極點(diǎn).例如：判斷函數(shù)fh）=V的孤立奇點(diǎn)z=?的類型.解：設(shè)顯=!，少（叫）=/（*■）,則卩(陽)二w*sh—=f w卩(陽)二w*sh—=f wy_y]“=0幾！妒宀0冗！（—w）"2V]8為六z）=半的本性奇點(diǎn).8為六z）=半的本性奇點(diǎn).顯然，#=o為甲3）的本性奇點(diǎn)，即z=5.4典型例題例1計(jì)算ff良J3=1戒占+2)解： f* =2xiRes[(1 <,0Jizi=i2U+2) U+2)'=0.■93*=0.■93*=0.■93*=0.■93*此題目也可用柯西公式求解..dg_J頃=i行m+気，3/日3—f、-2?ri?Res1z3(z+2)=2E,丄lim[z，2!s-ol=irilim乙2fr”(z+2)37T1

=7*

此題目也可利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解.fdz

JMl=2彳(2m+1)"例3計(jì)算51-g3(z+2)解：L心疋七=遍,眼【溢①對(duì)+加?屜1=2iriTim—tz rrf?oz\2z+1)__1]

z(2z4-1)f2-I1+2宀竺卩+2丿=0-此題目也可用多連通域上的柯西公式的結(jié)論求解.例4計(jì)算[x&JIII=3z(z+2)解：f=隊(duì)-Re』2/1oV°l+M'ReJ%''.-2

Jwz'(z+2) 1?(^+2)i l?(z+2)=27tilimfz2*2/~]+2tzilim(2+2)

r^L y+2J」 l_w.r 1ni=-2mhm- +—工-o(z+2) ￡z2(z+2)=0.此題目也可用多遲通域上的高階導(dǎo)教公式的緒論求解一例5計(jì)算［也.JLzI~1COSZd'=2?ti?ReJ—+2ni?Res1cos2 lcosz2」解：cos^7t22m一2"i(cosz)*工2m2iri

+sinz|2=Z一S1UZv艾v艾_1?95.例6計(jì)算 dj Hl=3 +1）（￡+2）10解’j"1=3Z（Z+1）（z+2）10=&｛腿[小+J（z+2"'°]+Res_r1z（*+1）L+2嚴(yán)-1=-林詛削心+1）島+2）而’8】1_—1n5W二2iriRes]0=&腿、+工1+22)疽]=°’這道題目的特點(diǎn)是：被積函數(shù)有1。階極點(diǎn)2=-土用類似于例4的方法求解，將面臨9階導(dǎo)數(shù)的繁瑣計(jì)算，本題的解法對(duì)這類題目很有代表性.例7計(jì)算f丄

Ls例7計(jì)算解：| &=27ri22Res[-^-^uJ(zA=e先4I11=21+Z jl=I 1+213,4,5）=一&瞞[右,8]ZiriRes=2ni.這道題目的特點(diǎn)是積分所沿曲線圍住了6個(gè)(較多個(gè)數(shù))孤立奇點(diǎn)，這時(shí)借助相關(guān)結(jié)論通過函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)來求解題目，5.5習(xí)題選解5.1.1在擴(kuò)充復(fù)平面上找出下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)并加以分類，若是極點(diǎn),指出其階數(shù).⑴戶2*]\；(據(jù)2z；%；(c)(d)ze?;z(z+l)s-3z+2 jT!-服； (f)1-e; (g) ~~；(h)2cos—；z z U-z) z

(產(chǎn)濯；(k)/+L;(1)77-^77--^.z ■/I z(z+l) (1+z丿(1+e丿sin17)解：(a)孤立奇點(diǎn)為：0,±i,?.limE*芒+'limE*芒+'、-常數(shù)，=-0z\z+1)Um(z+i)-號(hào)：*'二常數(shù),…1 Z\Z4-1?v2z+1limi—?(z2+1)，Z=0,土i,為一階極點(diǎn)，Z=8為可去奇點(diǎn).lim(z2-1lim(z n,*3+i~ lim(z2-1lim(z n,*3+i~ -3^+2-2). —『-3#+21z3+1 '二7=常數(shù),=常數(shù),^?-3,+21戶+11+Uhm z L0 1 J宀r一—+2u u1+ iu3=lim-7^ TT7yr=mlqm(Zm-l)\.u-1?zU1,2,8均為一階極點(diǎn).(c)孤立奇點(diǎn)為：0,8,1丄7h?*丄7h?*8W211ZN 3M1=7-3H+5!-7! u-3!+^n?.*?古=0為三階極點(diǎn)技=8為本性奇點(diǎn).(d)孤立奇點(diǎn)為：0,?,..丄7I*=板AN,如=>了訃1 >nT■n=0nIZ n=0Urz=。為本性奇點(diǎn)，Z=8為一階極點(diǎn).(e)孤立奇點(diǎn)為：0,8.h 寸1(W! ~名(2"少宀.■-Z=。為可去奇點(diǎn)，彳=8為本性奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)為：0,?.

.1Z=0為三階極點(diǎn)"=8為本性奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)為：1,8.*.*lim(1-疔* —<2=常數(shù)Jim77^v不存在，li (1-zY is(1-z)/.z=1為二階極點(diǎn)z=?為本性奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)為：0,8丄VG少-2■\Z=0為本性奇點(diǎn)口=8為一階極點(diǎn).孤立奇點(diǎn)為：0,8.■/lim-—=1,lim 不存在,1-*0Z j*?Z二Z=。為可去奇點(diǎn)璀=8為本性奇點(diǎn).二土L±2,…).孤立奇點(diǎn)為：二土L±2,…).lim T(Ylim T(Y)neos—(-7Tsin—lim 不存在*7Tsin—.7T

sin一(k)孤立奇點(diǎn)為；0,-1.?

(k)孤立奇點(diǎn)為；0,-1.?

7呼壬*6 1占目一1+ 2°+1 …興hm "l-z<z+1；lim(z+1尸-■戶-士=一2,…1 2(Z+1)4+1 1 6hm =Lim ^5，Z丄(丄AU(1+U)u\u/2=0為一階極點(diǎn)次=-1為二階極點(diǎn)，ZM為三階極點(diǎn).⑴孤立奇點(diǎn)為：(2k+l)i叫=0,士1,±2,…)，8.V[<1+/)(1+峪)]'|i=(2t+l)J=4k(k+0,當(dāng)ft=-1,0時(shí)上式為。，當(dāng)論產(chǎn)-1,0時(shí)上式不為0.-±1又v((1+?)(1+e")]"L=±,=[2+ + +2)e^]r=±1=土4ni產(chǎn)。,-±1刖(1+21+葉)不存在'Z=±i為二階極點(diǎn)，芯=(2k+l)i3尹-1,0)為一階極點(diǎn)，z=，，98-，，98-?97*?97*8為本性奇點(diǎn).5.1.2證明：若Z(>是/(z)的m(m>1)階極點(diǎn)，那么初是廣的m+1階極點(diǎn).證：物是/(Z)的m階極點(diǎn)，故有解析函數(shù)<p(z)(^(zG) 0)使得：了⑴=廠丄下甲⑴，廣⑴ 一叫二頑打(分子在初處不為。)，\2J和丿

初為/"'(2)的m+1階極點(diǎn).5.1.3設(shè)花是函數(shù)的叫階零點(diǎn)，又是gj)的小階零點(diǎn)，試問下列函數(shù)在ZO處具有何種性質(zhì).(a)f(z)+g(z)； (b)f(s)'g(z);(Qhk解：因毎是六z)的m階零點(diǎn)，gj)的e階零點(diǎn)，故可設(shè)/(z)=(Z-和)*(z), g(g)=(zf命)W(2T).其中以E)，W(Z)在孫的某鄰域內(nèi)解析且在相不為0.■//(z)+g(z)=(z-明)勺J)+(z-明W),當(dāng)m產(chǎn)m時(shí)，列為+g(z)的imn(m,n)階零點(diǎn)，

當(dāng)m=小時(shí)，如為fj)+g(z)的大于等于叫階零點(diǎn)./(z),g(z)=(扌-距廣5步(*),W(z),???Z0為/'(z)*g(z)的m+R階零點(diǎn).(C):醫(yī)=(…。"編，?■-當(dāng)rft>n時(shí)，布為苦幺的m_n階零點(diǎn),

當(dāng)mW技時(shí)，"為渦的。階零點(diǎn).5-2.1求下列函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).TOC\o"1-5"\h\z(a)f(2)=?77；(攜六/=守蟲；("/(/=^^產(chǎn)二(d)y(G=—；(e)/(z)=i2sin一; (f)f(z)=sin— ;cosz Z-1 2+11 1 v2n(g)fj)=亍一；(h”(z)=zeg；(i) = (幾為自然數(shù));2sjnz 1+古1 *(j)f(z)= — (mm為自然數(shù))；(k)f(z)= ;—a/ —p) 1+z⑴f⑴=守T?z"-1)

解：(a)vf{z)=2J|Vm+i；Z=。為以z)二階極點(diǎn)撰=±i為fj)的一階極點(diǎn).ReMrJ)，們=Em[/*^71~ 1=。，A*。lzVz+1J」1=±2*Re心(z),±i]=/411=±2*J=±]IM+z丿J=±]vz=D為/(z)的可去奇點(diǎn)，Res[/(z)50]=0.7z=。為f(z)的i階極點(diǎn)，1lO1-昇1lO3(d)■/z=ftir+y(A?. Res[/(^),kn+=0,±7t2(d)■/z=ftir+y(A?. Res[/(^),kn+=0,±7t21,±2…)為/(z)的一階極點(diǎn),(_1"(e)■/z=1為/J)的本性奇點(diǎn)，^2sin—^—7=(z-1+I)2*-1TOC\o"1-5"\h\z「丄一1一+1 _ ]L-1 3!(z-1)，5!以-I)， 」，Res[/(z),1]=J=栄⑴vz=_1為了(z)的本性奇點(diǎn)，Z,K1 [ ?1 1 1- 1sin———=sin1- |=sinlcos -coslsin n+1 、z+1/ s+1 z+1=cos—$inl-z+1tTTT_3k7T7P+skTTTv_…"間，

Res[/(z),-1]=c_j=-cosl.(g):z=0為/"(z)的三階極點(diǎn)次=k忒k=±1,±2,…)為/(g)的一階極點(diǎn)，Res[/(z),0]=備lim(- ~Res[/(z),0]=備lim(- ~ZIlo\zsmzft,, Res[f(Z),7TJ—Zk2 —Zzminz+2.cosz2(h)??z=1為冷)的本性奇點(diǎn)，Ait丄_(-1)*(kn)2'.100..100..100..100.■■99-sn!(2-1)

3Res[/(±),1]=€.1=方.0,1,2,-*',n-1)為六家)的一階極點(diǎn),0,1,2,-*',n-1)為六家)的一階極點(diǎn),1嘗”，I=——en.z*=(-1)拓=k=j z羸/-Rest/(z)J-1)712(m-0(j) ■；z~a,P分別為z)的771階，71階極點(diǎn)，(m-0?- Re</(z),a]=(二1)!明=(-nm-,c：；Li(a-幻卜…,Re町⑴頒]=3一1)您[匚靜]=(-l)“」c快n-2(a-時(shí)J-".(k) Z=土1為f(z)的一階極點(diǎn)，TT2±=i為y（2）的一階極點(diǎn),「.Res[/（^）?±±=i為y（2）的一階極點(diǎn),二Res[/（z）f0]=1說（ ―）二丄%g）,i]=請(qǐng)M5.2.2設(shè)zo是函數(shù)了⑴的m階零點(diǎn)，求腿（勺昌，品.解：v詢?yōu)?J）的鞏階零點(diǎn)，故有布某鄰域內(nèi)的解析函數(shù)機(jī)*）（%（%）尹0），使m=（Z-和）*島）,f'（s）=m（z-而）*""?（■￡）+<p'（z）（z-z0）m,尸（z） 1 [時(shí)X）（U土]=litn（z-毎）-m.」f5.2.3設(shè)是函數(shù)f（z）的n階極點(diǎn)，求Rej憑解：v明為心的m階極點(diǎn)，故有跖的某鄰域內(nèi)的解析函數(shù)中（￡）（甲（列）0。），使Q）p(z)

Q）p(z)

(z-￡(J)".,,、田'(z)(z-而)_n#(z)J⑺.,,、田'(z)(z-而)_n#(z)J⑺=小)=/項(xiàng)辭…。"L=回J一 =-加5.2.4求下列各函數(shù)在其孤W奇點(diǎn)的留數(shù).(b)/U)=ZI糸;(C)/(￡)=八el1)；cotz;eJ-1■?'(h")=%I>0,0<arg2<2冗).z=±3i為心的一階極點(diǎn)，Res[/(z),±3i]=￡vZ=i%f(z)的三階極點(diǎn)，cotz;eJ-1■?'(h")=%I>0,0<arg2<2冗).z=±3i為心的一階極點(diǎn)，Res[/(z),±3i]=￡vZ=i%f(z)的三階極點(diǎn)，⑴f(z)=(a)?/解；(b)-A(iZ+1Res[/(z),i]=*lirnf(z-i)3:十芻]=3i.(e)vZ=。為f(z)的二階點(diǎn)璀=2Mk=±1,土2,…)為/(z)的一階極點(diǎn)，(e)■'■Res[/(ir),0]=lim[z2-x*oL z(e-1)Res[f(z)”知]= 土?+ze1-1“(d)z="(k=0,±1,±2,…)為六9的一階極點(diǎn),=1,X-k7t/.Res[/(j),Arn]==1,X-k7tcosir(g)VV(i)Z*=(-4)1=心理m(k=。丄2,3)為f(z)的一階極點(diǎn),Res[f(z)=右2=0為可去奇點(diǎn)，」./y掘…=。為可去奇點(diǎn)，(-Di+\廣Res[/(z),0]=QtRes[/(z),0]=j=爵.Re$[/(g),0]=0.Z=-i為/(z)的一階極點(diǎn)，?101?101-?101?101-Res[/(z)，-i]= 13= =(-i)4.利用留數(shù)計(jì)算下列積分.(b)(a)(b)I(d)(e)-~-dz,C^x2+y2=2x;(f)a,1+z(d)(GJ11a(GJ11a■—■ A2?1+I、I 芻inz（h） 絲血，（m為正整數(shù)）;JzIJl=I為不過。和i的任意簡單閉曲線;⑴J⑴J檢2；（k）dz;(1)je_^sin-2 IjF-1(m)I 二~dz; (n)(tanTtzdz,尸 eIi-2ir|=及z=。為三階極點(diǎn)危=±z=。為三階極點(diǎn)危=±1為一階極點(diǎn),R司戸？,0]=土晚（占）=1,R扇上,±1]=攜資!?T7^=2m(i-I-y)-0-\l\=1(b)Z=0為魚史的可去奇點(diǎn)，故留數(shù)為0,(b)j半必=0.IfI=-Z-(r)■/(r)■/2i為f（z）的一階極點(diǎn),128f(d)■/丄12'，（(d)■/丄12'，（4+/）J+5i）dz=&（，#=壽或3=1為被積函數(shù)的二階極點(diǎn)，J薩Res|￡|z一"i]=如e, 』，7ds■4me?—一1)，，103，，，103，??702?引=貞，砲=A為被積函數(shù)的一階極點(diǎn),(f)(g)r1,j：.二 (1Z=-戶】.I+? 42z=0為被積函數(shù)的本性奇點(diǎn),Res[sin^7*^]=<?,t=19Jsin丄dz二2tti.I岀丨M】z=i為被積函數(shù)的一階極點(diǎn)，n[eXi.1脂|1R叫匚3河=玖=廣f(h)1±i),rp# dz=Tre'1.Ir.,l=l1+2mW2時(shí)，z=0為可去奇點(diǎn)，積分為0.m=3時(shí),z-0為一階極點(diǎn),ReJ—=多m>3時(shí)，￡=0為m-2階極點(diǎn)t□「1-cosznl f八山 1Res|? ,0]=c_|=(-1)2(小_i)!，pt—3OttiC0S2[ dz0,⑴①C不包含饑1時(shí)，積分為(kC只包含0時(shí)，原式=2jrilim -，妒/-1/C只包含1時(shí)，原式=2jcilim零。同時(shí)包含0,1時(shí)，原式=2zi(-(j)Z=1為二階極點(diǎn),J31瀘=2啊[、mm3,1+sinl),2Trie-1-丄 ? 1￡=o為本性奇點(diǎn)，紡’=X—r

n=o宀

Raisin—=27tiRes[Raisin—=27tiRes[/(^),0]=2荷(?_]=2jti.Id(m) /(z)的所有奇點(diǎn)z*=-(2為+ =0,±L±2,-)均為一階極點(diǎn)，圓Iz-2irf=2冗包含了Re$J(z),飮]=。(羸+?*,/.I「“dz=27riRes[/(2f),z_}]+2mResL/(z),Je-j, 3 7、=2點(diǎn)(礦v+e-271).(n)■，-/U)的被3丨=此包含的所有奇點(diǎn)爺=±(n-1),-n)均為一階極點(diǎn)，k+多3=0,±1,Res[/(2；k+多3=0,±1,7TTOC\o"1-5"\h\zf 」1/.tanitzdz=2nL2n, -一4ni.J nJfI=n試求下列函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).y(2T)=—; (h)J(g)=e=; (c)/(z)= ;z z+1(d)/(M)= --1■ ;(e)/(z)=eI+7； (f)f(z)=—z(，+l)(s4) sin|M)=宀土. 'z($