《計算機(jī)數(shù)值方法教學(xué)》第四章 有限差分法的基本概念

第四章

有限差分法的基本概念§4.1引言§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法§4.3差分方程§4.4顯式和隱式差分格式§4.5差分格式的基本性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯ppt§4.1引言(1)離散化概念bxf(x)axx+△x計算域控制方程離散點代數(shù)方程組編輯ppt(2)

離散化網(wǎng)格§4.1引言xit1tntNxt(i,n)x0x1xIt0…………Pdiscretegrids編輯ppt復(fù)雜外形網(wǎng)格生成(2)

離散化網(wǎng)格§4.1引言編輯ppt(3)

離散化過程網(wǎng)格生成L(u)=0B(u)=0I(u)=0§4.1引言編輯ppt(4)有限數(shù)值模型計算域離散化因變量離散分布反映同一的物理特性和信息分析離散帶來的偽物理效應(yīng)§4.1引言編輯ppt(4)有限數(shù)值模型§4.1引言偏微分方程的離散方法：

有限差分法FiniteDifferenceMethod（FDM）有限體積法FiniteVolumeMethod（FVM）有限元法FiniteElementMethod（FEM）譜方法SpectralMethod…………編輯ppt(5)

有限差分法～～微商差商微分方程差分方程§4.1引言編輯ppt向前差分（前差）(5)

有限差分法向后差分（后差）中心差分（中心差）§4.1引言～～～xi+1xuxi-1xiABC編輯ppt離散對象：離散方法：離散結(jié)果：偏微分方程和定解條件差商取代微商有限節(jié)點值的有限個代數(shù)方程組的數(shù)值解(5)

有限差分法§4.1引言編輯ppt基本問題：判斷方程的類型，選擇合適的差分離散方法；對解域的選取和網(wǎng)格劃分；方程和定解條件的離散，構(gòu)造逼近微分方程定解問題的差分方程；解的合理性研究。(5)

有限差分法§4.1引言編輯ppt解的精度:數(shù)值解的誤差估計；解的收斂性及收斂速度:與偏微分方程的一致性；解的穩(wěn)定性：對誤差傳播的敏感程度；解的結(jié)構(gòu)研究：逼近真實解的形式?；締栴}：解的合理性研究：差分余項效應(yīng)

數(shù)值耗散

數(shù)值色散(5)

有限差分法§4.1引言編輯ppt§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法泰勒級數(shù)展開法待定系數(shù)法差分算子法編輯ppt(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)截斷誤差一階精度編輯pptP一階精度xt

空間前差(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP

時間前差一階精度xt(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP一階精度

空間后差xt(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP一階精度

時間后差xt(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP二階精度

空間中心差分xt(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)編輯ppt(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法二階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP二階精度

空間中心差分xy(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法二階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP二階精度

空間中心差分xy(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法二階偏導(dǎo)數(shù)編輯pptP二階精度

空間中心差分xy(1)泰勒級數(shù)展開法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法二階偏導(dǎo)數(shù)編輯ppt(2)待定系數(shù)法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法四階精度五點中心差二階精度三點后差二階精度三點中心差編輯pptP二階精度

空間三點后差xt(1)待定系數(shù)法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法一階偏導(dǎo)數(shù)編輯ppt(3)差分算子法§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法移位算子E:前差算子△:后差算子▽:中心差算子微分算子D:δ:編輯ppt§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法(3)差分算子法例

1:△＝▽E例2:例3:Dand△Dand▽Dandδ編輯ppt(3)差分算子法應(yīng)用：

1、構(gòu)造高階差分格式；

2、求解截斷誤差。習(xí)題：P1154.6§4.2導(dǎo)數(shù)的差分近似方法編輯ppt§4.3差分方程偏微分方程代數(shù)方程組1)判斷控制方程數(shù)學(xué)性質(zhì)；2)網(wǎng)格生成；3)控制方程

初始條件

邊界條件代數(shù)方程組；編輯ppt§4.3差分方程4)求解代數(shù)方程組；5)解的合理性分析:相容性收斂性穩(wěn)定性網(wǎng)格效應(yīng)差分余項效應(yīng)偽物理效應(yīng)宏觀特性微觀特性編輯ppt§4.3差分方程差分離散FTCS（時間前差空間中心差分格式）:編輯ppt§4.3差分方程微分方程差分方程截斷誤差編輯ppt

時間前差空間后差格式（FTBS）

時間前差空間前差格式（FTFS）……§4.3差分方程編輯ppt

……

時間前差空間中心差分格式（Lax-Wendroff格式）

……§4.3差分方程編輯ppt

時間前差空間后差格式（FTBS）§4.3差分方程編輯ppt相同網(wǎng)格步長下的不同差分格式的數(shù)值解有何差異？問題：§4.3差分方程編輯ppt精確解：計算域：§4.3差分方程編輯pptFTBS格式：FTFS格式：§4.3差分方程編輯pptFTFS格式§4.3差分方程編輯pptFTBS格式§4.3差分方程編輯ppt現(xiàn)象：一階精度FTFS格式的數(shù)值解發(fā)散，導(dǎo)致計算無法運(yùn)行下去?！?.3差分方程編輯pptFTBS格式：FTFS格式：§4.3差分方程編輯ppt特征線:QxiXi+1xi-1P(xi

，tn+1)tn+1x-at=xi-atn+1tn§4.3差分方程編輯ppti-1ii+1xa差分方向FTBS:差分方程應(yīng)能正確反映與原微分方程相同的物理性質(zhì)和信息?！?.3差分方程編輯ppt相同網(wǎng)格步長下的不同差分格式的數(shù)值解有何差異？同一差分格式下的不同時間步長的數(shù)值解有何差異？問題：§4.3差分方程編輯ppt

時間前差空間后差格式（FTBS）和§4.3差分方程編輯pptFTBS格式§4.3差分方程編輯pptFTBS格式§4.3差分方程編輯ppt現(xiàn)象：一階精度FTBS格式的時間步長受計算穩(wěn)定性限制?！?.3差分方程編輯ppt相同網(wǎng)格步長下的不同差分格式的數(shù)值解有何差異？同一差分格式下的不同時間步長的數(shù)值解有何差異？問題：一階精度格式和二階精度格式的數(shù)值解與解析解的差異？§4.3差分方程編輯pptFTBS格式：Lax-Wendroff格式：（空間一階精度）（空間二階精度）§4.3差分方程編輯pptFTBS格式（空間一階精度）FTBS格式數(shù)值耗散§4.3差分方程編輯pptLax-Wendroff格式（空間二階精度）Lax-Wendroff格式數(shù)值色散§4.3差分方程編輯ppt現(xiàn)象：一階精度格式產(chǎn)生數(shù)值耗散效應(yīng)；二階精度格式產(chǎn)生數(shù)值色散效應(yīng)?！?.3差分方程編輯ppt小結(jié)：差分方程應(yīng)能正確反映與原微分方程相同的物理性質(zhì)和信息；需分析離散所帶來的偽物理效應(yīng)的表現(xiàn)及其控制?！?.3差分方程編輯ppt§4.3差分方程習(xí)題：求出方程

下述差分格式的截斷誤差：編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

1)顯式差分格式離散化：解域離散：方程離散：初、邊條離散編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

1)顯式差分格式差分格式：1i-1xt0n=1nn+1T=bT=aii+1編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

1)顯式差分格式xt編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

2)隱式差分格式Crank-Nicolson格式:編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

2)隱式差分格式xtCrank-Nicolson格式:編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

3)對比例:FTCS:編輯ppt§4.4顯式和隱式差分格式

3)對比i=‥‥ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4n=0‥‥ 0 0 0 0ε 0 0 0 0n=1‥‥ 0 0 0 ε-ε

ε 0 0 0n=2‥‥ 0 0 ε -2ε3ε -2ε

ε 0 0n=3‥‥ 0 ε

-3ε 6ε-7ε 6ε -3ε

ε 0編輯ppt§4.5差分格式的基本性質(zhì)

1)差分格式的精度截斷誤差精度時間β階、空間α階編輯ppt

2)三種類型的解偏微分方程精確解差分方程精確解差分方程數(shù)值近似解實際誤差：§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt

2)三種類型的解實際誤差：離散誤差:舍入誤差:§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt

3)宏觀特性(ii)收斂性:(iii)穩(wěn)定性:(i)相容性:§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt

時間前差空間后差格式（FTBS）和例1：4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt精確解：計算域：4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯pptFTBS格式4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯pptFTBS格式4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt現(xiàn)象：一階精度FTBS格式的時間步長受計算穩(wěn)定性限制。4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯pptFTCS:CTCS:例2：4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppti=‥‥ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4n=0‥‥ 0 0 0 0ε 0 0 0 0n=1‥‥ 0 0 0 ε-ε

ε 0 0 0n=2‥‥ 0 0 ε -2ε3ε -2ε

ε 0 0n=3‥‥ 0 ε -3ε 6ε-7ε 6ε -3ε

ε 04)差分格式的穩(wěn)定性分析編輯ppti= 0 1 2 3 n+3n+2n+1nn-14)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯pptVonNeumann方法傅利葉級數(shù)：4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯pptVonNeumann方法4)差分格式的穩(wěn)定性分析編輯ppt編輯pptVonNeumann方法傅利葉級數(shù)：舍入誤差：4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt

舍入誤差：VonNeumann準(zhǔn)則:放大因子：VonNeumann條件是初邊值問題穩(wěn)定的必要條件。4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯pptFTCS格式Richardson格式Crank-Nicolson格式4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)VonNeumann方法例：熱傳導(dǎo)方程編輯pptFTCS格式：4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)VonNeumann方法例：熱傳導(dǎo)方程穩(wěn)定性條件:編輯pptRichardson格式(CTCS)：絕對不穩(wěn)定4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)VonNeumann方法例：熱傳導(dǎo)方程穩(wěn)定性條件:編輯pptCrank-Nicolson格式：穩(wěn)定性條件:絕對穩(wěn)定4)差分格式的穩(wěn)定性分析§4.5差分格式的基本性質(zhì)VonNeumann方法例：熱傳導(dǎo)方程編輯ppt

習(xí)題:

下述差分格式的穩(wěn)定性條件:利用VonNeumann方法分析方程§4.5差分格式的基本性質(zhì)編輯ppt

§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散1)修正方程差分方程實際上所準(zhǔn)確逼近的微分方程，稱為該差分方程的修正方程，通常要求在修正方程中不包含有對時間的高階導(dǎo)數(shù)項。修正方程是差分方程的微分表達(dá)式。編輯ppt

例1:FTCS差分格式:修正方程:§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散1)修正方程編輯ppt

例2:FTBS差分格式:修正方程:§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散1)修正方程編輯ppt

修正方程:§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散1)修正方程編輯pptFTBS格式：Lax-Wendroff格式：（空間一階精度）（空間二階精度）例：2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯ppt精確解：計算域：2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯pptFTBS格式（空間一階精度）FTBS格式數(shù)值耗散效應(yīng)2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯pptLax-Wendroff格式（空間二階精度）Lax-Wendroff格式數(shù)值色散效應(yīng)2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯ppt現(xiàn)象：一階精度格式產(chǎn)生數(shù)值耗散效應(yīng)；二階精度格式產(chǎn)生數(shù)值色散效應(yīng)。2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯ppt微分方程精確解：FTBS差分格式：差分方程精確解：2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯ppt微分方程精確解：差分方程精確解：波速：波幅：2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗散與數(shù)值色散編輯ppt數(shù)值色散數(shù)值耗散奇階項效應(yīng)偶階項效應(yīng)修正方程:2)差分方程數(shù)值解的性質(zhì)§4.6數(shù)值耗