統(tǒng)計(jì)學(xué)回歸分析

統(tǒng)計(jì)學(xué)回歸分析第1頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題提出：

醫(yī)學(xué)研究中常研究某因素存在條件下某結(jié)果是否發(fā)生？以及之間的關(guān)系如何？因素（X）疾病結(jié)果（Y）

x1，x2，x3…XK

發(fā)生Y=1

不發(fā)生Y=0例：暴露因素冠心病結(jié)果高血壓史(x1)：有或無(wú)有或無(wú)高血脂史(x2)：有或無(wú)吸煙(x3)：有或無(wú)第2頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二研究問(wèn)題可否用多元線性回歸方法？

1.多元線性回歸方法要求Y的取值為計(jì)量的連續(xù)性隨機(jī)變量。2.多元線性回歸方程要求Y與X間關(guān)系為線性關(guān)系。3.多元線性回歸結(jié)果不能回答“發(fā)生與否”logistic回歸方法補(bǔ)充多元線性回歸的不足第3頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Logistic回歸方法

該法研究是當(dāng)y取某值（如y=1）發(fā)生的概率（p）與某暴露因素（x）的關(guān)系。

P（概率）的取值波動(dòng)0～1范圍?；驹恚河靡唤M觀察數(shù)據(jù)擬合Logistic模型，揭示若干個(gè)x與一個(gè)因變量取值的關(guān)系，反映y對(duì)x的依存關(guān)系。第4頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

一、基本概念

1.變量的取值

logistic回歸要求應(yīng)變量（Y）取值為分類(lèi)變量（兩分類(lèi)或多個(gè)分類(lèi)）

自變量（Xi）稱(chēng)為危險(xiǎn)因素或暴露因素，可為連續(xù)變量、等級(jí)變量、分類(lèi)變量?？捎衜個(gè)自變量X1，X2，…Xm

第5頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.兩值因變量的logistic回歸模型方程一個(gè)自變量與Y關(guān)系的回歸模型如：y：發(fā)生=1,未發(fā)生=0x有=1無(wú)=0，記為p（y=1/x）表示某暴露因素狀態(tài)下，結(jié)果y=1的概率（P）模型?；蚰Ｐ兔枋隽藨?yīng)變量p與x的關(guān)系第6頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二P概率10.5Z值0123-1-2-3圖16-1Logistic回歸函數(shù)的幾何圖形Β為正值，x越大，結(jié)果y=1發(fā)生的可能性（p）越大。第7頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾個(gè)logistic回歸模型方程第8頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二logistic回歸模型方程的線性表達(dá)對(duì)logistic回歸模型的概率（p）做logit變換，截距（常數(shù)）回歸系數(shù)Y～（-∞至+∞）線性關(guān)系方程如下：第9頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在有多個(gè)危險(xiǎn)因素（Xi）時(shí)多個(gè)變量的logistic回歸模型方程的線性表達(dá)：或第10頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.模型中參數(shù)的意義Β0（常數(shù)項(xiàng)）：暴露因素Xi=0時(shí)，個(gè)體發(fā)病概率與不發(fā)病概率之比的自然對(duì)數(shù)比值。第11頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

的含義：某危險(xiǎn)因素，暴露水平變化時(shí)，即Xi=1與Xi=0相比，發(fā)生某結(jié)果（如發(fā)?。﹥?yōu)勢(shì)比的對(duì)數(shù)值。

P1（y=1/x=1）的概率P0（y=1/x=0）的概率第12頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

危險(xiǎn)因素

Yx=1x=0發(fā)病=130（a）10（b）不發(fā)病=070（c）90（d）

a+cb+d

危險(xiǎn)因素

Yx=1x=0發(fā)病=1p1p0

不發(fā)病=01-p11-p0

有暴露因素人群中發(fā)病的比例第13頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

反映了在其他變量固定后，X=1與x=0相比發(fā)生Y事件的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比?；貧w系數(shù)β與ORX與Y的關(guān)聯(lián)

β=0，OR=1，無(wú)關(guān)

β＞0，OR＞1，有關(guān)，危險(xiǎn)因素

β＜0，OR＜1，有關(guān)，保護(hù)因子事件發(fā)生率很小，OR≈RR。多元回歸模型的的概念第14頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、Logistic回歸模型Logistic回歸的分類(lèi)

二分類(lèi)多分類(lèi)條件Logistic回歸非條件Logistic回歸第15頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Logit變換

也稱(chēng)對(duì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換

logitP=第16頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二流行病學(xué)概念：設(shè)P表示暴露因素X時(shí)個(gè)體發(fā)病的概率，則發(fā)病的概率P與未發(fā)病的概率1-P

之比為優(yōu)勢(shì)（odds），logitP就是odds的對(duì)數(shù)值。第17頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Logistic回歸模型

Logistic回歸的logit模型

Logistic回歸模型第18頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、參數(shù)估計(jì)最大似然估計(jì)法（Maximumlikehoodestimate）似然函數(shù)：L=∏Pi

對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

lnL=∑(lnP)=lnP1+lnP2+…+lnPn

非線性迭代方法——

Newton-Raphson法第19頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二四、參數(shù)檢驗(yàn)似然比檢驗(yàn)（likehoodratiotest）

通過(guò)比較包含與不包含某一個(gè)或幾個(gè)待檢驗(yàn)觀察因素的兩個(gè)模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)變化來(lái)進(jìn)行，其統(tǒng)計(jì)量為G

（又稱(chēng)Deviance）。

G=-2(lnLp-lnLk)

樣本量較大時(shí)，G近似服從自由度為待檢驗(yàn)因素個(gè)數(shù)的２分布。第20頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二比分檢驗(yàn)（scoretest）以未包含某個(gè)或幾個(gè)變量的模型為基礎(chǔ)，保留模型中參數(shù)的估計(jì)值，并假設(shè)新增加的參數(shù)為零，計(jì)算似然函數(shù)的一價(jià)偏導(dǎo)數(shù)（又稱(chēng)有效比分）及信息距陣，兩者相乘便得比分檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量S

。樣本量較大時(shí)，S近似服從自由度為待檢驗(yàn)因素個(gè)數(shù)的２分布。第21頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Wald檢驗(yàn)（waldtest）即廣義的t檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為u

u服從正態(tài)分布，即為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。

Logistic回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)

第22頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

上述三種方法中，似然比檢驗(yàn)最可靠，比分檢驗(yàn)一般與它相一致，但兩者均要求較大的計(jì)算量；而Wald檢驗(yàn)未考慮各因素間的綜合作用，在因素間有共線性時(shí)結(jié)果不如其它兩者可靠。第23頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二五、回歸系數(shù)的意義

單純從數(shù)學(xué)上講，與多元線性回歸分析中回歸系數(shù)的解釋并無(wú)不同，亦即bi表示xi改變一個(gè)單位時(shí)，logitP的平均變化量。第24頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二流行病學(xué)中的一些基本概念：相對(duì)危險(xiǎn)度（relativerisk）:RR=P1/P2比數(shù)

Odds=P/(1-P)比數(shù)比OR=[P１/(1-P１)]/[P２/(1-P２)]在患病率較小情況下，OR≈RR第25頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Logistic回歸中的常數(shù)項(xiàng)（b0）表示，在不接觸任何潛在危險(xiǎn)／保護(hù)因素條件下，效應(yīng)指標(biāo)發(fā)生與不發(fā)生事件的概率之比的對(duì)數(shù)值。Logistic回歸中的回歸系數(shù)（bi

）表示，某一因素改變一個(gè)單位時(shí)，效應(yīng)指標(biāo)發(fā)生與不發(fā)生事件的概率之比的對(duì)數(shù)變化值，即OR的對(duì)數(shù)值。第26頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Logistic回歸系數(shù)的意義分析因素xi為二分類(lèi)變量時(shí)，存在（暴露）xi

＝１，不存在（未暴露）xi

＝０，則Logistic回歸中xi的系數(shù)bi就是暴露與非暴露優(yōu)勢(shì)比的對(duì)數(shù)值．即OR=exp(bi)=e(bi)第27頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分析因素xi為多分類(lèi)變量時(shí)，為方便起見(jiàn)，常用1，2，…，k分別表示k個(gè)不同的類(lèi)別。進(jìn)行Logistic回歸分析前需將該變量轉(zhuǎn)換成k-1個(gè)指示變量或啞變量（design/dummyvariable），這樣指示變量都是一個(gè)二分變量，每一個(gè)指示變量均有一個(gè)估計(jì)系數(shù)，即回歸系數(shù)，其解釋同前。第28頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分析因素xi為等級(jí)變量時(shí)，如果每個(gè)等級(jí)的作用相同，可按計(jì)量資料處理：如以最小或最大等級(jí)作參考組，并按等級(jí)順序依次取為0，1，2，…。此時(shí)，e(bi)

表示xi增加一個(gè)等級(jí)時(shí)的優(yōu)勢(shì)比，e(k*bi)表示xi增加k個(gè)等級(jí)時(shí)的優(yōu)勢(shì)比。如果每個(gè)等級(jí)的作用不相同，則應(yīng)按多分類(lèi)資料處理。分析因素xi為連續(xù)性變量時(shí)，e(bi)表示xi增加一個(gè)計(jì)量單位時(shí)的優(yōu)勢(shì)比。第29頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

多因素Logistic回歸分析時(shí)，對(duì)回歸系數(shù)的解釋都是指在其它所有自變量固定的情況下的優(yōu)勢(shì)比。存在因素間交互作用時(shí)，Logistic回歸系數(shù)的解釋變得更為復(fù)雜，應(yīng)特別小心。第30頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

根據(jù)Wald檢驗(yàn)，可知Logistic回歸系數(shù)bi服從u分布。因此其可信區(qū)間為進(jìn)而，優(yōu)勢(shì)比e(bi)的可信區(qū)間為第31頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二六、Logistic回歸分析方法基本思想同線性回歸分析。從所用的方法看，有強(qiáng)迫法、前進(jìn)法、后退法和逐步法。在這些方法中，篩選變量的過(guò)程與線性回歸過(guò)程的完全一樣。但其中所用的統(tǒng)計(jì)量不再是線性回歸分析中的F統(tǒng)計(jì)量，而是以上介紹的參數(shù)檢驗(yàn)方法中的三種統(tǒng)計(jì)量之一。第32頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

為計(jì)算方便，通常向前選取變量用似然比或比分檢驗(yàn)，而向后剔除變量常用Wald檢驗(yàn)。第33頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二七、條件Logistic回歸對(duì)配對(duì)/比調(diào)查資料，應(yīng)該用條件Logistic回歸分析。

對(duì)于配比資料，第i個(gè)配比組可以建立一個(gè)Logistic回歸：第34頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二假設(shè)自變量在各配比組中對(duì)結(jié)果變量的作用是相同的，即自變量的回歸系數(shù)與配比組無(wú)關(guān)。配比設(shè)計(jì)的Logistic回歸模型其中不含常數(shù)項(xiàng)。第35頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二可以看出此回歸模型與非條件Logistic回歸模型十分相似，只不過(guò)這里的參數(shù)估計(jì)是根據(jù)條件概率得到的，因此稱(chēng)為條件Logistic回歸模型。條件Logistic回歸的回歸系數(shù)檢驗(yàn)與分析，和非條件Logistic回歸完全相同。第36頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

八、logistic回歸的應(yīng)用

1.疾病（某結(jié)果）的危險(xiǎn)因素分析和篩選

用回歸模型中的回歸系數(shù)（βi）和OR說(shuō)明危險(xiǎn)因素與疾病的關(guān)系。適用的資料：

前瞻性研究設(shè)計(jì)、病例對(duì)照研究設(shè)計(jì)、橫斷面研究設(shè)計(jì)的資料。三類(lèi)研究計(jì)算的logistic回歸模型的β意義是一致。僅常數(shù)項(xiàng)不同。（證明略）第37頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.校正混雜因素，對(duì)療效做評(píng)價(jià)在臨床研究和療效的評(píng)價(jià)，組間某些因素構(gòu)成不一致干擾療效分析，通過(guò)該法可控制非處理因素，正確評(píng)價(jià)療效。3.預(yù)測(cè)與判別預(yù)測(cè)個(gè)體在某因素存在條件下，發(fā)生某事件（發(fā)?。┑母怕剩瑸檫M(jìn)一步治療提供依據(jù)。第38頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二輸精管切除術(shù)與動(dòng)脈粥樣硬化疾病的研究1．問(wèn)題的描述（1）輸精管切除術(shù)是否與動(dòng)脈粥樣硬化疾病有關(guān)？（2）如果存在聯(lián)系，與其他已知的危險(xiǎn)因素相比，輸精管切除術(shù)的相對(duì)重要性有多大？（3）哪些男性亞群在輸精管切除術(shù)以后發(fā)生動(dòng)脈粥樣硬化疾病的可能性特別大？

九、logistic回歸的應(yīng)用舉例第39頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二２．研究目的（1）一般目的確定輸精管切除術(shù)與其后因動(dòng)脈粥樣硬化疾病而住院之間是否有因果聯(lián)系；如果有，則確定輸精管切除術(shù)與患動(dòng)脈粥樣硬化性疾病的危險(xiǎn)性是否因觀察對(duì)象具有其他冠心病危險(xiǎn)因素，如吸煙、高血壓和高膽固醇等而增強(qiáng)。第40頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）特殊目的A．估計(jì)輸精管切除術(shù)及其男性動(dòng)脈粥樣硬化性疾病危險(xiǎn)因素的相對(duì)危險(xiǎn)度（使用單變量分析方法）；B．估計(jì)輸精管切除術(shù)對(duì)動(dòng)脈粥樣硬化性疾病獨(dú)立的作用（利用條件Logistic回歸模型）；C．檢測(cè)輸精管切除術(shù)導(dǎo)致動(dòng)脈粥樣硬化性疾病的可能期限；D．檢測(cè)在輸精管切除術(shù)、吸煙和高血壓之間可能的協(xié)同作用。第41頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二３．研究變量（1）按照世界衛(wèi)生組織標(biāo)準(zhǔn)來(lái)診斷動(dòng)脈粥樣硬化性疾??；（2）病人特征：年齡，出生日期，宗教，教育，職業(yè)，家庭史，婚姻狀況。（3）生育史：存活子女的數(shù)量與性別，妻子的生育情況。（4）生活方式：吸煙習(xí)慣，飲酒量，飲食習(xí)慣，食鹽量，喝咖啡量，體力活動(dòng)。（5）醫(yī)學(xué)史：有無(wú)可能導(dǎo)致不育的疾病或手術(shù)、高血壓、糖尿病或高膽固醇血癥。第42頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二４．研究設(shè)計(jì)

①抽樣：以完全隨機(jī)抽樣方式確定樣本。樣本量大小的計(jì)算是基于事先確定顯著性水平、把握度和打算測(cè)知的相對(duì)危險(xiǎn)度水平。假定樣本量確定為病例組500例，對(duì)照組1000例。本設(shè)計(jì)力圖避免或減少在病例一對(duì)照研究中常見(jiàn)的偏倚與誤差?；貞浧小⑦x擇偏倚和輸精管切除術(shù)報(bào)告偏倚對(duì)研究結(jié)果的真實(shí)性是極其重要的。第43頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二②資料收集：病例組的選?。赫{(diào)查員審閱每日住院病人情況→如果診斷適合研究的范圍，將病例轉(zhuǎn)給心臟病主任醫(yī)師作評(píng)估→由他做出病例診斷是否合格的決定→調(diào)查人員核對(duì)病人背景資料是否合格→如果病人滿(mǎn)足診斷標(biāo)椎和背景資料合格→調(diào)查人員開(kāi)始詢(xún)問(wèn)并填寫(xiě)調(diào)查表→每完成5個(gè)病例和10個(gè)配對(duì)對(duì)照以后，請(qǐng)研究中心的工作人員對(duì)調(diào)查表進(jìn)行評(píng)估→重復(fù)以上步驟。第44頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)照組的選?。赫{(diào)查人員評(píng)估入院?jiǎn)尾⑦x擇符合配對(duì)標(biāo)椎和入院診斷合適的對(duì)照病例→核對(duì)病人背景資料是否符合入院標(biāo)準(zhǔn)→如對(duì)照組成員合格，則進(jìn)行調(diào)查。第45頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二③統(tǒng)計(jì)分析：A．計(jì)算未校正的相對(duì)危險(xiǎn)比（OR）與95％可信限范圍，以估計(jì)輸精管切除術(shù)和其他危險(xiǎn)因素的相對(duì)危險(xiǎn)度。B．利用配對(duì)的條件Logistic回歸模型計(jì)算校正相對(duì)危險(xiǎn)比，用此比來(lái)評(píng)價(jià)輸精管切除術(shù)對(duì)動(dòng)脈粥樣硬化的獨(dú)立影響。C．利用動(dòng)脈粥樣硬化作為因變量，輸精管切除術(shù)后間隔時(shí)間作為自變量，用條件Logistic回歸模型來(lái)檢驗(yàn)輸精管切除術(shù)后時(shí)間長(zhǎng)短對(duì)發(fā)生動(dòng)脈粥樣硬化的時(shí)間效應(yīng)。第46頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、Logistic回歸應(yīng)用的注意事項(xiàng)

1.模型中自變量的取值自變量（X）可為計(jì)量數(shù)據(jù)、分類(lèi)數(shù)據(jù)和等級(jí)數(shù)據(jù)。計(jì)量數(shù)據(jù)常重新劃為有序組段，OR的實(shí)際意義較大。例１：年齡（歲，x1）

十、logistic回歸的注意事項(xiàng)第47頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二數(shù)據(jù)的幾種賦值形式1）兩分類(lèi)變量，賦值為：有=1，無(wú)=02）有序變量，賦值；無(wú)=0，少=1，中=2，多=3

例；年齡＜45=145-54=255-64=3≥65=43.）多分類(lèi)無(wú)序變量：賦值為：?jiǎn)∽兞浚╠ummyvariable）形式見(jiàn)例：注：變量取值不同，方程的系數(shù)和符號(hào)將發(fā)生變化。第48頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

冠心病可能的危險(xiǎn)因素與賦值因素變量名賦值說(shuō)明年齡(歲)X1<45=1,4554=2,5564=3,65=4高血壓史X2無(wú)=0,有=1高血壓家族史X3無(wú)=0,有=1吸煙X4不吸=0,吸=1第49頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二年齡（X）化為啞變量的賦值年齡（歲)有序變量啞變量（方法一）X水平D1D2D3<40100040～

210050～301060～4001方程1：有序變量方程Β含義：x每增加1個(gè)單位（10歲），發(fā)病的lnOR平均增加β1第50頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20日，星期二方程2：?jiǎn)∽兞糠匠蹋▎∽兞總€(gè)數(shù)=分類(lèi)數(shù)－1）方程系數(shù)的解釋?zhuān)?/p>

表示40-歲/＜40歲相比的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比表示50-歲/＜40歲相比的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比表示60-歲/＜40歲相比的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比第51頁(yè)，共56頁(yè)，2023年，2月20