定積分的應(yīng)用教案

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課型新授

課題《7.4定積分的應(yīng)用》

課時2

教1、鞏固定積分的幾何意義及計算；

學(xué)2、掌握用定積分求直角坐標系下平面圖形的面積的方法；

目3、綜合運用知識分析解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)意

標識。

教學(xué)重點：應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，體會定積分的價值。

重點難點：如何選擇積分變量，確定被積函數(shù)。

難點

教學(xué)講練法，行為引導(dǎo)法，討論分析法，分層教學(xué)法。

方法

教學(xué)程序師生活動設(shè)計意圖

展示周莊的拱橋圖片，講述古代數(shù)學(xué)家的

故事及偉大發(fā)現(xiàn)：拱形的面積

設(shè)下懸念，

情

【課件展示】拱橋圖片以激發(fā)學(xué)生

景

問：橋拱的面積如何求解呢？

導(dǎo)的探索激

入

教答：……情，為后面

【學(xué)生活動】本環(huán)節(jié)安排學(xué)生討論，自主發(fā)現(xiàn)作開啟性的

學(xué)

解決問題方向——定積分跟面積鋪墊。

過

的關(guān)系

程

1、定積分的概念、幾何意義是什么？.

復(fù)

習(xí)2、定積分的計算方法有哪些？

提

【學(xué)生訓(xùn)練】練習(xí)一

問

2

１．計算4x2dx２．計算

2

復(fù)習(xí)定積分

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的幾何意義

2sinxdx

及計算，培

2

【學(xué)生活動】思考口答養(yǎng)學(xué)生復(fù)習(xí)

【課件展示】定積分表示的幾何圖形、練習(xí)答的學(xué)習(xí)習(xí)

案.慣。

新

21

4x2dx22

教22

課

y

學(xué)復(fù)習(xí)定積分

講

0x的幾何意義

過

授

程sinxdx0

【問題探究】（一）、探究由曲線所圍平面圖形

的面積

y

A

0abX

【學(xué)生活動】思考、探究、討論

【課件展示】展示結(jié)論培養(yǎng)學(xué)生樂

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于嘗試、敢

【教師簡單點評】探索到的結(jié)論一定可行嗎？于創(chuàng)新的精

這就需要通過實踐來檢驗。神。

【例題實踐】例１．計算由曲線yx2與

y2x所圍圖形的面積．

【師生活動】探究解法的過程.

1.找到圖形----畫圖得到曲邊形.鞏固了學(xué)生

2.曲邊形面積解法----轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出的作圖能

教新

輔助線3.定積分表示曲邊梯形面積----確定積力，在尋找

學(xué)課

分區(qū)間、被積函數(shù).曲邊梯形的

過講4.計算定積分.過程中提高

【板書】根據(jù)師生探究的思路板書主要分析過了學(xué)生的想

程授

程象能力。

解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面

y

積.

yx2

1y2x

B

C

D

A

完成了一般

-1O1x

理論和具體

-1

問題的有機

結(jié)合，初步

達到了識記

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y2x

解方程組得到交點橫坐標為的目標，突

yx2

出了教學(xué)重

x0及x1

sss點。

曲邊梯形OABC曲邊梯形

OABD

11

xdxx2dx

00

31

211211

x2x3

330333

0

【鞏固練習(xí)】練習(xí)3．求下列曲線圍成的圖形

新

教1.y=ex,y=e,x=02.y=x3,y=2x

課【問題探究】（二）、定積分表示曲邊梯形面積

學(xué)

講的兩種形式

過練習(xí)2．用定積分表示陰影部分面積

授

程y

y

DbNDC

yf(x)

A1

xf(y)

C1培養(yǎng)學(xué)生用

Bxf(y)

2

Myf(x)NaM發(fā)展、聯(lián)系

2AB

OabxOx

的哲學(xué)思想

圖1圖2

解決問題

【學(xué)生活動】回憶并口答圖1的答案；

引導(dǎo)學(xué)生由x為積分變量的定積分

類型來發(fā)現(xiàn)以y為積分變量的另一

種定積分類型。

【得出結(jié)論】定積分表示曲邊梯形面積的兩種

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類型.

【板書】配合學(xué)生探究的進展書寫推理的過程.

【課件展示】

圖1選擇X為積分變量，曲邊梯形面積為

Abf(x)dxbf(x)dx

12

aa

圖2選擇Y為積分變量，曲邊梯形面積為

Abf(y)dybf(y)dy

21

aa

【例題實踐】例２．計算由yx4與y22x

新所圍圖形的面積.

教

【師生活動】討論探究解法的過程（同例1）

課

學(xué)

講

過

授

程

使學(xué)生懂得

如何靈活選

擇積分變

量，確定被

【板書】根據(jù)師生探究的思路積函數(shù)，通

板書重要分析過程.過該題突破

【課件展示】解答過程教學(xué)難點。

解：作出草圖，所求面積為

圖中陰影部分的面積

y2x

解方程組得到交點坐標為(2,-2)及

yx2

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(8,4)

選ｙ為積分變量

141

S(28)6y2dy18

22

2

【抽象歸納】（三）解由曲線所圍的平面圖形面

積的解題步驟

【學(xué)生活動】學(xué)生根據(jù)例題探究的過程來歸納

【教師點評】幫助學(xué)生修改、提煉，強調(diào)注意

新

選擇y型積分變量時，要把函數(shù)變形成用y表

教

課示x的函數(shù).

學(xué)

【課件展示】解由曲線所圍的平面圖形面積的

講

過

解題步驟：

授

程1．畫草圖，求出曲線的交點坐標．

2．將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積．

3．根據(jù)圖形特點選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量．（注

意選擇y型積分變量時，要把函數(shù)變形成用y

鞏

固表示x的函數(shù)）

練

習(xí)4．確定被積函數(shù)和積分區(qū)間．

5．計算定積分，求出面積.探索到的結(jié)

練習(xí)５．計算由曲線ysinx與ycosx及果通過實

踐，學(xué)生都

x0、x

2得到了一些

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所圍平面圖形的面積．解題心得，

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考及時指導(dǎo)學(xué)

邀請一位生進行抽象

歸納。

y同學(xué)把自

ysinx

ycosx

1己的成果

SS

12

展示給大

成

Ox

42家

教果

學(xué)展

過示通過學(xué)生做

這題體現(xiàn)分

程

AAA

12層教育法，

使不同層次

A4cosxdx4sinxdx的學(xué)生都有

1

00

不同的提

高。

A2sinxdx2cosxdx

2

44

【師生活動】解答思路清晰，表達正確

問：此題還有其他解法嗎？

答：AA所以只算一個A，取2倍就可

12

以了.

做的漂亮，解題時要注意發(fā)現(xiàn)題目的特征，聯(lián)

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教系我們以前的知識將問題化簡后再解答，提高

師

效率.

點

評x2y2

【例題實踐】例3．求橢圓1(a0,b0)

a2b2

所圍成的面積

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考.

請一位同學(xué)講解這道題目

個

【課件展示】解題步驟

教別

如圖，一橋拱的形

提

學(xué)問

狀為拋物線，已知

h

過該拋物線拱的高為

應(yīng)

b

程用常數(shù)h，

提鞏固解題方

寬為常數(shù)b．

升

法，鍛煉發(fā)

求拋物線拱的面積

散思維

探究解題方法

1.建立平面直角坐標系確定拋物線方程

師

2.求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟把本節(jié)課的

生

問：如何建立平面直角坐標系會使得拋物

活探究活動推

動y

線方程的求解簡單向高潮，解

0

x決了前面設(shè)

h下的懸念的

b

b(,h)同時，實現(xiàn)

2

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了生活中的

教

答：以拋物線的頂點為坐實際問題與

師

點標原點建立坐標系.抽象數(shù)學(xué)的

評

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立求解完美結(jié)合。

拋物線方程.

投影學(xué)生練習(xí)

如圖建立平面直角坐標系，可設(shè)拋物線方

互yax2(a0)，

教

b

動代拋物線上一點(,h)入方程，

2

鞏固定積分

學(xué)

則有b4h

小ha()2解得a，所以拋物線方解題的基本

2b2

過

程為4h方法和步

yx2.

結(jié)b2

程驟。

在投影中與全班同學(xué)一起點評學(xué)生的練習(xí).

【師生活動】探究、并在投影中完成該題

問：所求圖形有什么特點？

答：左右對稱；可以解答一半取2倍.

【成果展示】在黑板上與學(xué)生共同完成設(shè)一半

bb4h

的面積為S，則有2

2s2h2(x)dx

2b2

0

b4hb2

2h(x3)……bh

2

23b203

問：本節(jié)課我們做了什么探究活動呢？

答：用定積分解曲邊形面積。

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問：如何用定積分解決曲邊形面積問題

呢？

作

業(yè)

答：1.畫草圖，求出曲線的交點坐標．

布

置2.將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積．

3.根據(jù)圖形特點選擇適當(dāng)?shù)姆e分變

量．（注意選擇y型積分變量時，要把函數(shù)變形

成用y表示x的函數(shù)）

4.確定被積函數(shù)和積分區(qū)間．

5.計算定積分，求出面積．

問：解答曲線所圍的平面圖形面積時須注

意什么問題？

答：選擇最優(yōu)化的積分變量；根據(jù)圖形特

點選擇最優(yōu)化的解題方法.

問：體會到什么樣的數(shù)學(xué)研究思路及方法

呢？

答：從問題出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)知識，探究出

解決問題的思路，通過實踐的檢驗得到一般方

法，通過練習(xí)鞏固，通過應(yīng)用提升。

課本Ｐ1631．2（1、2、5、6、）

【課外思考】

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有一水溝，溝沿是兩條長100米的平行線段，

溝寬2米，與溝沿垂直平面溝的交線是一條拋

物線，頂點為0點，對稱軸與地面垂直，溝深

為1.5米，水深1米，問：溝中的水有多少立

方米？

提問式的課

堂小結(jié)，目

的在于調(diào)動

學(xué)生積極參

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與梳理知識

的過程，培

養(yǎng)學(xué)生在探