對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)學(xué)案

TheponywasrevisedinJanuary2021TheponywasrevisedinJanuary2021對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)學(xué)案《對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類很重要的函數(shù)模型；2.探索對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會進(jìn)行同底對數(shù)和不同底對數(shù)大小的比較；3.了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．學(xué)習(xí)策略：在理解對數(shù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在學(xué)習(xí)過程中，要處處與指數(shù)函數(shù)相對照．知識回顧——復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)：y=ax0<a<1時圖象a>1時圖象圖象性質(zhì)（1）定義域，值域(，)（2）a0=，即x=0時，y=，圖象都經(jīng)過(，)點（3）ax=a，即x=1時，y等于底數(shù)（4）在定義域上是單調(diào)函數(shù)（4）在定義域上是單調(diào)函數(shù)（5）x<0時，ax>x>0時，<ax<（5）x<0時，<ax<x>0時，ax>（6）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)要點一：對數(shù)函數(shù)的概念1．函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù).其中是自變量，函數(shù)的定義域是．2．判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為；（2）底數(shù)為的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有．要點詮釋：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像等函數(shù)，它們是由對數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)．（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應(yīng)注意：①對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求，底數(shù)大于零且不等于1；②對含有字母的式子要注意．要點二：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即x=1時，y=0在（0，+∞）上增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)當(dāng)0＜x＜1時，＜0，當(dāng)x≥1時，≥0當(dāng)0＜x＜1時，＞0，當(dāng)x≥1時，≤0要點詮釋：關(guān)于對數(shù)式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時經(jīng)常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.以1為分界點，當(dāng)a，N同側(cè)時，logaN>0；當(dāng)a，N異側(cè)時，logaN<0.要點三：底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1．底數(shù)制約著圖象的升降．如圖要點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2．底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈軸；當(dāng)0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而軸.(見下圖)要點四：反函數(shù)1．反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的．要點詮釋：并不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．2．反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．典型例題典型例題——自主學(xué)習(xí)認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三．類型一：對數(shù)函數(shù)的概念例1.下列函數(shù)中，哪些是對數(shù)函數(shù)？

（1）；（2）（3）；（4）；（5）．【總結(jié)升華】類型二：對數(shù)函數(shù)的定義域求含有對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.例2.求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2).【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義知：，，解出不等式就可求出定義域.(1)(2)【總結(jié)升華】舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域.(1)y=(2).類型三：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性可以：①比較大??；②解不等式；③判斷單調(diào)性；④求單調(diào)區(qū)間；⑤求值域和最值.要求同學(xué)們：一是牢固掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹立定義域優(yōu)先的觀念.例3.比較下列各組數(shù)中的兩個值大?。?1)；(2)；(3)與；(4)與．(5)（）．【思路點撥】利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小。【總結(jié)升華】例4．利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較、、的大小．【總結(jié)升華】舉一反三：【變式1】已知則（）A． B． C． D．例5．求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間.【思路點撥】先解不等式，保證原式有意義，然后再在定義域范圍內(nèi)求內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來求解．【總結(jié)升華】舉一反三：【變式1】求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．類型四：函數(shù)的奇偶性例6.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)(2).【思路點撥】判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點對稱，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)?！窘馕觥渴紫纫⒁舛x域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行.（1）（2）【總結(jié)升華】類型五：利用函數(shù)圖象解不等式例7．若不等式，當(dāng)時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【思路點撥】畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，然后借助圖象去求借?！究偨Y(jié)升華】舉一反三：【變式1】當(dāng)x∈（1，2）時，不等式恒成立，求a的取值范圍．類型六：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例8．（1）已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（3）的定義域為，求實數(shù)的取值范圍．【思路點撥】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題.的定義域為R，即關(guān)于的不等式的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.的值域為R與恒為正值是不等價的，因為這里要求取遍