七年級上冊數學知識點總結-2023修改整理

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第一章有理數學問點總結

0的數叫做正數。

1.

0既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界線，是整數，一、正數和負數自然數，有理數。

（不是帶“—”號的數都是負數，而是在正數前加“—”的數。）

2.意義：在同一個問題上，用正數和負數表示具有相反意義的量。

概念整數：正整數、0、負整數統(tǒng)稱為整數。

數：正分數、負分數統(tǒng)稱分數。

（有限小數與無限循環(huán)小數都是有理數。）

注：正數和零統(tǒng)稱為非負數，負數和零統(tǒng)稱為非正數，正整數和零統(tǒng)稱為非負

整數，負整數和零統(tǒng)稱為非正整數。

⑵按整數、分數分類：

正有理數正整數正整數

正分數整數0

零有理數負整數

負有理數負整數分數正分數

負分數負分數

1.概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

三要素：原點、正方向、單位長度

2.對應關系：數軸上的點和有理數是一一對應的。

三、數軸

比較大?。涸跀递S上，右邊的數總比左邊的數大。

3.應用

求兩點之間的距離：兩點在原點的同側作減法，在原點的兩側作加法。

（注重不帶“+”“—”號）

代數：惟獨符號不同的兩個數叫做相反數。

1.概念（0的相反數是0）

幾何：在數軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫做相反數。

2.性質：若a與b互為相反數，則a＋b=0，即a=-b；反之，

若a＋b=0，則a與b互為相反數。

四、相反數

兩個符號：符號相同是正數，符號不同是負數。

3.多重符號的化簡

多個符號：三個或三個以上的符號的化簡，看負號的個數，當

“—”號的個數是偶數個時，結果取正號

當“—”號的個數是奇數個時，結果取負號

1.概念：乘積為1的兩個數互為倒數。

（倒數是它本身的數是±1；0沒有倒數）

五、倒數

2.性質若a與b互為倒數，則a·b=1；反之，若a·b=1，則a與b互為倒數。

若a與b互為負倒數，則a·b=-1；反之，若a·b=-1則a與b互為負倒數。

a的點與原點的距離叫做數a的肯定值。

（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）

一個負數的肯定值是它的相反數

的肯定值是0

a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0

a=0，|a|=0|a|＝﹣a，則a≦0

a＜0，|a|=‐a

注：非負數的肯定值是它本身，非正數的肯定值是它的相反數。

a(a＞0)的數有2個，他們互為相反數。即±a。

|a|≥0。幾個非負數之和等于

0，則每個非負數都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0

1.數軸比較法：在數軸上，右邊的數總比左邊的數大。

七、比較大小

2.代數比較法：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數。

兩個負數比較大小時，肯定值大的反而小。

1.加法法則⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把肯定值相加。

⑵肯定值不相等的異號兩數相加，取肯定值較大的加數的符號，并

用較大的肯定值減去較小的肯定值?；橄喾磾档膬蓚€數相加

得0。

⑶一個數同0相加，仍得這個數。

八、加減法2.加法運算律：兩個

加法交換律：兩數相加，交換加數的位置，和不變。即a＋b=b＋a

加法結合律：在有理數加法中，三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩

個數相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）

3.減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。

即a－b=a＋（﹣）b

⑴兩數相乘，同號得正，異號得負，并把肯定值相乘。

⑵任何數同0相乘，都得0。

1.乘法法則⑶多個不為0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的

個數是奇數時，積為負數，即先確定符號，再把肯定值相乘，

肯定值的積就是積的肯定值。

⑷多個數相乘，若其中有因數0，則積等于0；反之，若積為0，則至

少有一個因數是0。

2.乘法運算律：三個

⑴乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積相等。即a×b＝ba。

九、乘除法⑵乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積

相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。

⑶乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分離同這兩個數相乘，

在把積相加。即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。

3.除法法則：三個

⑴除以一個（不等于0）的數，等于乘這個數的倒數。

⑵兩個數相除，同號得正，異號得負，并把肯定值相除。

⑶0除以任何一個不等于0的數，都得0。

4.四則運算法則：先乘除，后加減，有括號先算括號里的。

1.概念：求n個相同因數的積得運算，叫做乘方。乘方的結果叫做冪。一個數可以

看做這個數本身的一次方。

2.法則：先確定冪的符號，然后再計算冪的肯定值。

十、乘方

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數

的任何正整數次冪都是0

3.混合運算法則：

⑴先乘方，再乘除，最后加減。

⑵同級運算，從左到右的挨次舉行。

⑶如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次舉行。在舉行

有理數的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。

10的數表示成a×10n的形式（其中a

是整數數位惟獨一位的數，n為正整數）。這種記數的辦法叫做科學

記數法。﹙1≤|a|＜10﹚

注：一個n為數用科學記數法表示為a×10n－1

⑴精確到某位或精確到小數點后某位。

⑵保留幾個有效數字

十一、科學記數法注：對于較大的數取近似數時，結果普通用科學記數法來表示。

例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×105

0數字起，到末尾數字止，全部的數

字都是這個數的有效數字。

注：⑴用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數

字。例如：3.0×104的有效數字是3，0。

⑵帶有記數單位的近似數的有效數字，看記數單位前面的數字。

例如：2.605萬的有效數字是2，6，0，5。

其次章、整式的加減

一、代數式與有理式

1、用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。

2、整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

3、含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

二、整式和分式

1、沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、單項式與多項式

1、沒有加減運算的整式叫做單項式。（數字與字母的積包括單獨的一個數或字母）

2、幾個單項式的和，叫做多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。

說明：①按照除式中有否字母，將整式和分式區(qū)分開;按照整式中有否加減運算，把單項式、多項式區(qū)別開。②舉行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從形狀來看。

單項式

1、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。

2、單項式的數字因數叫做單項式的系數。

3、單項式中全部字母的指數和叫做單項式的次數。

4、單獨一個數或一個字母也是單項式。

5、只含有字母因式的單項式的系數是1或―1。

6、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。

7、單獨的一個非零常數的次數是0。

8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

9、單項式的系數包括它前面的符號。

10、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。

11、單項式的系數是1或―1時，通常省略數字“1”。

12、單項式的次數僅與字母有關，與單項式的系數無關。

多項式

1、幾個單項式的和叫做多項式。

2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。

3、多項式中不含字母的項叫做常數項。

4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。

5、多項式的每一項都包括項前面的符號。

6、多項式沒有系數的概念，但有次數的概念。

7、多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。

整式

1、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

2、單項式或多項式都是整式。

3、整式不一定是單項式。

4、整式不一定是多項式。

5、分母中含有字母的代數式不是整式；而是今后將要學習的分式。

四、整式的加減

1、整式加減的理論按照是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。

去括號法則：假如括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變符號；假如括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項都轉變符號。

2、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

合并同類項：

1）.合并同類項的概念：

把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。

2）.合并同類項的法則：

同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。

3）.合并同類項步驟：

a．精確?????的找出同類項。

b．逆用分配律，把同類項的系數加在一起（用小括號），字母和字母的指數不變。

c．寫出合并后的結果。

4）.在把握合并同類項時注重：

a.假如兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后，結果為0.

b.不要漏掉不能合并的項。

c.只要不再有同類項，就是結果（可能是單項式，也可能是多項式）。

說明：合并同類項的關鍵是正確推斷同類項。

3、幾個整式相加減的普通步驟：

1）列出代數式：用括號把每個整式括起來，再用加減號銜接。

2）按去括號法則去括號。

3）合并同類項。

4、代數式求值的普通步驟：

（1）代數式化簡

（2）代入計算

（3）對于某些特別的代數式，可采納“整體代入”舉行計算。

五、同底數冪的乘法

1、n個相同因式（或因數）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數，n為指數，an的結果叫做冪。

2、底數相同的冪叫做同底數冪。

3、同底數冪乘法的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。即：am﹒an=am+n。

4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。

5、開頭底數不相同的冪的乘法，假如可以化成底數相同的冪的乘法，先化成同底數冪再運用法則。

六、冪的乘方

1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（am）n表示n個am相乘。

2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。（am）n=amn。

3、此法則也可以逆用，即：amn=（am）n=（an）m。

七、積的乘方

1、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。

2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分離乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。

3、此法則也可以逆用，即：anbn=（ab）n。

八、同底數冪的除法

1、同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：am÷an=am-n（a≠0）。

2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an（a≠0）。

九、零指數冪

1、零指數冪的意義：任何不等于0的數的0次冪都等于1，即：a0=1（a≠0）。

十、負指數冪

1、任何不等于零的數的―p次冪，等于這個數的p次冪的倒數。

注：在同底數冪的除法、零指數冪、負指數冪中底數不為0。

十一、整式的乘法

（一）單項式與單項式相乘

1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分離相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。

2、系數相乘時，注重符號。

3、相同字母的冪相乘時，底數不變，指數相加。

4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數一起寫在積里，作為積的因式。

5、單項式乘以單項式的結果仍是單項式。

6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。

（二）單項式與多項式相乘

1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是按照分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、運算時注重積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

3、積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。

4、混合運算中，注重運算挨次，結果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結果。

（三）多項式與多項式相乘

1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多項式與多項式相乘，必需做到不重不漏。相乘時，要按一定的挨次舉行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數等于兩個多項式項數的積。

3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應用“同號得正，異號得負”。

4、運算結果中有同類項的要合并同類項。

5、對于含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

十二、平方差公式

1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。

3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。

4、平方差公式還能簡化兩數之積的運算，解這類題，首先看兩個數能否轉化成

（a+b）?(a-b)的形式，然后看a2與b2是否簡單計算。

十三、徹低平方公式

1、(a±b)2=a2±2ab+b2即：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。

2、公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式。

十四、整式的除法

（一）單項式除以單項式的法則

1、單項式除以單項式的法則：普通地，單項式相除，把系數、同底數冪分離相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。

2、按照法則可知，單項式相除與單項式相乘計算辦法類似，也是分成系數、相同字母與不相同字母三部分分離舉行考慮。

（二）多項式除以單項式的法則

1、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分離除以單項式，再把所得的商相加。

2、多項式除以單項式，注重多項式各項都包括前面的符號。

第三章、一元一次方程

一、方程的有關概念

1.方程：含有未知數的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個未知數(元)x，未知數x的指數都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

3．方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解.

注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實質上是求得的結果，它是一個數值(或幾個數值)，而解方程的含義是指求出方程的解或推斷方程無解的過程.⑵方程的解的檢驗辦法，首先把未知數的值分離代入方程的左、右兩邊計算它們的值，第二比較兩邊的值是否相等從而得出結論.

二、等式的性質

等式的性質(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個數(或式子)，結果仍相等.

等式的性質(1)用式子形式表示為：假如a=b，那么a±c=b±c

(2)等式的性質(2)：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等，等式的性質(2)用式子形式表示為：假如a=b，那么ac=bc;假如

a=b(c≠0)，那么a

c=

b

c

三、移項法則：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項．

四、去括號法則

1.括號外的因數是正數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同．

2.括號外的因數是負數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號轉變．

五、解方程的普通步驟

1.去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數)

2.去括號(按去括號法則和分配律)

3.移項(把含有未知數的項移到方程一邊，其他項都移到方程的另一邊，移項要變號)

4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)

5.系數化為1(在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解x=b

a).

六、用方程思想解決實際問題的普通步驟

1.審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數量之間的關系．

2.設：設未知數(可分直接設法，間接設法)

3.列：按照題意列方程．

4.解：解出所列方程．

5.檢：檢驗所求的解是否符合題意．

6.答：寫出答案(有單位要注明答案)

七、有關常用應用類型題及各量之間的關系

1.和、差、倍、分問題：

增長量＝原有量×增長率現在量＝原有量＋增長量

（1）倍數關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增強幾倍，增強到幾倍，增強百分之幾，增長率……”來體現.

（2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現.

2.等積變形問題：

（1）“等積變形”是以外形轉變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關系為：

①外形面積變了，周長沒變；

②原料體積＝成品體積.

（2常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變．

①圓柱體的體積公式V=底面積×高＝S·h＝r2h

②長方體的體積V＝長×寬×高＝abc

3.勞力調配問題：

這類問題要搞清人數的變化，常見題型有：

（1）既有調入又有調出；

（2）惟獨調入沒有調出，調入部分變化，其余不變；

（3）惟獨調出沒有調入，調出部分變化，其余不變

4.數字問題

（1）要搞清晰數的表示辦法：普通可設個位數字為a，十位數字為b，百位數字為c．

十位數可表示為10b+a，百位數可表示為100c+10b+a．然后抓住數字偶爾新數、原數之間的關系找等量關系列方程（其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）

（2）數字問題中一些表示：兩個延續(xù)整數之間的關系，較大的比較小的大1；

偶數用2n表示，延續(xù)的偶數用2n+2或2n—2表示；奇數用2n+1或2n—1表示.

5.工程問題：

工程問題：工作量＝工作效率×工作時光

完成某項任務的各工作量的和＝總工作量＝1

6.行程問題：

路程＝速度×時光時光＝路程÷速度速度＝路程÷時光

（1）相遇問題：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及問題：快行距－慢行距＝原距

（3）航行問題：順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度

逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關系．

7.商品銷售問題

（1）商品利潤率＝

商品利潤

商品成本價×100%

（2）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量

（3）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量

（4）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售．有關關系式：商品售價=商品標價×折扣率

（5）商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價

8.儲蓄問題

⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時光叫做期數，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅

⑵利息=本金×利率×期數

本息和=本金+利息

利息稅=利息×稅率（20%）

（3）利潤＝

每個期數內的利息本金

×100%、第四章、圖形熟悉初步

4．1多姿多彩的圖形

1.???

?????????平面圖形球體椎體（棱錐、圓錐）柱體（棱柱、圓柱）立體圖形幾何圖形2.討論立體圖形的辦法

（1）平面綻開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當

剪開，可以綻開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的綻開圖。

（2）從不同的方向看（“三視圖”）

3.幾何圖形的形成：點動成線，線動成面，面動成體。

4.幾何圖形的結構：點、線、面、體組成幾何圖形。點是構成圖形的基本元素。

4．2直線、射線、線段

1.點：表示一個物體的位置，通常用一個大寫字母表示，如點A、點B。

2.直線

（1）直線的表示辦法：①可以用這條直線上隨意兩點的字母（大寫）來表示；

②用一個小寫字母來表示。

（2）直線的基本性質：經過兩點有一條直線，并且惟獨一條直線。簡述為，兩

點確定一條直線。

（3）直線的特征：

①直線沒有端點，不行量度，向兩方無限延長；

②直線沒有粗細；

③兩點確定一條直線；

④兩條直線相交有唯一一個交點。

（4）點與直線的位置關系：

①點在直線上（也可以說這條直線經過這個點）；

②點在直線外（也可以說直線不經過這個點）。

（5）兩條直線的位置關系有兩種——相交、平行

3.射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線。

(1)射線的表示辦法：

①用兩個大寫字母表示，表示端點的字母寫在前面，在兩個字母前加上“射線”；

②用一個小寫字母表示。

(2)射線的性質：

①射線是直線的一部分；

②射線只向一方無限延長，有一個端點，不能度量、不能比較長短；

③射線上有無窮多個點；

④兩條射線的公共點可能沒有，可能惟獨一個，可能有無窮多個。

4.線段：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段。

（1）線段的特點：線段是直的，它有兩個端點，它的長度是有限的，可以度量，

可以比較長短。

（2）線段的表示辦法：

①用兩個端點的大寫字母表示；

②用一個小寫字母表示。

（3）線段的基本性質：兩點的全部連線中，線段最短。簡稱，兩點之間線段最

短。

（4）兩點的距離：銜接兩點間的線段的長度叫做這兩點的距離。

（5）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點。如圖，點M將線段AB分成AM=BM兩段，M即為線段AB的中點。判定：∵AM＝BM（或AM＝BM=2

1AB，AB=2AM=2BM),M在AB上，∴M是線段AB的中點。

性質：∵M是線段AB的中點，∴AM＝BM(或AM=BM=2

1AB，AB=2AM=2BM)。（6）線段大小的比較辦法：

（1）疊合法；

（2）度量法；

（3）估測法。比較線段的大小與比較數的大小一樣，也可以用“＞”、“＜”或

“＝”來表示，字母前面的“線段”省