平面向量講義學生

一．向量有關觀點向量的觀點：既有大小又有方向的量，注意愿量和數(shù)目的差別。向量常用有向線段來表示， 如：已知A（1,2），B（4,2），則把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后獲得的向量 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作 0，注意零向量的方向是隨意的 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向 (與AB共線的單位向量 )平行向量（也叫共線向量）：方向同樣或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，記作：a∥b， ②兩個向量平行與與兩條直線平行是不一樣的兩個觀點 r③平行向量無傳達 ?。ㄓ捎谟?) ④三點A、B、C共 AB、AC共線相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量 a的相反向量是－a 如：以下命題：（1）若 b，則 b。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點同樣，終點DCABCD（4）ABCDuuur DC。（5）rr r ab,cc。（6）若a//b,b//c，則a//c。此中正確的選項是 二．向量的表示方 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示， AB，注意起點在前，終點在后符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示， a，b，c等o1 x軸、y軸方向同樣的兩個單位向 i，j為基底 a可表示為a xiyj x,y，稱x,y為向量a的坐標，a＝x,y叫做向量a的坐標表示。假如向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標同樣。三．平面向量的基本定 ：假如e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一 1、2，使a=1e1＋2e2rrrr（1）(1,2)，則c (0,0), (1, (1,2), (3,5),(2, uuurrr（3）AD,BEABCBCAC,a,b,BC表示為 （4）已知ABC中，點D在BC邊上，且 2DB r sAC，則 s的值四．實數(shù)與向量的 ：實 與向量a的積是一個向量，記 a，它的長度和方向規(guī)定以下 a, 當>0時 a的方向與a的方向同樣，當<0時，a的方向與a的方rr＝0a0a0五．平面向量的數(shù)目

r 兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作 a, b 稱為向量a，b的夾角， 時，a，b反向， 2ab垂直r平面向量的數(shù)目積：假如兩個非零向量a，b，它們的夾角 ，我們把數(shù)目|a||b|cos 做a與b的數(shù)目積（或內(nèi)積或點積 ，記作：a?b，即a?b＝abcos。規(guī)定：零向量與任一o2量的數(shù)目積是0，注意數(shù)目積是一個實數(shù)，不再是一個向量 （1）△ABC中，|AB|3，|AC 4，|BC 5，則ABBC r ), kb b，c與d的夾角 ，則k等于 r （3）已知 2, 5,a 于 ，則 r （4）已知a,b是兩個非零向量， b，則a與 b的夾角為 rb在a上的投影為|b| ，它是一個實數(shù)，但不必定大 如已知|a 3，|b 5，且a 12，則向量a在向量b上的投影為 rab的幾何意義：數(shù)目積aba|a|ba上的投影的積向量數(shù)目積的性質(zhì)：設兩個非零向 r① a 0rr2rrrr2aa?＝aa?a,a；當ab反向時ar rr＝－aba、b為銳角時，ab0，且0當r 為鈍角時，a?b＜0，且a、b不反向， 0是為鈍角的必需非充足條件ra ③非零向量a，b夾 的計算公式： r ；④|a?b||a||b|a ( )， ,2)，假如a與b的夾角為銳角， 的取值范圍是 OFQ的面積為S，且OF 1，若

，則OF,FQ夾 的取值圍是

(cosx,sinx), (cosy,siny),a與b之間有關系式 3 kb,此中 0 r ①用k表示 b；②求ab的最小值，并求此 的大六．向量的運算o3 ruuur rrabAC此以外，向量加法還可利用“三角形法例 ：設 a, b，那么向量ACrrabACrrrr②babCBuuuruuur uuur

；② ；③( CD) BD) r r （2）若正方形ABCD的邊長為1， a, b, c，則| c| （ （3）若O是VABC所在平面內(nèi)一點，且知 2OA，則VABC的形 uuur（4）若D ABC的邊BC的中點 ABC所在平面內(nèi)有一點P，知足 |設 ， 的值為 uuuruuur （5）若點O是△ABC的外心，且 0，則△ABC的內(nèi)角C為 坐標運算：設 (x,y),b(x,y)，則 ①向量的加減法運算： ( x， y2) uuur 如：（1）已知點A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若 R)，則 ＝ 時，點11（2）A(2,3),(sinx,cosy)，x,(,y222 （3）已知作用在點A(1,1)(3,4),(2,5),(3,1)F2F3且rx1,ox1,x1,ox1, 1 如：設A(2,3),B(1,5)，且 AB， 3AB，則C、D的坐標分別是 3o4 12面向量數(shù)目積abx12

y1y2如：已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx） ，3向量a、c的夾角；（2）若x∈ 3 ]，函數(shù)f( ab的最大值 1，求的 r ⑤向量的模：|a y2, |a y2r 如：已知a,b均為單位向量，它們的夾角 60o，那么| 3b|＝ ⑥兩點間的距 ：若Ax1,y1,Bx2, ， |AB 如如圖，在平面斜坐標 xOy中 60o，平面上任一點P對于 ur坐標系的斜坐標是這樣定義的 ye2，此中e1,e2分別為與x軸yP點斜坐標為(x,y)。（1）若點P的斜坐標為（2，－2），求PO的距離PO｜；（2）求以O為圓心1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程。七．向量的運算律

a ba a，a b?a rr ab a c,ab bc a a a b ab b，ab?c acbc如：以下命題中 a( a ac；②a(b (ab)c |ar r r r2|a||b||b|2 若a 0，則 0或 0；⑤若a cb,則 c；⑥ ar a r r r r rb⑦r r；⑧(a ab；⑨ 2a 邊不可以約去一個向量，牢記兩向量不可以相除(相約)；（2）向量的“乘法”不知足聯(lián)合 ，a(b (ab)co5 r r八．向量平行(共線)的充要條件：a// (a 2(|a||b|) 如 若向量 (x,1),b(4,x)，當x＝ 時a與b共線且方向同 (4,x)， 2b，v b，且u//v，則 （3）設PA(k,12), (4,5), (10,k)，則 時，A,B,C共 九．向量垂直的充要條件： a |ab||ab x1 y1 uuur uuur 如(1,2),(3,m)OB以原點O和A(4,2)為兩個極點作等腰直角三角 OAB， 90，則點B的坐標是 已知 m，且 m，則m的坐標是 r

按向量

hrP(x,h,P(xy)xxyyf(x, 0按向量 h,k平移得曲 f h, 0.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平時“加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移擁有坐標不變性，可別忘了啊 （1）按向量a把 3)平移到 2)，則按向量a把點(7,2)平移到點 （2）函數(shù) sin2x的圖象按向 a平移后，所得函數(shù)的分析式 cos2x1，則a r （2）||a |b||| b||a |b|，特別地，當a、b同向或有 | b||a |brrrr|rrrr||b||a |b||| b|；當a、b反向或有 ||a||b||| b||a |b|(這些和實數(shù)比較近似

r||a |b|||ab|；當a、b不共 ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3, ，則其重心的坐標 3, o33 o6② 3

G ABC的重心，特別地 ③PA④向

PABC

0)所在直線 ABC的心里( BAC的角均分線所在直線) |BC |CA| ABC

（3）P

，點

地P為PP的中 MP21 uuur 、 中三終 、、共 存在實 、使 1如：平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(1,3),若點C知足 1 此中 R且 1,則點C的軌跡是 .解答平移問題主要注意兩個方面確實定：平移的方向； 把函數(shù)y＝ 的圖象按向

→＝( 平移后，獲得函數(shù)y＝sin(ωx＋)-B(Ba6aω＞ |<2)的圖象， 和B的值挨次 A．12，－ B．—3， C． D．－12，【例2】（2007年高考湖北卷）將 2cos π的圖象按向量 ,2平移，則平移后所得 象的分析式為 o7Ａ．Ａ．42Ｂ．2cos3π4Ｃ．π2Ｄ．2cos3π2題型 三角函數(shù)與平面向量平 (共線)的綜本題型的解答一般是從向量平行條件下手，將向量問題轉變?yōu)槿菃栴}，而后再利用三角函數(shù)的有關知識再對三角式進行化簡，或聯(lián)合三角函數(shù)的圖象與民性質(zhì)進行求解.此類試題綜合性相對較強，有益于考察學生的基礎掌握狀況，所以在高考取常有考察.題型三此類題型解答主要表現(xiàn)函數(shù)與方程. →1】已知向量a＝(3sinα,cosα，b＝(2sinα5sinα4cosα)，α∈2，2π)abα（Ⅰ）求tanα的值 （Ⅱ）求 )的值 【例2】（2006年高考浙江卷）如圖，函 ), R（此中 ）的圖像與2軸交于點（01） 的值

uuuur設P是圖像上的最高點，M、N是圖像與x軸的交點，求PMPN的夾角o8→→→→|a＝ 向量的坐標運算進行求解. → 【例 5 ，求sinα的值 題型五 (1)三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系； (2)利用三角函數(shù)與向量 .解答時也主假如利用向量第一進行轉變，再利用三角函數(shù)知識求解o9→ 設函數(shù) ＝a·b.此中向量a＝(m，cosx)，b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(2)2（）務實數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)【例2】（2007年高考安徽卷）已知 為f )的最小正周期 r ), (cos,2),a m， 說明正弦定理、余弦定理與向量有著親密的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要表現(xiàn)為以三角形的角對應的三角函數(shù)值為向量的坐標，要求依據(jù)向量的關系解答有關的問

、、， ，

為

cos2sin → n＝(cos2sin2a＝23m·n＝（）ABCS＝3，求bc的值（）bco ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，tan 37（1）cosCuuur（2）CB

5，且a 2r 【例】（2007年高考陜西卷）f(x)ab，此中向量 (m,cos2x)，b(1sin2x,1) 且函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點 ,2)4務實數(shù)m求函數(shù) f(x)的最小值及此時x值的會合rr（2006）(sinx,cosx),(cosx,cosx), R數(shù) rf(x)ab)求函 求使不等式f(

成立的x2 →已知a ， )，b＝(cos20，- )，則a·b o A． B． π222將函數(shù)y＝2sin2x

，

平移后獲得圖象對應的分析式 B．－ → → A．鈍角三角 B．直角三角 →設 ＝( )，b＝ ,3)，且a∥b，則銳 B． →→→→1＋cosθ)，b＝(1→ A．a(chǎn)∥B．a(chǎn)⊥→→→1－cosθ)，此中θ∈(π，2)，則必定 Cab夾角為45°．D|a|＝|b 已知向量a＝(6，－4)，b＝(0 c＝a＋b，若C點在函數(shù)y＝sin12x的圖象上,實數(shù)

由向量把函數(shù)y＝sin(x＋6)的圖象按向量a＝(m，0)(m＞0)平移所得的圖象對 y軸對稱，則的最小值 A． B． C． D．設0≤θ≤2π時，已知兩個

OP＝(cosθ，sinθ)，OP2＝ ＋sinθ，2－cosθ)，則向量PP長度的 大值 B． C．3 D．2 →若向量a＝(cos )， )，則 與 → Aa—B．a(chǎn)⊥→ →→C．a(chǎn)∥ D．(a＋b)⊥( －b 已知向量 ＝(cos25,sin25)，b＝(sin20,cos20)，若t是實數(shù)，且u＝a＋tb，則|u的最小值 o A． B． 3個點，一動點P知足：OP＝OA＋(AB＋∈(0,＋∞)，則直線AP必定經(jīng)過△ABC 外 B．心 →對于非零向量a我們能夠用它與直角坐標軸的夾 ,(0≤≤,0≤≤)來表示它的方向， 為非零向量a的方向角，稱cos 為向量a的方向余弦，則 ＋cos A．

已知向量 ，2cos)，n 3,－2).若m∥n，則sin2的值為

→ ，OB＝(5cos )，若OA·OB＝－5，則S的值為 將函數(shù)f(x)＝tan(2x＋3)＋1按向量a平移獲得奇函數(shù)g(x)，要使|a|最小，則 →→ 與向量m夾角為4，且已知向量m＝(1，1

＝－1.則向量n＝ ABC中，角A、B、C

→→ a、b、c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈（）△ABC（）c＝2k 已知向量m＝ ，n＝求函數(shù) ＝cos2x＋

→31m·n＝1A求角A(o ABCAB、C所對邊的長分別為abc，已知向量m＝(1，2sinA)n＝(sinA cosA)，mn，b＋c＝3a()A的大小()sin(B6)的值已知A、B、C的坐標分別 αA（4，0），B（0，4），C（3cos （Ⅰ）若 →→，求角α的大小∈0)|AC|＝| 2sin2α＋sin2（Ⅱ）若AC⊥BC， 的值1＋tan

a、b、c，m＝(2b－c，a)，n＝(cosA，－cosC)，且m⊥n(Ⅰ)Ay＝2sin2B＋sin(2B＋取最大值時，求角B的大小6 a＝(cosx＋sinx，sinx)b＝(cosxsinx，2cosx（Ⅰ）求證：向 →與向量→不行能平行 o→（Ⅱ）若 ＝a·b，且x∈[－4,4]時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值 23．設函數(shù)f(x)arc，此中向(sinx,cosx),(sinx,3cosx)(cosx,sinx),R（Ⅰ）求函數(shù)fxr（Ⅱ）將函數(shù) fx的圖像按向 d平移，使平移后獲得的圖像對于坐標原點成中心對稱，r長度最小的d（Ⅰ）（Ⅱ）

(sin,1), (1,cos b， b的最大值o 【2012高考全國文 9】ABC中，AB邊的高為CD，若CB a，CA b，ab 0，|a|1， |b|21 1 2 2 3 3 4 （B） （C） （D） rrrrrrrrb|b【2012高考重慶文6】設 R，向量 (（A） （B）10（C）2 2012高考浙江文7】設a，b是兩個非零向量若|a+b|=|a|- ，則 ，則存在實數(shù)λ，使 λ，使得b=λa|a+b|=|a|- 2012高考四川文7ab

r|a |b rrrrrrBrrrrrrBbCa//DA|a||b|a 【2012高考陜西文7】設向量a=（1. ）與b=（-1，2cos）垂直，則cos 等 2 C 【2012高考遼寧文1】已知向量a= —1)，b= 若a·b= 則x1(A)— BC 高考廣東 】若向 ，則 (4,