隨機(jī)變量和分布函數(shù)

隨機(jī)變量和分布函數(shù)第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§3隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的變換第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)變量的函數(shù)回顧隨機(jī)變量的定義：

（?，?）→（R，B）可測(cè)回顧Borel函數(shù)的定義：

（R，B）→（R，B）可測(cè)將二者的復(fù)合：

（?，?）（R，B）（R，B）第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)變量的函數(shù)問(wèn)題1：為什么要求為Borel函數(shù)？問(wèn)題2：分析學(xué)中也研究的函數(shù)，概率論中研究函數(shù)與其有什么不同？第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的例子

例1：某保險(xiǎn)公司開(kāi)發(fā)了某種保險(xiǎn)產(chǎn)品，每個(gè)保單有效期一年，保費(fèi)為500元，發(fā)生理賠時(shí)的理賠額均為10000元，假設(shè)共賣(mài)出該產(chǎn)品800個(gè)保單，記理賠的總次數(shù)為，則保險(xiǎn)公司在該保險(xiǎn)產(chǎn)品上獲得的利潤(rùn)為：

例2：人們?cè)谶M(jìn)行一項(xiàng)決策時(shí)通常先對(duì)某一重要相關(guān)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后基于這一預(yù)測(cè)作出決策，當(dāng)預(yù)測(cè)不準(zhǔn)時(shí)就會(huì)造成決策損失，損失大小是實(shí)際預(yù)測(cè)誤差的函數(shù)的函數(shù)，比如，在許多情況下，人們?nèi)∵@一函數(shù)為二次函數(shù)：

例3：在統(tǒng)計(jì)物理中，分子運(yùn)動(dòng)的速度為

，則其動(dòng)能為第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)向量：

（?，?）→（R，B）可測(cè)n元Borel函數(shù)：

（R，B）→（R，B）可測(cè)將二者的復(fù)合：

（?，?）（R，B）（R，B）第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§3隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的變換第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)問(wèn)題：由一個(gè)隨機(jī)變量的分布確定其函數(shù)的分布，對(duì)于一般的隨機(jī)變量而言，就是要確定其分布函數(shù)。一般方法：其中為Borel集，進(jìn)而的分布函數(shù)由下式確定第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

離散情形

第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例子：高爾頓版、二叉樹(shù)與證券價(jià)格高爾頓板

由英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓（Galton）設(shè)計(jì)，自板上端放入一小球,任其自由落下.在下落過(guò)程中,當(dāng)小球碰到釘子時(shí),從左邊落下與從右邊落下的機(jī)會(huì)相等.碰到下一排釘子

也是如此.自板上端放入n個(gè)小球,

觀察小球落下后呈現(xiàn)曲線并統(tǒng)計(jì)

小球落入各個(gè)格子的頻率.

第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例子：高爾頓版、二叉樹(shù)與證券價(jià)格從高爾頓板看金融中的二叉樹(shù)模型第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布連續(xù)型情形第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二連續(xù)型情形的例子例1（線性函數(shù)）練習(xí)：第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二連續(xù)型情形的例子例2（對(duì)數(shù)正態(tài)）注：在現(xiàn)代金融中通常用對(duì)數(shù)正態(tài)描述資產(chǎn)的價(jià)格，也就是假設(shè)對(duì)數(shù)價(jià)格服從正態(tài)分布第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二非單調(diào)函數(shù)情形例3：推廣——第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§3隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的變換第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二非單調(diào)函數(shù)情形先看一個(gè)例子：求的密度函數(shù)一般公式證明留作練習(xí)第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§3隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的變換第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的函數(shù)的分布一般隨機(jī)變量情形離散情形練習(xí)（離散卷積公式）：進(jìn)一步：如何推廣到非獨(dú)立的情形？取整數(shù)的情形？第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的函數(shù)的分布探究問(wèn)題一：一般地兩個(gè)獨(dú)立的同類分布隨機(jī)變量之和的分布還屬于這一類分布，則稱這一分布類具有再生性。探討下列分布的再生性：1.二項(xiàng)分布：2.泊松分布：3.幾何分布：說(shuō)明幾何分布為什么沒(méi)有具有再生性？將幾何分布類拓寬到哪個(gè)分布類可以使其具有再生性？第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的函數(shù)的分布探究問(wèn)題2第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的函數(shù)的分布連續(xù)型情形第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的函數(shù)的分布例（和的分布）——卷積公式思考：1.非獨(dú)立情形；2.與離散卷積公式對(duì)照練習(xí)：求商的分布第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的函數(shù)的分布探究問(wèn)題31.2.討論指數(shù)分布、分布的再生性；3.歸納指數(shù)分布、埃爾朗分布、、分布之間的關(guān)系。第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例子：極值的分布多個(gè)隨機(jī)變量的極大值、極小值、極差極大值的分布極小值的分布第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例子：極值的分布練習(xí)：在連續(xù)型的情形求極值的密度函數(shù)探究問(wèn)題1：探究問(wèn)題2：第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二§3隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)單個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的變換第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的變換隨機(jī)向量：

（?，?）→（R，B）可測(cè)n元Borel函數(shù)：

（R，B）→（R，B）可測(cè)將二者的復(fù)合：

（?，?）（R，B）（R，B）第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的變換記變換：第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期二隨機(jī)向量的變換求分布第30