集合與函數(shù)概念

集合與函數(shù)概念第1頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)、已知集合M={y︱y=x2-2x-1，x∈R｝，N＝{(x,y)︱y=x2-2x-1，x∈R},則M=N嗎？3、若A中有n個(gè)元素，則有：(1)A有子集2n個(gè);（2）A有非空子集2n-1個(gè);（3）A有非空真子集2n-2個(gè)！例4、已知a為給定實(shí)數(shù)，則集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集個(gè)數(shù)是（）A、1；B、2；C、4；D、不確定。C第2頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二5、特別注意：例5、設(shè)A={x∣x2+x-1=0},B={x∣ax+1=0}，若，求實(shí)數(shù)a的不同取值的個(gè)數(shù)是多少。解：方程x2+x-1=0的解為當(dāng)B中的x取兩根之一時(shí)均滿足此時(shí)a有兩個(gè)。但當(dāng)a=0時(shí)，顯然第3頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)1、已知集合A={x︱x2-5x+6=0}，

B={x︱mx+1=0}，且B

A，則實(shí)數(shù)m組成的集合是

。

因此a有三個(gè)。解：1、A＝{2,3}，且，注意B＝Φ時(shí)，m=0；當(dāng)B={2}時(shí)，2m+1=0，解得m=-1/2；當(dāng)B={3}時(shí)，同理可得m=-1/3。{0,-1/2,-1/3}第4頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)2、已知集合A={x|1<ax<2}，B={x|}，求滿足的實(shí)數(shù)a的范圍。解：B={x|-1<x<1}，（1）當(dāng)a=0時(shí)，A=φ，滿足；（2）當(dāng)a>0時(shí)，A=，∵，∴解得a≥2。第5頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二（3）當(dāng)a<0時(shí)，A=，∵∴解得：a≤-2。綜上所述，a=0或a≥2或a≤-2。第6頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二我們知道，實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，那么集合是否也可以“相加”呢？考察下列各個(gè)集合，你能說出集合C與集合A、B之間的關(guān)系嗎？1、A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};2、A={有理數(shù)}，B={無理數(shù)}，C={實(shí)數(shù)}答：集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的。第7頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。用Venn圖表示為：ABA∪B第8頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例4、設(shè)A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B。例5、設(shè)集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B練習(xí)2、設(shè)集合A={x|1<x<3}，集合B={x|-2<x<2}，求A∪B。練習(xí)1、設(shè)A={a,b,c,d}，B={b,d,e,g}，求A∪B。第9頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二思考：下列關(guān)系式成立嗎？（1）A∪A=A；（2）A∪φ=A。二、考察下面的問題，集合A、B與C之間有什么關(guān)系？A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8}。答：集合C是由那些既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的。第10頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。用Venn圖表示為：ABA∩B第11頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例6、新華中學(xué)開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A={新華中學(xué)高一年級(jí)參加百米賽的同學(xué)}B={新華中學(xué)高一年級(jí)參加跳高賽的同學(xué)}求A∩B。練習(xí)3、P12練習(xí)1、2。例7、設(shè)集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∩B。練習(xí)4、P12練習(xí)3。第12頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二5、已知M={x|x≤1}，N={x|x>a}，若M∩N≠φ，則a的取值范圍是（）A、a>1；B、a≥1；C、a<1；D、a≤1C第13頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例1、已知集合M={x|3x2+ax-7=0}，N={x|3x2-7x+b=0}，a,b∈R且，求M∪N。補(bǔ)例2、已知集合M={x|x2+ax+1=0}，N={x|x2-3x+2=0}，且M∩N=M，求a的取值范圍。注意：M∩N=M

M∪N=M第14頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例3、已知集合M={x|x2+ax+1=0}，N={x|x2-3x+2=0}，且M∩N=M，求a的取值范圍。解：由已知得，N={1,2}。故M可能是φ、{1}、{2}、{1,2}。（1）若M=φ，則△=a2-4<0，即-2<a<2；（2）若方程x2+ax+1=0有解，則由x1x2=1知，只能M={1}。從而1+a+1=0，即a=-2.綜合(1)(2)得-2≤a<2。

第15頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：設(shè)A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若A∩B=B,求a的值。答案：a=1或a≤-1。第16頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例7、設(shè)平面內(nèi)直線上點(diǎn)的集合為L1，直線上點(diǎn)的集合為L2，試用集合的運(yùn)算表示的位置關(guān)系。思考：下列關(guān)系式成立嗎？（1）A∩A＝A；（2）A∩φ＝A第17頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二三、在研究問題時(shí)，我們常常需要確定研究對(duì)象的范圍。不同的范圍研究同一個(gè)問題，可能有不同的結(jié)果。例如方程(x-2)(x2-3)=0的解集，在有理數(shù)范圍內(nèi)只有2是其解，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有三個(gè)解是2，一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)從這個(gè)集合為全集，通常記作U。對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合A的補(bǔ)集。記作CUA，即第18頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

CUA={x|x∈U且}可用VennL圖表示：AUCUA例8、設(shè)U={x|x是小于9的正整數(shù)}，A={1,2,3}，B={3,4,5,6}，求CUA，CUB。第19頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：P12練習(xí)4。例9、設(shè)全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}。求A∩B，CU(A∪B)。練習(xí)：P14習(xí)題9、10。補(bǔ)例1、已知全集U={30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}，它的子集A、B滿足(CUA)∩B={2，7，17}，A∩(CUB)={3，23},(CUA)∩(CUB)={5,13,29}，求集合A與B。第20頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解：可直接求解或用Vens圖(下圖)求解。1119323271751329ABU練習(xí)：已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩B={2}，CUA∩CUB={1,9}，CUA∩B={4,6,8}，求集合A和B。第21頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解：用文氏圖來推求。如右下圖得A={2，3，5，7}B={2，4，6，8}24,6,83,5,7

1,

9補(bǔ)例2、已知全集U={2,0,3-a2}，集合P={2,a2-a-2}，CUP={-1}，求實(shí)數(shù)a的值。解：由已知-1∈U，所以3-a2=-1，解得a=2或a=-2。當(dāng)a=-2時(shí)P={2,4}與CUP={-1}矛盾；a=2滿足條件。所以a=2。第22頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：設(shè)，，求CUA。第23頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二四、補(bǔ)集思想的應(yīng)用對(duì)于一些比較復(fù)雜，比較抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明朗，難于從正面入手的數(shù)學(xué)問題。在解題時(shí)，可調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系。這樣就能起到化難為易，化隱為顯，從而將問題得以解決，這是補(bǔ)集思想的應(yīng)用。例、已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，若A∩R－≠φ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。第24頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二分析：集合A是方程x2-4mx+2m+6=0的實(shí)數(shù)解組成的非空集合，A∩R－≠φ意味著方程的根有（1）兩負(fù)根；（2）一負(fù)根一零根；（3）一負(fù)根一正根三種情況，如果考慮A∩R－≠φ的反面A∩R－=φ，則可先求方程的兩根均非負(fù)時(shí)，m的取值范圍，用補(bǔ)集的思想求解尤為簡捷。第25頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解：設(shè)全集U={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}={m|m≤-1或m≥3/2}①若方程x2-4mx-2m-6=0的兩根x1,x2均非負(fù)，則

x1+x2=4m≥0②

x1x2=2m+6≥0③由①②③得m≥3/2?！鄘m|m≥3/2}關(guān)于U的補(bǔ)集{m|m≤-1}即為所求.第26頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)、若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。-3<p<3/2解：取的解集的補(bǔ)集即得：-3<p<3/2第27頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例：已知集合A={x|x2-mx+m2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，滿足A∩B≠φ，A∩C=φ，求實(shí)數(shù)m的值練習(xí)：設(shè)A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若A∩B＝B,求a的值。第28頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二函數(shù)一、回顧初中函數(shù)的定義：在某一變化過程中，任給一個(gè)自變量x，都有惟一的一個(gè)y與之相對(duì)應(yīng)。下面我們用初中的函數(shù)定義去分析課本給出的三個(gè)實(shí)例。不同點(diǎn)：實(shí)例1是用解析式刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例2是用圖象刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)例3是用表格刻畫變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第29頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二共同點(diǎn)：①都有兩個(gè)非空數(shù)集；②兩個(gè)數(shù)集之間都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。注意：解析式、圖象、表格都是上種對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過分析、歸納總結(jié)出函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)f(x)和第30頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A

B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作

y=f(x)，x∈A其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集。說明：①對(duì)y=f(x)的理解：作為一個(gè)整體，它是一種符號(hào)，它可以是解析式，如實(shí)例1；也可以是圖象，如實(shí)例2；也可以第31頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二是表格，如實(shí)例3。②定義中集合A和B都是非空數(shù)集；③對(duì)于x中的每一個(gè)值，按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，都有惟一的y值與它對(duì)應(yīng)。因此：函數(shù)有三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系！我們一齊小結(jié)一次、二次函數(shù)的定義域和值域。第32頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二.1、一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)由它的圖象可以知道它的定義域是R，值域也是R。2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)由它的圖象可以知道它的定義域是R，值域要看a，a>0時(shí)，值域是：

a<0時(shí)，值域是：。第33頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二二、研究函數(shù)時(shí)常用到區(qū)間的概念：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b。我們有

定義

名稱符號(hào)

數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}

閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}

開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]第34頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二這些區(qū)間的幾何表示如上表所示。在圖中，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)。實(shí)數(shù)R可以用區(qū)間表示為，我們可以把滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為，,

，。第35頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二三、學(xué)習(xí)例1：已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域；（2）求f(-3)、f(2/3)的值；（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f(a)，f(a-1)的值。練習(xí)1、P21練習(xí)1、2。第36頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)2:函數(shù)的定義域?yàn)镸，函數(shù)的定義域?yàn)镹，則M與N的關(guān)系是（）A、M＝N；B、M

N；C、M∩(CRN)=φ；D、M∩(CRN)={3}

D第37頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)充：解絕對(duì)值和一元二次不等式一、復(fù)習(xí)絕對(duì)值不等式的解法(a>0)：

(1)(2)二、一元二次不等式圖象解法(a>0):ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0令f(x)=ax2+bx+c，則此拋物線開口向上令方程：ax2+bx+c=0。如下圖所示第38頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二x1x2x1=x2=△>0△=0△<0注：對(duì)ax2+bx+c>0看上方的圖象；對(duì)ax2+bx+c<0看下方的圖象!第39頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)1、不等式的解集是

2、不等式x2-5x+4<0的解集是

不等式x2-5x+6>0的解集是

(-1,3)例1、解不等式：

(1,4){x|x<2或x>3}解：原不等式可化為：-1<x2-5x+5<1即由①和②得：{x|1<x<2或3<x<4}x2-5x+5<1x2-5x+5>-11<x<4---------①x<2或x>3------②第40頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例2、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？練習(xí)2、設(shè)x為實(shí)數(shù)，則f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是（）A、B、C、f(x)=1,g(x)=x0；D、A第41頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)3：給出下列四組函數(shù)：（1）y=x與y=；（2）與y=x0；（3）與；（4）y=3x+1(x∈Z）與y=3x-2(x∈Z）其中表示同一函數(shù)的是

。（2）與(3)練習(xí)4、P21練習(xí)3。第42頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二三、復(fù)合函數(shù)的概念：假設(shè)兩個(gè)函數(shù)：y=f(u)，u=g(x)前者自變量為u，因變量為y，后者的自變量為x，因變量為u。如果將u=g(x)代入y=f(u)中，就得到

y=f[g(x)]這個(gè)以x為自變量，以y為因變量的函數(shù)，稱為復(fù)合函數(shù)。這個(gè)函數(shù)的定義域由u=g(x)的定義域中那些使g(x)屬于y=f(u)第43頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二的定義域的x組成；而這種將一個(gè)函數(shù)“代入”另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算叫做復(fù)合運(yùn)算。經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)就是復(fù)合函數(shù)。例如：函數(shù)可以看成和u=x2-2x-3的復(fù)合函數(shù)。例3、已知f(x)=3x-1,g(x)=2x+3,h(x)為x的函數(shù)，若f[h(x)]=g(x)，求h(x)。解：∵f[h(x)]=3h(x)-1，∴由已知得：3h(x)-1=2x+3，即h(x)=2(x+2)/3。第44頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：1、已知f(x)=2x+3，g(x)=4x-5。(1)求滿足f[h(x)]=g(x)的h(x)。(2)求滿足k[g(x)]=f(x)的k(x)。2、設(shè)，證明：3、若g(x)=1-2x，,則f(1/2)的值為（）A、1；B、3；C、15；D、30。C第45頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例4、已知函數(shù)，求的值。解：∴原式=1/2+39=39.5。評(píng)注：由需求式中數(shù)的特點(diǎn)推出函數(shù)f(x)的隱含的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵。第46頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：設(shè)，求的值。（全國高考題）解：易證當(dāng)x+y=1時(shí)，f(x)+f(y)=1?！嘣剑?00。第47頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)、已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?,1），求和f(x2)的定義域。答案：（1/3,2/3)；(-1,0)∪(0,1)。例5、函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，則函數(shù)

f(x+a)+f(x-a)(0<a<1/2)的定義域是什么？解：∵0<a<，∴a≤1-a。依題意得：故得定義域：[a,1-a]。第48頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例6、已知f(x+1)的定義域是[-2,3]，求的定義域。

解：∵-2≤x≤3，可得-1≤x+1≤4。即第49頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：若函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-2,3]，則y=f(2x-1)的定義域是（）A、[0,5/2]；B、[-1,4]；C、[-5,5]；D、[3,7]A小結(jié)：函數(shù)f(x+1),f(x),f(2x-1)中的x并不是同一個(gè)量，當(dāng)f(x)的定義域是[-1,4]時(shí)，f(x+1)和f(2x-1)分別是中間變量(x+1)和(2x-1)的函數(shù)，f(2x-1)的定義域由中間變量2x-1∈[-1,4]求得。(xt=x+1t=2x-1)第50頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二求函數(shù)的解析式一、求復(fù)合函數(shù)的解析式：采用變量代換法或湊配法例1、已知，求f(x)。解、令故有f(t)=t2+2，即f(x)=x2+2。練習(xí)：已知，求f(x)。

第51頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二二、求抽象函數(shù)式的方法:變量代換、解方程組。例1、設(shè)函數(shù)，求f(x).解：令t=1/x，則有即又解方程組得f(x)=第52頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解：令4x-3=t，則有x=(t+3)/4，∴af(t)+bf(-t)=(t+3)/2⑴將⑴中的t換成–t，則a(f-t)+bf(t)=(-t+3)/2⑵⑴×a－⑵×b得:(a2-b2)f(t)=a(t+3)/2-b(-t+3)/2練習(xí)：已知af(4x-3)+bf(3-4x)=2x，

a2≠b2，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式。第53頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二∵a2≠b2，∴三、用待定系數(shù)法求一元一次、一元二次函數(shù)。1、一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)（1）、當(dāng)k>0時(shí)，是增函數(shù)；（2）、當(dāng)k<0時(shí)，是減函數(shù)；（3）縱截距為b；即與Y軸的交點(diǎn)為(0,b)。第54頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例1、已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足：

3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)。解：設(shè)f(x)=ax+b，則：3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17。比較系數(shù)得：a=2，b=7?！鄁(x)=2x+7。練習(xí)：1、已知f(x)是一次函數(shù)，且f(1)=1，

f[f(2)]=5，求f(x)的解析式。答案：f(x)=2x-1。第55頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2、一元二次函數(shù)：

y=ax2+bx+c(a≠0)1、記住頂點(diǎn)坐標(biāo),與對(duì)稱軸。

2、位置與開口方向。3、增減性與極值.第56頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二3、確定二次函數(shù)的解析式需要三個(gè)獨(dú)立的條件，主要采用待定系數(shù)法，依情況有3種待定形式：1、標(biāo)準(zhǔn)式：f(x)=ax2+bx+c2、頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-k)2+m3、零點(diǎn)式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)注、若二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)則第57頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例1、已知二次函數(shù)y=f(x)的最大值等于13，且f(3)=f(-1)=5，求f(x)的解析式。解：∵f(3)=f(-1)，∴拋物線y=f(x)有對(duì)稱軸x=1,故可設(shè)f(x)=a(x-1)2+13，將點(diǎn)(3,5)代入，求得a=-2?！鄁(x)=-2(x-1)2+13=-2x2+4x+11練習(xí)1、二次函數(shù)當(dāng)x=3時(shí)，有最大值是-1，又圖象過(4,-3)點(diǎn)。求這個(gè)二次函數(shù)。2、二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1和2，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4。求這個(gè)二次函數(shù)。第58頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例2、已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4，求f(x)。解：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0），則

f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x+4

即ax2+bx+a+c=x2-2x+2∴a=1,b=-2,a+c=2，即c=1。第59頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二4、已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x，則f(x)=

.x2-x+1練習(xí)3：已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足f(2)=0，且方程f(x)=x有等根。求f(x)的解析式。例3、(1)分別求函數(shù)y=x2-2x+3在[2,3]、[0,1.5]、[-2,-1]上的最大、小值(值域)。(2)已知2x2≤3x，求函數(shù)f(x)=x2+x+1的最大、最小值。第60頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二注、函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值（1）當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)增，最小值為f(m)，最大值為f(n)；（2）當(dāng)時(shí),最小值為最大值為max{f(m),f(n)}；（3）當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)減，最小值為f(n)，最大值為f(m)。第61頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)充練習(xí)：已知、是關(guān)于x的方程x2-2mx+m+6=0的兩實(shí)數(shù)根，則的最小值是多少？8提示：第62頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法：1、要借助圖象（與開口方向、特別是對(duì)稱軸和頂點(diǎn)有關(guān)）；2、當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，須對(duì)參數(shù)分區(qū)間（在對(duì)稱軸的左、右、兩邊）討論。練習(xí)1、求函數(shù)y=x2-2x+3在[2,3]上的最大、小值解：由已知y=(x-1)2+2得頂點(diǎn)（1，2），對(duì)稱軸為x=1，∵，且[2,3]在對(duì)稱軸的右邊，∴最大值為f(3)=6，最小值為f(2)=3。第63頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)2：若函數(shù)y=x2+ax-1在區(qū)間[0,3]上有最小值-2，則實(shí)數(shù)a的值為（）(A)2；(B)±2；(C)-2；(D)C解：函數(shù)f(x)=x2+ax-1的圖象開口向上對(duì)稱軸為x=(1)當(dāng)≤0，即a≥0時(shí)，f(0)=-1最小但與已知-2不符。第64頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二(2)當(dāng)0<<3,即-6<a<0時(shí)，最小值是f()=()2+()a-1=-2,解得a=±2取a=-2(a=2不合，舍去）；當(dāng)，即a<-6時(shí)，最小值f(3)=9+3a-1=-2,從而(舍去）。所以取a=-2。故選C。第65頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二3、函數(shù)y=-x2-4x+1，x∈[-3,3]時(shí)的值域是()A、(-∞,5]；B、[5,+∞）；C、[-20,5]；D、[4,5]4、求函數(shù)的值域。C7、解：f(x)的定義域?yàn)?x-13≥0，即令，則得。從而有

即值域?yàn)椋旱?6頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例4、已知函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）顯然m=0時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)镽；（2）m≠0時(shí)，mx2-4mx+m+3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立的充要條件是：解得0<m<1。由（1）、（2）知0≤m<1。第67頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)8、求證：無論m為何值，拋物線y=(m2+1)x2-2mx+(m2+4)與x軸永不相交.9、若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：為使kx2+4kx+3≠0，當(dāng)k≠0時(shí)，要△<0，從而0<k<;又k=0時(shí)，分母為3≠0；又分子為奇次根下的表達(dá)式，(x-5)∈R，∴滿足題意的k∈第68頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二函數(shù)的表示法1、由初中學(xué)過的函數(shù)知識(shí)和1.2.1節(jié)的三個(gè)實(shí)例，我們知道函數(shù)的表示方法有三種：解析（式）法、圖象法、列表法！學(xué)習(xí)課本例3（P21）說明：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、甚至是一些離散的點(diǎn)。第69頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二學(xué)習(xí)例4。（P22）說明：從表格中可以看到三個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和發(fā)展趨勢。學(xué)習(xí)例5、例6。說明：像例5、例6表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。注意在求分段函數(shù)值時(shí)要先判斷在哪個(gè)區(qū)間，然后再用那個(gè)區(qū)間的表達(dá)式求函數(shù)值。第70頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)全例：畫出函數(shù)的圖象，并求此函數(shù)的最小值是多少？當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)與y=a的圖象：（1）無交點(diǎn)；（2）二個(gè)交點(diǎn)；（3）三個(gè)交點(diǎn)；（4）四個(gè)交點(diǎn)。練習(xí)：畫出函數(shù)的圖象，并求此函數(shù)的最小值是多少？當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)與y=a的圖象：（1）無交點(diǎn)；（2）二個(gè)交點(diǎn)；（3）三個(gè)交點(diǎn)；（4）四個(gè)交點(diǎn)。第71頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例1、設(shè)定義在整數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足f(n)=求f(1993)的值答案：f(1993)=1997。練習(xí)1、已知函數(shù)：

f(x)=（1）求f(8)、f(-1)的值。（2）求此函數(shù)的值域。第72頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二答：f(84)=997。2、已知f(x)=（x∈N），則f(3)的值是（）A、2；B、5；C、4；D、3。3：設(shè)定義在整數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足f(n)=求f(84)的值。A第73頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例2、如圖，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由點(diǎn)B（起點(diǎn)）向點(diǎn)A（終點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△APB的面積為y，求（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出y=f(x)的圖象。第74頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二

（1）y=（2）第75頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P從邊長為1的的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D，再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)行程，y表示PA的長，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。第76頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二前面我們學(xué)過函數(shù)：非空數(shù)集A中任取一個(gè)元素，按照某一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在非空數(shù)集B中都有惟一的元素與之對(duì)應(yīng)。把上面的集合A、B推廣為一般的非空集合，對(duì)應(yīng)關(guān)系f就是映射。即：設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使集合A中的任一元素x，在集合B中都有惟一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個(gè)映射。第77頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二注意映射f：A

B中，A中的元素在B中一定有象，但B中的元素在A中不一定有原象。學(xué)習(xí)例7（P25）練習(xí)1、設(shè)f：A

B是集合A到集合B的映射，則下列命題正確的是（）

(A)、A中的每一個(gè)元素在B中必有象；(B)、B中的每一個(gè)元素在A中必有原象；(C)、B中的每一個(gè)元素在A中的原象是唯一的；(D)、A中的不同元素的象必不同。A第78頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2、設(shè)集合A={x|0≤x≤6},B={x|0≤x≤6},從A到B的對(duì)應(yīng)法則f不是映射的是（）A、f:x；B、f:x；C、f:x；D、f:x。3、若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2}，則f(x)可以是()AB第79頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二補(bǔ)例、設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A

B把集合A中的n映射到集合B中的元素2n+n，則在映射下，象20的原象是（）

A、

2；B、3；C、4；D、5C練習(xí)2、設(shè)f：A

B是從集合A到B的映射f:(x,y)(x-y,x+y)，求：（1）A中元素(1，3)的象；（2）B中元素(1，3)的原象。

第80頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二函數(shù)的單調(diào)性（增減性）函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。如果了解了函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就基本把握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律。因此研究函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)在什么時(shí)候遞增或遞減，有沒有最大、最小值，函數(shù)圖象有什么特征等，是非常重要的。我們研究一次、二次函數(shù)的單調(diào)性（什么時(shí)候上升、下降）后抽象出單調(diào)性的一般定義。第81頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二x1x1x2x2y1y1y2y2增函數(shù)：對(duì)x1<x2有y1<y2減函數(shù)：對(duì)x1<x2有y1＞y2第82頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二函數(shù)的單調(diào)性（增減性）1、定義：對(duì)某區(qū)間內(nèi)任意x1<x2,若f(x1)<f(x2)為增；若f(x1)>f(x2)為減。證明方法：取值，作差，變形（一般是乘積），判斷，下結(jié)論。2、函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，函數(shù)的單調(diào)性可能是定義域上的整體性質(zhì)也可能是局部性質(zhì)。3、在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常將函數(shù)變形化簡為討論一些熟悉函數(shù)的單調(diào)性，掌握并記住一次、二次、函數(shù)的單調(diào)性，將會(huì)大大縮短其判斷過程。第83頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2)，[-2,1)，[1,3)，[3,5]。其中在區(qū)間[-5,-2)，[1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2,1)，[3,5]上是增函數(shù)。例1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，及在每一單調(diào)區(qū)間上，是增函數(shù)還是減函數(shù)。xy0-55xy-55第84頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例2、證明函數(shù)在上是增函數(shù)。例3、證明函數(shù)f(x)=x3+b在R上是單調(diào)增函數(shù)。小結(jié)：證明函數(shù)單調(diào)性的方法：取（自變量）值，作差，變形（一般是乘積），判斷，下結(jié)論。第85頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二4、一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么就稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。練習(xí)：依照上述定義寫出最小值的定義。例4、已知函數(shù)，求函數(shù)的最大、最小值。第86頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)1、函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，已知,

則f(x)在[-2,3]上有（）A、最大值f(-2)，最小值；B、最大值，最小值f(-2)；C、最大值f(3)，最小值；D、最大值，最小值f(3)。2、已知在上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在上是

函數(shù)。A減第87頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例5、已知函數(shù)y=x2+2(a-2)x+5在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)：1、函數(shù)f(x)=2x2-mx+3在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)，求f(1)的值。2、函數(shù)f(x)=x2+2(a+1)x-5+a在上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。注意：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在對(duì)稱軸左、右邊具有單調(diào)性。當(dāng)a>0時(shí)，左減右增；當(dāng)a<0時(shí)，左增右減。第88頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例5、已知f(x)是定義在R+上，且又f(2)=1，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0。（1）求f(1)、f(4)的值；（2）討論f(X)的單調(diào)性；（2）解不等式：練習(xí)1、已知y=f(x)在上是減函數(shù)，試比較與f(a2-a+1)的大小。第89頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二2、已知y=f(x)是定義在(-1，1)上的減函數(shù)，且f(1-a)<f(1-a2)，求a的取值范圍。第90頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二函數(shù)的奇偶性我們先畫出并觀察函數(shù)y=x2和的圖象：第91頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二（1）觀察可知這兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱（2）從數(shù)值的角度，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相同。如：對(duì)于函數(shù)f(x)=x2有：

f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)第92頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二實(shí)際上，對(duì)于定義域R內(nèi)任意的一個(gè)x，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)。這時(shí)我們稱函數(shù)y=x2為偶函數(shù)。請(qǐng)同學(xué)們檢驗(yàn)是否也是偶函數(shù)？偶函數(shù)定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)。那么函數(shù)f(x)就稱為偶函數(shù)。它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱！思考：函數(shù)f(x)=x2，x∈[-2，2)是不是偶函數(shù)？第93頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二我們?cè)儆^察函數(shù)f(x)=x和的圖象：第94頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二（1）觀察可知這兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（2）從數(shù)值的角度，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是一對(duì)相反數(shù)。如：對(duì)于函數(shù)f(x)=x有：

f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)第95頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二實(shí)際上，對(duì)于定義域R內(nèi)任意的一個(gè)x，都有f(-x)=(-x)=-(x)=-f(x)。這時(shí)我們稱函數(shù)y=x為奇函數(shù)。請(qǐng)同學(xué)們檢驗(yàn)是否也是奇函數(shù)？奇函數(shù)定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)。那么函數(shù)f(x)就稱為奇函數(shù)。它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！思考：函數(shù)f(x)=x，x∈[-2，2)是不是奇函數(shù)？第96頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）；（4）練習(xí)：P40練習(xí)1、2。第97頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二我們注意到函數(shù)f(x)=2x是奇函數(shù)，而函數(shù)f(x)=2x+1又是什么函數(shù)？顯然

f(-x)≠±f(x)有這種性質(zhì)的函數(shù)我們稱為非奇非偶函數(shù)。還有上面所述的函數(shù)：

f(x)=x2，x∈[-2，2)即其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的也稱為非奇非偶函數(shù)。第98頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二小結(jié)：奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域區(qū)間必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)必是非奇非偶函數(shù)。即非奇非偶函數(shù)包含兩類：（1）函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（2）即使函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但f(-x)≠±f(x)的。還有一類函數(shù)是既是奇又是偶的函數(shù)：

f(x)=0，x∈I（區(qū)間I關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）第99頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二注1：奇函數(shù)的另一形式：若函數(shù)的定義域內(nèi)任一個(gè)x都有f(x)+f(-x)=0，則稱f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的另一形式：若函數(shù)的定義域內(nèi)任一個(gè)x都有f(x)-f(-x)=0，則稱f(x)為偶函數(shù)。例2：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）。（3）非奇非偶偶說明：在判斷奇偶性時(shí)，要先求定義域！非奇非偶第100頁，共109頁，2023年，2月20日，星期二注：若奇函數(shù)的定義域中包含0，則函數(shù)必過(0,0)點(diǎn)。即有f(0)=0。不包含0，可用定義求解或用f(-1)=-f(1)。例3、（1）若函數(shù)是奇