控制系統(tǒng)微分方程

知識點系統(tǒng)微分方程的建立方法

Laplace變換的定義及性質(zhì)傳遞函數(shù)的定義及性質(zhì)控制系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立方法及簡化準確求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動控制系統(tǒng)中微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系及相互轉(zhuǎn)換1第一頁，共28頁。第一頁，共28頁。[數(shù)學(xué)模型]：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。

例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步。

控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。概述2第二頁，共28頁。第二頁，共28頁。[線性系統(tǒng)]：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。

線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應(yīng)可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應(yīng)的結(jié)果進行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)]：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。

宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。概述3第三頁，共28頁。第三頁，共28頁。

古典控制理論中（我們所正在學(xué)習(xí)的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。[非線性系統(tǒng)]：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。

下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：概述4第四頁，共28頁。第四頁，共28頁。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程5第五頁，共28頁。第五頁，共28頁。

微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等?？刂葡到y(tǒng)的微分方程6第六頁，共28頁。第六頁，共28頁?？刂葡到y(tǒng)的微分方程由②：，代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例2-1]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。7第七頁，共28頁。第七頁，共28頁。[例2-2]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)的微分方程8第八頁，共28頁。第八頁，共28頁。[例2-3]電樞控制式直流電動機這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉(zhuǎn)軸上的負載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為

其中ea

為反電勢此時激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱為電動機電勢常數(shù)

Cm稱為電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機械轉(zhuǎn)動方程電機通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的微分方程9第九頁，共28頁。第九頁，共28頁。其中和分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間常數(shù)整理得分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力。控制系統(tǒng)的微分方程10第十頁，共28頁。第十頁，共28頁。[需要討論的幾個問題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2

-1和例2

-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢姡晃锢硐到y(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2

-1和例2

-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。11第十一頁，共28頁。第十一頁，共28頁。2、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化12第十二頁，共28頁。第十二頁，共28頁。

若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項。可以得到等效的線性環(huán)節(jié)。

設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點，如下圖中的。A點附近有點為，當很小時，AB段可近似看做線性的。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx013第十三頁，共28頁。第十三頁，共28頁。AByx0設(shè)f(x)在點連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點展開為泰勒級數(shù)，得：若很小，則，即式中，K為與工作點有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化14第十四頁，共28頁。第十四頁，共28頁。對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點為。則可近似為：式中：，。 為與工作點有關(guān)的常數(shù)。[注意]：⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級數(shù)展開的。⑵實際的工作情況在工作點附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化15第十五頁，共28頁。第十五頁，共28頁。[例1-4]：倒立擺系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化

該系統(tǒng)由小車和安裝在小車上的倒立擺構(gòu)成。倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔玫剿厦妫鼘㈦S時可能向任何方向傾倒。這里我們只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖所在的平面內(nèi)運動。若有合適的控制力u作用于小車上可使擺桿維持直立不倒。這實際是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型(姿態(tài)控制問題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。設(shè)小車和擺桿的質(zhì)量分別為M和m，擺桿長為，且重心位于幾何中點處，小車距參考坐標的位置為，擺桿與鉛垂線的夾角為，擺桿重心的水平位置為，垂直位置為

16第十六頁，共28頁。第十六頁，共28頁。畫出倒立擺系統(tǒng)隔離體受力圖非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化設(shè)擺桿和小車結(jié)合部的水平反力和垂直反力為H和V，略去擺桿與小車、小車與地面的摩擦力?？傻梅匠倘缦拢?/p>

⒈擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動運動⑴

式中J為擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量，為垂直力關(guān)于其重心的力矩，為水平力關(guān)于其重心的力矩。

⒉擺桿重心的水平運動 ⑵

⒊擺桿重心的垂直運動 ⑶

⒋小車的水平運動 ⑷

17第十七頁，共28頁。第十七頁，共28頁。因為在這些方程中包含和，所以它們是非線性方程。

非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化若假設(shè)角度很小，則和。可得下列線性化方程：

⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻由⑹和⑻可得 ⑼由⑸、⑺和⑻得 ⑽

當忽略轉(zhuǎn)動慣量J時當考慮轉(zhuǎn)動慣量時18第十八頁，共28頁。第十八頁，共28頁。3.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對上述方程進行適當?shù)暮喕热缏匀ヒ恍ο到y(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟19第十九頁，共28頁。第十九頁，共28頁。[例2-５]：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負載-+-+

功率放大器測速發(fā)電機[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動量是線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]20第二十頁，共28頁。第二十頁，共28頁。線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運放Ⅰ：，運放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：21第二十一頁，共28頁。第二十一頁，共28頁。線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]⑴對于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統(tǒng)，則=常數(shù)，，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對于線性系統(tǒng)應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：22第二十二頁，共28頁。第二十二頁，共28頁。①定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：

,式中s為復(fù)數(shù)。記作一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時，f(t)=0；⑵t≥0時，f(t)分段連續(xù)；⑶。F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為反拉氏變換。復(fù)習(xí)拉氏變換4、復(fù)習(xí)拉氏變換23第二十三頁，共28頁。第二十三頁，共28頁。⑴線性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）⑷時滯定理：⑸初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì)：24第二十四頁，共28頁。第二十四頁，共28頁。⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換25第二十五頁，共28頁。第二十五頁，共28頁。5、線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉