清華自動控制原理課件 第5章

第5章頻率特性法5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數(shù)頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時域指標(biāo)直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計算，只有在計算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。在工程實(shí)踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法。控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。頻率特性分析法（FrequencyResponse），又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達(dá)式，而可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：

①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。

頻率特性分析法的特點(diǎn)②時域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。

③具有明確的物理意義，它可以通過實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。近來，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。

本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。5.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。下面用用一個簡單的實(shí)例來說明頻率響應(yīng)的概念：示例：如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與u0(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數(shù)為

RC圖5-1RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，為電路的時間常數(shù)，單位為s。

在零初始條件下，當(dāng)輸入信號為一正弦信號，即

ui(t)=Uisint時Ui與分別為輸入信號的振幅與角頻率，可以運(yùn)用時域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：U0(s)=對上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時域表達(dá)式：輸出由兩項(xiàng)組成：可見，輸出信號與輸入信號是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值與相位不同，輸出滯后于輸入。第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰減形式，衰減速度由電路本身的時間常數(shù)T決定。第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)t→∞時，瞬態(tài)分量衰減為0，此時電路的穩(wěn)態(tài)輸出為：

輸出與輸入相位差為

=-arctanTω輸入信號為ui(t)=Uisint二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為實(shí)際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號為正弦信號r(t)=sint

時，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

css(t)=Asin(ωt+)，如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin(ωt+)tr(t)css(t)圖5-2線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖5.1.2頻率特性1、基本概念對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，由于輸入輸出的幅值比A與相位差只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率ω有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比A與相位差僅是ω的函數(shù)，可以分別表示為A(ω)與(ω)。

若輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差將隨輸入頻率的變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號下的不同性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。因此，頻率特性可定義為：線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。

頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，只和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。

A(ω)反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（A＞1）還是衰減（A＜1）。

而(ω)反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（＞0o）還是滯后（＜0o）。

系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強(qiáng)調(diào)頻率ω是一個變量。對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRC圖5-1RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRC圖5-1RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2、頻率特性的表示方法對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個正弦信號r(t)=Rsinωt時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

css(t)

=A(ω)Rsin(ωt+(ω))

由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，則輸出輸入之比為

可見，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達(dá)式。若用一個復(fù)數(shù)G(jω)來表示，則有

G(jω)=∣G(jω)∣·ej∠G(jω)=A(ω)·ej()指數(shù)表示法

G(jω)=A(ω)∠(ω)幅角表示法

G(jω)就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數(shù)。當(dāng)ω是一個特定的值時，可以在復(fù)平面上用一個向量去表示G(jω)。向量的長度為A(ω)，向量與正實(shí)軸之間的夾角為(ω)，并規(guī)定逆時針方向?yàn)檎?，即相角超前；?guī)定順時針方向?yàn)樨?fù)，即相角滯后。另外還可以將向量分解為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，即

G(jω)=R(ω)+jI(ω)R(ω)稱為實(shí)頻特性，I(ω)稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：并且A(ω)與R(ω)為ω的偶函數(shù)，(ω)與I(ω)是ω的奇函數(shù)。以上函數(shù)都是ω的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。3、頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取方法

向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號r(t)=Rsinωt

在0→∞的范圍內(nèi)不斷改變ω的取值，并測量與每一個ω值對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出css(t)=A(ω)Rsin(ωt+(ω))

測量并記錄相應(yīng)的輸出、輸入幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨ω的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達(dá)式，便可求出完整的頻率特性表達(dá)式。5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性（重要）實(shí)際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性為描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。

系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態(tài)分量，對應(yīng)特征根；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實(shí)部均為負(fù)，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量必為同頻率的正弦信號。

輸出信號的拉氏變換為對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負(fù)實(shí)根。設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為輸入信號為r(t)=Rsinωtcss(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系數(shù)Kc和K-c可由留數(shù)定理確定，可以求出css(t)=A(ω)

·R·sin[ωt+

(ω)]

A(ω)=|G(s)|s=jω

=|G(jω)|

(ω)

=∠G(j

ω)而輸入信號為r(t)=Rsinωt因此，A(ω)為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達(dá)式。

(ω)為系統(tǒng)的輸出與輸入相位差，為系統(tǒng)的相頻特性表達(dá)式。系統(tǒng)的頻率特性為

G(jω)=G(s)|s=jω=

A(ω)·ej

由以上可推得一個十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s=σ+jω。當(dāng)σ=0時，s=jω。所以G(jω)就是σ=0時的G(s)

。即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用jω代替時，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。重要

因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G(s)G(jω)=

G(s)|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式分別為：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRCRC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

例5.1：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

當(dāng)輸入信號為r(t)=sin2t時，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與頻率特性分別為

頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。頻率特性的數(shù)學(xué)意義頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型，與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換。

微分方程（以t為變量）傳遞函數(shù)（以s為變量）頻率特性（以ω為變量）

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。5.1.4常用頻率特性曲線頻率特性是穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實(shí)際應(yīng)用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應(yīng)的坐標(biāo)系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點(diǎn)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質(zhì)以便對系統(tǒng)進(jìn)行分析與綜合。系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率響應(yīng)曲線的表示方法很多,其本質(zhì)都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式：1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標(biāo)系為極坐標(biāo)。奈氏圖反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規(guī)律。2.對數(shù)頻率特性曲線，包括：對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。圖形常用名為對數(shù)坐標(biāo)圖或伯德圖，坐標(biāo)系為半對數(shù)坐標(biāo)。伯德圖反映L(ω)=20lgA(ω)與

(ω)隨lgω變化的規(guī)律。3.對數(shù)幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或?qū)?shù)幅相圖，坐標(biāo)系為對數(shù)幅相坐標(biāo)。尼柯爾斯圖反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。5.2幅相頻率特性及其繪制

5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念繪制奈氏圖的坐標(biāo)系是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的重合，取極點(diǎn)為直角坐標(biāo)的原點(diǎn)，極坐標(biāo)軸為直角坐標(biāo)的實(shí)軸。由于系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為G(jω)=A(ω)·ej

對于某一特定頻率ωi下的G(jωi)總可以用復(fù)平面上的一個向量與之對應(yīng)，該向量的長度為A(ωi)，與正實(shí)軸的夾角為(ωi)。由于A()和()是頻率的函數(shù)，當(dāng)ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點(diǎn)在復(fù)平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。G(j2)Re

(1)

(2)A(1)A(2)G(j1)極坐標(biāo)圖的表示方法

Im

在繪制奈氏圖時，常把ω作為參變量，標(biāo)在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。前面已經(jīng)指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實(shí)頻特性是ω的偶函數(shù)，而相頻特性與虛頻特性是ω的奇函數(shù)，即G(jω)與G(－jω)互為共軛。因此，假定ω可為負(fù)數(shù)，當(dāng)ω在－∞→0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，相應(yīng)的奈氏圖曲線G(jω)必然與G(－jω)對稱于實(shí)軸。ω取負(fù)數(shù)雖然沒有實(shí)際的物理意義，但是具有鮮明的數(shù)學(xué)意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。當(dāng)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)已知時，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性或者實(shí)頻特性、虛頻特性的表達(dá)式，通過逐點(diǎn)計算描出奈氏曲線。具體步驟如下：1.用jω代替s，求出頻率特性G(jω)2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達(dá)式，也可求出實(shí)頻特性與虛頻特性，幫助判斷G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范圍內(nèi)選取不同的ω，根據(jù)A(ω)與(ω)表達(dá)式計算出對應(yīng)值，在坐標(biāo)圖上描出對應(yīng)的向量G(jω)，將所有G(jω)的端點(diǎn)連接描繪出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。也可以用實(shí)驗(yàn)的方法求取。5.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖

1、比例環(huán)節(jié)用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達(dá)式為

G(j)=KImRe0K→0→比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性傳遞函數(shù)為：G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性(ω)=0o比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關(guān)。所以當(dāng)由0變到，G(j)始終為實(shí)軸上一點(diǎn)，說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。ImRe0K→0→2、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為A()=|1/|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性為()=-90o→0→0Re積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性Im積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0＜＜的范圍內(nèi)，幅頻特性與負(fù)虛軸重合。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o?！?→0ReIm3、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=s頻率特性為

G(j)=j幅頻特性為A()=||=，與成正比。相頻特性為：

()=90o。理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0＜＜的范圍內(nèi)，其奈氏圖與正虛軸重合?？梢姡硐胛⒎汁h(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。4、慣性環(huán)節(jié)根據(jù)實(shí)頻特性與虛頻特性表達(dá)式，可以判斷出實(shí)頻特性恒≥0，而虛頻特性恒≤0，由此可見慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標(biāo)系的第四象限。傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性當(dāng)從0變到時，可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點(diǎn)繪制奈氏圖，例如可以繪出三個點(diǎn)由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→－90o。

是一個位于第四象限的半圓，圓心為(1/2，0)，直徑為1。若慣性環(huán)節(jié)的比例系數(shù)變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴(kuò)大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個半圓，但圓心為(K/2，0)，直徑為K。5、一階微分環(huán)節(jié)

可見一階微分環(huán)節(jié)的實(shí)頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。當(dāng)從0變到時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達(dá)式描點(diǎn)繪制奈氏圖，可以繪出三個點(diǎn)，見表G(s)=(s+1)()=arctan()由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。6、二階振蕩環(huán)節(jié)可以判斷出虛頻特性恒≤0，故曲線必位于第三與第四象限。

以為參變量，計算不同頻率時的幅值和相角，其中幾個重要的特征點(diǎn)見表。

在極坐標(biāo)上畫出由0變到時的矢量端點(diǎn)的軌跡，便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示。1＞2振蕩環(huán)節(jié)與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率：=1/T幅值：1/(2)由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→－180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

1.

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如圖5-12中1所對應(yīng)曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng)＞1時，振蕩環(huán)節(jié)有兩個相異負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，若足夠大，一個極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，另一個極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸（對瞬態(tài)響應(yīng)影響很小），奈氏曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。2.0≤

≤0.707當(dāng)增大時，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達(dá)到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處所對應(yīng)的頻率為諧振頻率r，所對應(yīng)的向量長度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統(tǒng)對頻率r下的正弦信號的放大作用最強(qiáng)。諧振峰值為隨↓，諧振峰值Mr↑，諧振頻率r→無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

由幅頻特性A()對頻率求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，諧振角頻率7、二階微分環(huán)節(jié)可以判斷出虛頻特性恒≥0，故曲線必位于第一與第二象限。

以為參變量，計算不同頻率時的幅值和相角，其中幾個重要的特征點(diǎn)見表。

在極坐標(biāo)上畫出由0變到時的矢量端點(diǎn)的軌跡，便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示。8、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-單位為弧度（rad）?；蛘?)=G(s)=e-sG(j)=e-j

→時，()→-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當(dāng)從0連續(xù)變化至?xí)r，奈氏曲線沿原點(diǎn)作半徑為1的無窮次旋轉(zhuǎn)，τ越大，轉(zhuǎn)動速度越大。故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-57.3°在低頻區(qū)，頻率特性表達(dá)式根據(jù)泰勒公式展開為當(dāng)很小時，有

即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結(jié)合不影響幅頻特性，但會使相頻特性的最大滯后為無窮大。如某系統(tǒng)傳遞函數(shù)是慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)相結(jié)合，傳遞函數(shù)為單位為度（°）可見隨的增大，幅頻特性A()單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻特性()從0°一直變化到負(fù)無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)次，最后終止于原點(diǎn)，與實(shí)軸、虛軸分別有無數(shù)個交點(diǎn)。5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制1.定義系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)，分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。對于由多個典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)（延遲環(huán)節(jié)除外），其頻率特性應(yīng)該滿足下面的規(guī)律（重要）

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，則系統(tǒng)頻率特性的繪制與典型環(huán)節(jié)的頻率特性的繪制方法是基本相同的。可根據(jù)復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)求出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅頻特性A()與相頻特性()的表達(dá)式，或由分母有理化求出實(shí)頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。

2.開環(huán)奈氏圖基本繪制規(guī)律當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為多個典型環(huán)節(jié)組合時，其開環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律?？梢韵雀鶕?jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達(dá)式描點(diǎn)，在曲線的重要部分修正。（1）低頻段的確定（→0）

GK(jω)的低頻段表達(dá)式

根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。1.0型系統(tǒng)，v=0：A(0)=K，

(0)=0o低頻特性為實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)。2.Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：A(0)→∞，

(0)=-90o3.Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：A(0)→∞，

(0)=

-180o

（2）高頻段（→∞）不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與零點(diǎn)。m為分子多項(xiàng)式的階數(shù)，

n為分母多項(xiàng)式的階數(shù)，且一般m＜n

故A()=0，高頻段終止于坐標(biāo)原點(diǎn)；而最終相位為()=-(n-m)90，由n-m確定特性以什么角度進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。①(n-m)=1，()=-90，即幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。②(n-m)=2，則()=-180，即幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。③(n-m)=3，則()=-270，即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。（3）奈氏圖與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實(shí)部與虛部。1）曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。2）曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率由實(shí)部為0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。（4）開環(huán)零點(diǎn)對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0→過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點(diǎn)，則在由0→過程中，特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點(diǎn)的時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢，此時，特性曲線出現(xiàn)凹部。

根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。

在０＜＜的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。3.繪制實(shí)例

[例5.2]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開環(huán)奈氏圖當(dāng)→0時，A(0)=K

，(0)

=0，低頻特性為正實(shí)軸上的一點(diǎn)(K,0)。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得頻率特性0型系統(tǒng)

此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，因此在從0→過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從0o連續(xù)變化到-270，中間有-180角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)。奈氏曲線應(yīng)該是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。

[例5.3]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開環(huán)奈氏圖

（1）此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)當(dāng)→0時，A(0)→

，(0)

=-90，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處。將頻率特性表達(dá)式分母有理化為則低頻漸近線為頻率特性實(shí)部≤0，故曲線只在第二、三象限。（2）→時，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270，即幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。（3）此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，因此在從0→過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從0o連續(xù)變化到-270。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。（4）()有-180相位角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)可以由下式確定。曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為Im[G(j)]=I()=

=0

[例5.4]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其開環(huán)奈氏圖此系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)當(dāng)→0時，A(0)→

，(0)

=-180在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270由于沒有開環(huán)零點(diǎn)，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段為連續(xù)變化的光滑曲線，幅值連續(xù)減小，最后沿正虛軸終止于原點(diǎn)。當(dāng)→0時，A(0)→

，(0)

=-180在→時，A()=0，()=-270若該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)頻率特性表達(dá)式為此系統(tǒng)仍為Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)→0時，A(0)→，(0)=-180，即奈氏圖的起點(diǎn)基本未變。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。由于增加了開環(huán)零點(diǎn)，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時，相位先滯后增加，達(dá)到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱麠l曲線出現(xiàn)了凹凸。當(dāng)→0時，A(0)→，(0)=-180，即奈氏圖的起點(diǎn)基本未變。在→時，A()=0，()=-180，奈氏圖沿負(fù)實(shí)軸終止于原點(diǎn)。下圖列出了常見系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)概略奈氏圖。

5.3對數(shù)頻率特性及其繪制5.3.1對數(shù)頻率特性曲線基本概念（重點(diǎn)）

對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對數(shù)分度運(yùn)算，使系統(tǒng)的分析和設(shè)計變得十分簡便。

1.伯德（Bode）圖的構(gòu)成

對數(shù)幅頻特性圖的橫坐標(biāo)是對

取以10為底的對數(shù)進(jìn)行分度的。

標(biāo)注角頻率的真值，以方便讀數(shù)。每變化十倍，橫坐標(biāo)1gω就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec，稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。橫坐標(biāo)對于ω是不均勻的，但對lgω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。

若橫軸上有兩點(diǎn)ω1與ω2，則該兩點(diǎn)的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。0.1110100/(rad·s-1)確定Bode圖坐標(biāo)系23對數(shù)頻率特性曲線坐標(biāo)系如圖所示，在繪制函數(shù)關(guān)系時，相當(dāng)于lgω為自變量。縱坐標(biāo)是對幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L()=20lgA(ω)表示。對數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o）,仍用

()表示。2．Bode圖法的特點(diǎn)（1）橫坐標(biāo)按頻率取對數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20LgA(ω)］后，使各因子間的乘除運(yùn)算變?yōu)榧訙p運(yùn)算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計和分析變得容易。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

式中A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

在極坐標(biāo)中繪制幅相頻率特性，要花較多時間，而在繪制對數(shù)幅頻特性時，有L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()

=L1()+L2()+…+Ln()

（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中，開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。5.3.2典型環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標(biāo)圖

1.比例環(huán)節(jié)（K）

說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

()=0o，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2.積分環(huán)節(jié)(1/s)

402000.010.111020100.010.11頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過0dB線。

表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。3.微分環(huán)節(jié)（s）

1微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點(diǎn)穿過0dB線。

積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負(fù)號，二者以軸為基準(zhǔn)，互為鏡像；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡像。

可見，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。1402000.010.111020100.010.114.慣性環(huán)節(jié)（1）對數(shù)幅頻特性

為簡化對數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計階段）。1）低頻段在T<<1（或<<1/T）的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為T0，從而有

故在頻率很低時，對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示，這稱為低頻漸近線。2）高頻段

在T>>1（或>>1/T）的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為

L()為因變量，lg為自變量，因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點(diǎn)為T

=1/T，T稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。高頻漸近線斜率為-20dB/dec,與低頻漸近線的交點(diǎn)轉(zhuǎn)折頻率為T

=1/T。漸近特性和準(zhǔn)確特性相比，存在誤差：越靠近轉(zhuǎn)折頻率，誤差越大，如在轉(zhuǎn)折頻率這一點(diǎn)，誤差最大，精確值為如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個十倍頻程范圍內(nèi)對漸近對數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。（2）對數(shù)相頻特性

精確相頻特性為:對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/T及()=-45°這一點(diǎn)斜對稱?？梢郧宄乜闯鲈谡麄€頻率范圍內(nèi)，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90。

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。

1）

低頻段

在

<<1(或<<1/)的區(qū)段，對數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示，為低頻漸近線。5.一階微分環(huán)節(jié)

2）高頻段在>>1（或>>1/

）的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線，斜率為20dB/dec，當(dāng)頻率變化10倍頻時，L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/τ。

可知，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對應(yīng)的精確值是L(T)=0+3=3dB。一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對數(shù)幅頻特性

1）低頻段0≤≤1

T<<1（或<<1/T）時，L()20lg1=0dB

低頻漸近線與0dB線重合。2）高頻段

T>>1(或>>1/T)時，并考慮到（0≤≤1），有

L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB

高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lg=0dBT=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。可見0.4或＞0.7時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小，諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。

0.10.150.20.250.30.40.50.60.70.81.0誤差（dB）14.010.48.06.04.42.00-1.6-3.0-4.0-6.0諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。當(dāng)=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

（2）相頻特性

可知，當(dāng)ω=0時，()=0；ω=1/T時，()=-90°；ω→∞時，()→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于ω=1/T及()=-90°這一點(diǎn)斜對稱。

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大。7．二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與二階振蕩環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。低頻漸近線與0dB線重合，高頻段漸近線斜率為+40dB/dec的斜線，轉(zhuǎn)折頻率為T=1/8．延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-s）

()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨ω增加而滯后無限增加。系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)，分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個典型環(huán)節(jié)的L()繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L()曲線,()曲線描點(diǎn)或疊加求取。（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定GK(jω)的低頻段表達(dá)式為()=-v90°對數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。斜率為-20vdB/dec

低頻漸近線（及其延長線）上在=1時，有L(1)=20lgK（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v及開環(huán)傳遞系K有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/T，斜率－20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/T斜率－40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/斜率＋20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/斜率+40dB/dec慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/T斜率－20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/T斜率－40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/斜率＋20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率1/斜率+40dB/dec（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)→時，由于n＞m，所以高頻段的近似表達(dá)式為()=-（n-m）·90°對數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20(n-m)dB/dec的斜線。說明高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。()=-(n-m)·90°

2．繪制步驟

利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。

2．選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。

3．確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20vdB/dec的斜線。

4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉(zhuǎn)折頻率，斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。

5．如有必要，可對分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線，即

L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c

是分析與設(shè)計時的重要參數(shù)。

6．在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達(dá)式，逐點(diǎn)描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。

7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對數(shù)相頻特性曲線。[例5.5]設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線。解

(1)先將開環(huán)傳遞函數(shù)化成時間常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式：0.1110100204060[-20][-40][-60]確定Bode圖坐標(biāo)系281250[-20][-40][-20]（2）將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率由低到高依次標(biāo)于ω軸上，如下圖所示。（3）繪制低頻漸近線。由于是I型系統(tǒng)，ω=1處的幅值為20lg10=20(dB)。以此點(diǎn)為基準(zhǔn)繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線，是一條斜率為-20dB/dec

的直線。（4）由低頻到高頻順序繪出對數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化，直至最后一個環(huán)節(jié)完成為止。（5）必要時對漸近線進(jìn)行修正，畫出精確的對數(shù)幅頻特性。

分析對數(shù)幅頻特性可見，系統(tǒng)L()由3段折線構(gòu)成，而且在=10與

=100之間穿過0dB線。

曲線穿過0dB線時所對應(yīng)的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c可以通過坐標(biāo)系直接讀出，也可根據(jù)簡單的計算求出。1.由低頻漸近線可求得L(1)=L(1)=20lgK=40（dB）

2.由于1點(diǎn)與2點(diǎn)位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L(2)可如下求得L(2)=28（dB）

3.同理，c可如下求取c=50rad/s相頻特性根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性的表達(dá)式進(jìn)行計算。

對于相頻特性曲線，主要了解其大致趨向。幅值穿越頻率c處的相位十分重要，本例中=c=50時的相位為

(c)=-91.1（°）()

=arctan0.5ω-arctanω-90（°）

若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對數(shù)相頻特性曲線。5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的性質(zhì)決定的。根據(jù)零極點(diǎn)的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個（或多個）零點(diǎn)或極點(diǎn)，稱為非最小相位系統(tǒng)；

顯然G1(s)屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個系統(tǒng)幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。兩者的對數(shù)幅頻特性是相同的，而相頻特性則有

1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT

從傳遞函數(shù)看，這二者均有相同的儲能元件數(shù)，但是由于G2(s)的零點(diǎn)在右半s平面，它產(chǎn)生了附加的相位滯后位移，因而

G1(s)具有較小的相位變化范圍（0°，-90°），為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0°，-180°）。

從伯德圖上看，最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。2、性質(zhì)☆ （1）最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性是一一對應(yīng)的。也就是說，對于最小相位系統(tǒng)，一條對數(shù)幅頻特性只有一條對數(shù)相頻特性與之對應(yīng)，知道其對數(shù)幅頻特性，也就知道其對數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖對最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時，往往只分析其對數(shù)幅頻特性L()。（2）最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減小（或增大），則()的相位也相應(yīng)地減?。ɑ蛟龃螅?；如果在某一頻率范圍內(nèi)，對數(shù)幅頻特性L()的斜率保持不變，則在這些范圍內(nèi)，相位也幾乎保持不變。由前面的分析可知：1）對數(shù)頻率特性的低頻漸近線為斜率為-20vdB/dec的斜線。()=-90v°，低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。2）在→時，由于n＞m，所以高頻漸近線為斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。()=-90（n-m）°，高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。

1.在低頻區(qū)的漸近線斜率為-20dB/dec，相位起點(diǎn)約為-90。

2.在頻率1=1附近，L()斜率減小到-40dB/dec，則相位呈減小的趨勢；而在頻率2=2附近，微分環(huán)節(jié)的作用使L()斜率為-20dB/dec,()相位減小的趨勢比較平緩。

3.最終L()斜率為-20dB/dec；而()相位最大滯后為-90。

可以推出如下結(jié)論：若系統(tǒng)只包含除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)，并且無局部正反饋回路時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母必?zé)o正實(shí)根，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。原因?yàn)椋?/p>

由于延遲環(huán)節(jié)按冪級數(shù)分解之后，其各項(xiàng)系數(shù)有正負(fù)，因而必定有具有正實(shí)部的零點(diǎn)，所以延遲環(huán)節(jié)屬于非最小相位系統(tǒng)。同樣，若系統(tǒng)有局部正反饋回路，則必有具有正實(shí)部的開環(huán)極點(diǎn)。小結(jié)：最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)給出了一個重要的結(jié)論：

對于最小相位系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)的方法測量并繪制出開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的()，寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)。5.3.5由實(shí)測伯德圖求傳遞函數(shù)☆由實(shí)測開環(huán)伯德圖求開環(huán)傳遞函數(shù)是由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)求開環(huán)伯德圖的逆過程，方法有共同之處。步驟如下：1.在需要的頻率范圍內(nèi)，給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號，測量相應(yīng)輸出的穩(wěn)態(tài)幅值與相位，作出對數(shù)幅頻特性與相頻特性曲線；2.若幅頻特性曲線與相頻特性曲線的變化趨勢一致，則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數(shù)；3.根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線，由0、±20、±40dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線；4.由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K

低頻漸近線的表達(dá)式為L()=20lgK-20vlg。首先由低頻段的斜率確定v

由低頻段上的一個具體點(diǎn)的坐標(biāo)確定K

如可代L(1)=20lgK；5.由漸近線的每個轉(zhuǎn)折點(diǎn)確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；并由漸近線在轉(zhuǎn)折點(diǎn)斜率的變化量確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率增加20dB/dec，則必有一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)；二階系統(tǒng)的阻尼比可由諧振峰值的大小查表求取若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減去40dB/dec，則有振蕩環(huán)節(jié)如若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié)若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率增加40dB/dec，則有二階微分環(huán)節(jié)[例5.6]某最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖所示，求此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

低頻漸近線的表達(dá)式L()=20lgK-20lg，可以求出K=30。

[-20][-40][-20][-40][-60]0.255100.025小結(jié)：☆1.低頻段確定K

、v

斜率確定積分、微分環(huán)節(jié)個數(shù)起始段（或延長線）在ω=1處高度為20lgK，

L(ω)=20lgK-20v

lgωa.對0型v=0{起始斜率[0]}b.對Ⅰ型v=1{起始斜率[-20]}c.對Ⅱ型v=2（起始斜率[-40]）2．轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)斜率變化確定慣性，振蕩，一階微分，二階微分。

5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)實(shí)部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞斯－胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費(fèi)時，也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）；3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

Nyquist判據(jù)的主要理論依據(jù)是復(fù)變函數(shù)理論中的Cauch（柯西）幅角定理。5.4.1幅角原理

5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1）0型系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P，在G(s)H(s)平面上，當(dāng)從-∞變化到+∞時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j)及其鏡像，順時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)為N圈(N>0)

，若逆時針包圍則

N＜0，封閉曲線繞(-1，j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°即包圍一次，則系統(tǒng)的閉環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)為Z，且滿足：

Z=N+P

當(dāng)Z=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；Z>0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。說明:系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)不一定穩(wěn)定；開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)不一定不穩(wěn)定。2）Ⅰ型系統(tǒng)或者Ⅱ型系統(tǒng)

I型系統(tǒng)：從正虛軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時針繞向負(fù)虛軸，以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的右半圓弧。需在G(s)H(s)平面上補(bǔ)畫右半圓弧將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

II型系統(tǒng)：從負(fù)實(shí)軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時針繞一周終止于負(fù)實(shí)軸方向，以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的圓弧。需在G(s)H(s)平面上補(bǔ)畫整圓將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖作如上處理后，穩(wěn)定判據(jù)與0型系統(tǒng)完全相同。若系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，即開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時（P=0），系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當(dāng)從-∞變化到+∞時，在GH平面上的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像，不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0，則Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像通過(-1，j0)點(diǎn)時，表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。5.4.3簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1.由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)

因?yàn)椋?，+∞）與（-∞，0）的曲線完全關(guān)于實(shí)軸對稱，則0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)順時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N′滿足

N′=N/2由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)順時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N′

，

已知系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為

Z

（不包括虛軸上的極點(diǎn)）：

Z=P+2N′Z=P+2N′=0+2×0=0一階系統(tǒng)穩(wěn)定Z=P+2N′=0二階系統(tǒng)穩(wěn)定Z=P+2N′系統(tǒng)穩(wěn)定性與K值有關(guān)2.采用穿越的概念簡化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計算由0變到+

時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(-1，j0)點(diǎn)的一次包圍，勢必穿越（-∞，-1）區(qū)間一次。開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+

。反之，開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負(fù)穿越N’-

。

頻率特性曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)的情況，就可以利用頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸（-∞，-1）區(qū)間的正、負(fù)穿越來表達(dá)。

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)對(-1，j0)點(diǎn)的總包圍次數(shù)為

N′=（N’-

-

N’+）

利用正、負(fù)穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為：

Z=P+2（N’-

-

N’+）注意奈氏曲線在(-1，j0)點(diǎn)以右負(fù)實(shí)軸上相位有變化不算穿越。3.半次穿越奈氏